Velocidade angular: ω = Δθ/Δt

Qual é a fórmula da velocidade angular?

Para um corpo que gira, varrendo um ângulo $\mathrm{\Delta }\theta$ num tempo $\mathrm{\Delta }t$:

O que significa cada símbolo?

A unidade é rad/s — e o radiano não é escolha arbitrária:

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: por que inventar uma velocidade nova? Porque, num corpo rígido que gira, cada ponto tem uma velocidade linear diferente — quem está na borda anda mais que quem está no centro. Não há um número único que descreva a roda.

Mas todos os pontos varrem o mesmo ângulo no mesmo tempo. Descrever a rotação por ângulo dá um único número para o corpo inteiro, e é isso que torna a velocidade angular útil. Selo Definição.

E o radiano não é capricho. Ele é definido como o ângulo cujo arco tem o mesmo comprimento do raio — $\theta =s\mathrm{/}r$. Como é uma razão entre comprimentos, o radiano é adimensional, e é justamente isso que permite escrever $v=\omega r$ sem nenhum fator de conversão. Em graus, essa fórmula precisaria de um $\pi \mathrm{/}180$ pendurado.

Voltando ao carrossel: todos os pontos têm o mesmo ω, porque completam a volta juntos. O que muda é a velocidade linear, que cresce com a distância ao eixo — quem está na borda percorre um círculo maior no mesmo tempo, e por isso anda mais rápido. Você pode estar pensando: “isso vale para engrenagens ligadas?” Não — e essa é a distinção que a prova adora. Quando dois discos giram no mesmo eixo, o ω é igual. Quando estão ligados por correia ou contato, como numa bicicleta, o que é igual é a velocidade linear na borda, e o ω passa a ser inversamente proporcional ao raio. Coroa grande e catraca pequena: a catraca gira muito mais rápido. Esse é o princípio da marcha da bicicleta, e a razão de existirem caixas de câmbio.

Quando usar (e quando não)?

Use em rotação de discos, rodas, engrenagens, satélites e qualquer movimento circular. Em provas, o caminho é quase sempre achar T, obter ω = 2π/T e daí ir para v ou aceleração centrípeta.

Para converter rpm em rad/s: $\omega =\text{rpm}\times {\displaystyle \frac{2\pi }{60}}$, já que cada rotação vale 2π rad e cada minuto tem 60 s.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê: o ponteiro dos segundos leva 60 s por volta, então ω deve ser 2π/60, algo em torno de 0,1 rad/s. Já o das horas leva 12 h — muito mais lento:

Quais os erros mais comuns?

1. 01

   Usar graus em vez de radianos

   As fórmulas $v=\omega r$ e $a_c={\omega }^{2}r$ exigem radianos. Em graus é preciso converter, e o resultado sai errado por um fator de 57,3.

   Como evitar: converta antes: $1\text{ volta}=2\pi \text{ rad}=360\mathrm{°}$.
2. 02

   Achar que pontos diferentes têm ω diferente

   Num corpo rígido girando, todos os pontos têm o MESMO ω. O que varia com o raio é a velocidade linear.

   Como evitar: pergunte se os pontos completam a volta juntos. Se completam, o ω é igual.
3. 03

   Confundir eixo comum com ligação por correia

   Mesmo eixo iguala ω; correia ou contato iguala v na borda. Trocar os dois casos inverte a resposta.

   Como evitar: desenhe: os discos giram juntos no mesmo eixo, ou um puxa o outro pela borda?

FAQ: perguntas sobre a velocidade angular