Equação da continuidade: A₁v₁ = A₂v₂ e o bico da mangueira

Q: Qual é a equação da continuidade?

A1·v1 = A2·v2: o produto área por velocidade é constante ao longo do tubo.

Q: De onde vem a equação?

Da conservação da massa em regime estacionário, com fluido incompressível.

Q: Por que apertar o bico da mangueira faz o jato ir mais longe?

Porque a redução da área obriga a velocidade a aumentar.

Q: Se eu reduzir o raio à metade, o que acontece com a velocidade?

Ela quadruplica, pois a área cai a um quarto.

Q: Por que o fio de água da torneira afina ao descer?

Porque a gravidade acelera a água e a seção diminui para manter a vazão.

Q: A equação vale para gases?

Só em baixas velocidades, pois gases são compressíveis.

Q: Por que a água corre mais rápido onde o rio estreita?

Porque a vazão é constante e a seção menor exige mais velocidade.

Q: Qual a relação com Bernoulli?

Continuidade acelera o fluido no estreitamento; Bernoulli mostra que isso reduz a pressão.

Qual é a equação da continuidade?

Para um fluido incompressível escoando por um tubo de seções diferentes:

Equação da continuidade

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2} (= ϕ, constante)

O produto área × velocidade é o mesmo em qualquer ponto do tubo. Área menor obriga velocidade maior.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Os índices 1 e 2 são duas seções quaisquer do mesmo tubo:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$A_{1}, A_{2}$	áreas das seções transversais	metro quadrado (m²)
$v_{1}, v_{2}$	velocidades do fluido em cada seção	m/s
$ϕ$	a vazão, constante ao longo do tubo	m³/s

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: de onde vem? Da conservação da massa, que aqui aparece de uma forma quase óbvia quando enunciada em português.

Considere um trecho de cano sem vazamentos. Em regime estacionário, a quantidade de fluido dentro dele não muda. Logo, tudo que entra por uma ponta precisa sair pela outra, na mesma taxa. Se o fluido for incompressível — como a água, para todos os efeitos práticos —, isso significa que o volume por segundo é o mesmo nas duas seções.

E volume por segundo é exatamente a vazão, $ϕ = A v$ :

Dedução · o que entra tem que sair

ϕ_{1} = ϕ_{2} \Rightarrow A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2} \Rightarrow v_{2} = v_{1} \cdot \frac{A_{1}}{A_{2}}

A vazão é a mesma em qualquer seção. Reduzir a área na razão k multiplica a velocidade por k.

A consequência é a proporcionalidade inversa: quanto menor a área, maior a velocidade. E como a área de um cano circular vai com $r^{2}$ , o efeito é forte — reduzir o raio à metade quadruplica a velocidade. Você pode estar pensando: “onde eu vejo isso?” Em todo lugar. No bico da mangueira: aperta, a área cai, o jato acelera. Na corredeira do rio: onde o leito estreita, a água corre mais rápido; onde ele se abre, ela fica mansa. Na seringa: um êmbolo largo empurrado devagar produz um jato fino e veloz na agulha. E no fio de água da torneira, que afina conforme desce — porque a gravidade acelera a água, e a continuidade obriga a seção a diminuir para compensar. Uma ressalva importante: a equação supõe fluido incompressível. Para líquidos isso é excelente; para gases em alta velocidade, não vale, porque a densidade muda e é preciso conservar massa, não volume. Selo Demonstrável.

Mecânica: a trilha completa

Quando usar (e quando não)?

Use em dimensionamento de tubulações, bocais, seringas, sistemas de irrigação e sempre que um tubo mudar de seção.

Combinada com Bernoulli, ela explica o funcionamento de venturis, carburadores e medidores de vazão — porque acelerar o fluido reduz a pressão dele.

A equação vale para fluidos INCOMPRESSÍVEIS. Para líquidos é ótima; para gases em alta velocidade não vale, porque a densidade varia.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê: o raio caiu pela metade, então a área caiu a um quarto. Para manter a vazão, a velocidade tem que subir quatro vezes — de 2 para 8 m/s:

🪖 BásicoApertando o bico da mangueira

Numa mangueira de raio 1,0 cm a água corre a 2,0 m/s. Ela termina num bico de raio 0,50 cm. Qual a velocidade da água na saída?

$A_{1} = π (0, 010)^{2} \approx 3, 14 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ ; $A_{2} = π (0, 0050)^{2} \approx 7, 85 \times 1 0^{- 5} m^{2}$ .
Razão das áreas: $A_{1} / A_{2} = (1, 0 / 0, 50)^{2} = 4$ .
$v_{2} = v_{1} \cdot \frac{A_{1}}{A_{2}} = 2, 0 \cdot 4$ .
$v_{2} = 8, 0 m/s$ .

v_{2} = 8, 0

m/s — quatro vezes mais rápido

Verificação: bateu com a previsão, e repara que nem foi preciso calcular as áreas: a razão dos raios ao quadrado bastou. A vazão confere nos dois pontos: $3, 14 \times 1 0^{- 4} \cdot 2, 0 = 7, 85 \times 1 0^{- 5} \cdot 8, 0 = 6, 3 \times 1 0^{- 4}$ m³/s ✓. E se o bico tivesse raio de 0,25 cm? A área cairia a um dezesseis avos e a velocidade iria a 32 m/s — mais de 100 km/h, o que é exatamente o princípio da lavadora de alta pressão.

Quais os erros mais comuns?

01
Achar que apertar o bico aumenta a vazão
A vazão é fixada pela torneira. Apertar reduz a área e aumenta a velocidade, mantendo o produto A·v constante.
Como evitar: a vazão é o produto; o que muda é como ela se reparte entre área e velocidade.
02
Usar a razão dos raios em vez das áreas
A área vai com o quadrado do raio. Raio pela metade significa área a um quarto, não à metade.
Como evitar: eleve a razão dos raios ao quadrado antes de aplicar.
03
Aplicar em gases em alta velocidade
A equação supõe incompressibilidade. Gases comprimem, e aí é preciso conservar massa em vez de volume.
Como evitar: para líquidos, use sem receio; para gases rápidos, não vale.

FAQ: perguntas sobre a equação da continuidade

Qual é a equação da continuidade?

$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ : o produto área × velocidade é constante ao longo de um tubo sem vazamentos.

De onde vem a equação?

Da conservação da massa. Em regime estacionário, tudo que entra por uma seção precisa sair pela outra, e para fluido incompressível isso significa vazão constante.

Por que apertar o bico da mangueira faz o jato ir mais longe?

Porque reduzir a área obriga a velocidade a aumentar para manter a vazão. A água sai mais rápido, não em maior quantidade.

Se eu reduzir o raio à metade, o que acontece com a velocidade?

Ela quadruplica, porque a área vai com o quadrado do raio e cai a um quarto.

Por que o fio de água da torneira afina ao descer?

Porque a gravidade acelera a água. Como a vazão é constante, o aumento da velocidade obriga a seção a diminuir.

A equação vale para gases?

Só em baixas velocidades. Para gases rápidos a densidade varia, e é preciso conservar massa em vez de volume.

Por que a água corre mais rápido onde o rio estreita?

Pelo mesmo motivo: a vazão do rio é a mesma em todo o trecho, então a redução da seção aumenta a velocidade. É a corredeira.

Qual a relação com Bernoulli?

Continuidade diz que estreitar acelera o fluido; Bernoulli diz que acelerar o fluido reduz sua pressão. Juntas, elas explicam o tubo de Venturi.

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Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂

Qual é a equação da continuidade?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Achar que apertar o bico aumenta a vazão

Usar a razão dos raios em vez das áreas

Aplicar em gases em alta velocidade

FAQ: perguntas sobre a equação da continuidade

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