Por que os ângulos somam 180°?
Se você somar esses três ângulos juntos em qualquer, tem que dar o quê? 180 graus. E isso não é regra pra decorar, dá pra ver o porquê.
Traça uma reta paralela a um dos lados passando pelo vértice de cima. Os três ângulos do triângulo reaparecem encostados lá em cima e, juntos, formam um ângulo raso, que é meia volta: 180°. Sacou? A soma não podia dar outra coisa, é consequência da geometria, não coincidência. É por isso que, sabendo dois ângulos, você sempre acha o terceiro: subtrai de 180°.
Os três ângulos internos de qualquer triângulo somam sempre . Sabendo dois deles, o terceiro sai na subtração.
Quais são os tipos de triângulo?
Todo triângulo cabe em duas classificações ao mesmo tempo, e elas não competem: uma olha pros lados, a outra pros ângulos. Um mesmo triângulo pode ser isósceles (pelos lados) e retângulo (pelos ângulos) de uma vez só. Olha na tabela como fica cada um:
| Tipo | Critério de classificação | Característica |
|---|---|---|
| Equilátero | quanto aos lados | 3 lados iguais e 3 ângulos de 60° |
| Isósceles | quanto aos lados | 2 lados iguais e 2 ângulos iguais |
| Escaleno | quanto aos lados | 3 lados e 3 ângulos diferentes |
| Acutângulo | quanto aos ângulos | os 3 ângulos menores que 90° |
| Retângulo | quanto aos ângulos | 1 ângulo de exatamente 90° |
| Obtusângulo | quanto aos ângulos | 1 ângulo maior que 90° |
E tem uma pegadinha clássica do isósceles: se os lados são iguais, os ângulos são iguais, então os dois ângulos da base batem um com o outro. Mas cuidado, esses dois não são necessariamente iguais ao terceiro ângulo. Muita gente escorrega justo aí.
Quais medidas formam um triângulo?
Três medidas só formam um triângulo se cada lado for menor que a soma dos outros dois. Essa é a desigualdade triangular, e é ela que derruba gente na prova.
Desigualdade triangular: três medidas fecham um triângulo quando cada lado é menor que a soma dos outros dois.
Testa comigo: 3, 4 e 5 formam? 3 é menor que , 4 é menor que e 5 é menor que . As três valem, então fecha. Agora 2, 3 e 10? O 10 não é menor que , que dá 5, então não fecha: os dois lados curtos nem chegam a se encontrar.
Dá pra checar de cabeça, sem testar as três: pega o maior lado e vê se ele é menor que a soma dos outros dois. Se for, forma; se não for, esquece.
Como calcular área e perímetro?
A área de um triângulo é , e o perímetro é só a soma dos três lados. Mas por que dividir por 2?
A área é a metade do produto da base pela altura; o perímetro é a soma dos três lados , e .
Pensa comigo: todo triângulo é metade de um retângulo de mesma base e mesma altura. Encaixa uma cópia dele virada de cabeça pra baixo e você fecha o retângulo, que tem área . O triângulo é exatamente metade disso, e é daí que vem o .
Na prática: base de 6 cm e altura de 4 cm dá área . O perímetro de um triângulo de lados 5, 6 e 7 cm é cm. Fórmula não é mágica, é consequência de uma ideia que dá pra desenhar.
O que são altura, mediana e bissetriz?
Altura, mediana, bissetriz e mediatriz são os quatro segmentos notáveis do triângulo, e cada um tem um trabalho diferente:
Altura
Sai de um vértice e cai perpendicular ao lado oposto. É ela que entra na conta da área.
Mediana
Liga um vértice ao meio do lado oposto, cortando esse lado em duas partes iguais.
Bissetriz
Parte o ângulo do vértice bem no meio, em dois ângulos iguais.
Mediatriz
A reta perpendicular que passa pelo meio de um lado; essa nem precisa passar por um vértice.
Quatro segmentos, quatro papéis. Guarda isso, porque no próximo passo cada um vira um ponto especial do triângulo.
Quais são os pontos notáveis do triângulo?
Baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro são os quatro pontos notáveis do triângulo, e cada um nasce do encontro de três segmentos iguais.
As três medianas se cruzam no baricentro, que é o centro de massa do triângulo, o ponto onde ele se equilibra na ponta do dedo. As três alturas se cruzam no ortocentro. As três bissetrizes se cruzam no incentro, o centro da circunferência que cabe dentrinho do triângulo. E as três mediatrizes se cruzam no circuncentro, o centro da circunferência que passa pelos três vértices.
Repara que não é coincidência os três segmentos sempre se encontrarem num ponto só. E é justamente essa intuição que a definição acadêmica seca esconde de você.
Como o triângulo cai na prova?
Triângulo em prova quase nunca vem sozinho. Ele vem escondido dentro de uma questão maior, e reconhecer qual propriedade tá sendo cobrada já é metade do caminho.
Um triângulo isósceles tem perímetro de 32 cm e a base mede 12 cm. Quanto mede cada lado igual?
- Perímetro é a soma dos lados: .
- Isola os lados iguais: .
- Divide por 2: .
Se dois ângulos de um triângulo valem e , quanto vale o terceiro?
- A soma dos ângulos internos é .
- Subtrai os dois conhecidos: .
A ideia é sempre a mesma: achar qual propriedade a questão cobra e aplicar. Sem decoreba.
Onde o triângulo aparece depois?
O triângulo é a peça que abre metade da matemática do ensino médio, e vale enxergar a trilha em vez de estudar tudo solto.
Da classificação dos ângulos sai a semelhança de triângulos, mesma forma, tamanhos diferentes, e é ela que sustenta o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo. E do triângulo retângulo nasce a trigonometria inteira: seno, cosseno e tangente são só razões entre os lados dele.
Ou seja, estudar triângulo direito não é mais um assunto solto: é destravar semelhança, Pitágoras e trigonometria de uma vez. Aqui no site cada um desses tem a própria página pra você seguir o fio na ordem certa. E se você quer firmar essa base desde o começo, com calma, dá uma olhada no Desvendando a Matemática, que é onde eu organizo toda a matemática do zero.
Trigonometria: o índice completo Seno, cosseno e tangentePerguntas frequentes sobre triângulo
Quais são os tipos de triângulo?
São dois critérios ao mesmo tempo, e vale conhecer os dois. Pelos lados: equilátero (três lados iguais), isósceles (dois iguais) e escaleno (todos diferentes). Pelos ângulos: acutângulo (três ângulos agudos), retângulo (um ângulo de 90°) e obtusângulo (um ângulo maior que 90°). Um mesmo triângulo cabe numa classificação de cada tipo, dá pra ser isósceles e retângulo ao mesmo tempo, por exemplo.
Como calcular a área de um triângulo?
Área é . Você pega qualquer lado como base, mede a altura que cai perpendicular a ele, multiplica os dois e divide por 2. Se a base é 6 cm e a altura 4 cm, a área é . Divide por 2 porque o triângulo é metade de um retângulo de mesma base e mesma altura, não é regra solta, é consequência.
Quais medidas podem formar um triângulo?
Três medidas formam um triângulo só se cada lado for menor que a soma dos outros dois, é a desigualdade triangular. Checa pelo maior lado: se ele for menor que a soma dos outros dois, forma; se for maior ou igual, os lados curtos não se encontram e não fecha. Por isso 3, 4 e 5 formam, mas 2, 3 e 10 não.
Por que a soma dos ângulos internos é 180°?
Porque, se você traça uma reta paralela a um dos lados passando pelo vértice oposto, os três ângulos do triângulo reaparecem lá em cima e juntos formam um ângulo raso, meia volta, que é 180°. Não é regra pra decorar: é consequência direta da geometria, e é isso que te deixa achar o terceiro ângulo sabendo os outros dois.
Qual a diferença entre baricentro e ortocentro?
O baricentro é o encontro das três medianas, e é o centro de massa do triângulo, equilibra ele na ponta do dedo por ali. O ortocentro é o encontro das três alturas. Um vem das medianas (vértice até o meio do lado oposto), o outro das alturas (perpendicular ao lado oposto); são pontos diferentes, menos no triângulo equilátero, onde todos os pontos notáveis caem no mesmo lugar.