Sólidos geométricos: o mapa completo, do tipo à fórmula.

O que são sólidos geométricos?

Sólido geométrico é todo objeto de três dimensões: tem comprimento, largura e altura. E, olha só, todos eles se organizam em duas famílias. De um lado, os poliedros, feitos de faces planas. Do outro, os corpos redondos, de superfície curva. Os cinco que mais caem na prova são prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.

Poliedros ou corpos redondos: qual a diferença?

A diferença é simples: um poliedro é um sólido em que todas as faces são polígonos, figuras planas de lados retos, como no cubo, no prisma e na pirâmide. Do outro lado ficam os corpos redondos, que têm pelo menos uma superfície curva: a esfera, o cilindro e o cone.

O teste rápido é olhar as faces. Todas planas? É poliedro. Tem alguma curva? É corpo redondo. Beleza?

E em todo poliedro a gente nomeia três elementos:

É por esses três elementos que a classificação começa a virar conta. Segura esses nomes, porque eles voltam já ali embaixo, na relação de Euler.

O que é a Relação de Euler?

Pega qualquer poliedro convexo. Conta os vértices, conta as arestas, conta as faces e faz vértices menos arestas mais faces. Vai dar 2. Sempre. Essa é a Relação de Euler: $V - A + F = 2$.

Não é decoreba, é para você conferir. Olha ela funcionando:

Repara numa coisa: ela não fala de tamanho nem de volume. É uma propriedade de contagem, um jeito de checar se você entendeu como o sólido é montado.

Por isso corpo redondo não entra nessa conta: ele não tem faces planas, arestas e vértices para contar. E isso, sozinho, já te diz de que lado da classificação ele está.

Quais são os cinco sólidos de Platão?

Existem exatamente cinco sólidos de Platão, cinco, nem um a mais. Cada um é um poliedro regular, e a diferença entre eles é o número e o formato das faces:

O que faz deles um clube tão fechado é a regra: um sólido de Platão é um poliedro regular. Todas as faces são polígonos regulares iguais, e em cada vértice se encontra o mesmo número de faces.

Aí vem a parte bonita. Pensa comigo: para fechar um canto em três dimensões, a soma dos ângulos das faces que chegam nele tem que ser menor que $360^\circ$. Quando você testa os polígonos regulares um por um, só cinco combinações fecham um sólido. Por isso a lista para em cinco. Não é regra decorada, é consequência.

Quais são os principais sólidos geométricos?

Os principais sólidos que a gente estuda são esses cinco: prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera. Dá para descrever todos numa frase:

Sacou a ideia? O cilindro está para o prisma assim como o cone está para a pirâmide: o que muda é a base, que deixa de ser polígono e vira círculo.

Cada um desses sólidos tem uma página só dele aqui no Universo Narrado, com a dedução completa e os exercícios. Usa os cards acima para pular direto para o sólido que você precisa.

Quais as fórmulas de área e volume?

Olha só: para o volume do prisma e do cilindro é área da base vezes altura. Acabou. Vale para qualquer prisma que você quiser. A partir daí, cada sólido tem a sua fórmula, e eu juntei todas num lugar só.

A tabela abaixo reúne a fórmula de volume e a de área de cada um dos cinco:

Repara que prisma e cilindro seguem a mesma lógica, base vezes altura, e que pirâmide e cone só acrescentam o $\tfrac{1}{3}$. Daqui a pouco eu te mostro de onde ele vem. A esfera é a única que não sai de "área da base vezes altura", justamente porque ela não tem base plana.

E tudo isso está em texto de verdade, dá para selecionar e copiar. Não é imagem, como fazem por aí. É a síntese que te poupa de caçar cada fórmula numa página diferente.

Por que pirâmide e cone têm 1/3?

A pirâmide e o cone têm exatamente $\tfrac{1}{3}$ do volume do prisma e do cilindro de mesma base e mesma altura. E esse número não caiu do céu para você decorar.

Pensa comigo. Dá para encher um prisma com três pirâmides iguais, de mesma base e mesma altura. Se três pirâmides preenchem o prisma inteiro, cada uma vale um terço dele. É o Princípio de Cavalieri em ação, olha que bonito.

O mesmo raciocínio vale para o cone dentro do cilindro: três cones enchem o cilindro, e cada cone é um terço.

É por isso que o $\tfrac{1}{3}$ aparece na fórmula da pirâmide e do cone, e não na do prisma e do cilindro. Quando você entende de onde ele vem, nunca mais troca as fórmulas na hora da prova. Esse é o ponto: entender, não decorar.

Como planificar um sólido geométrico?

Planificar um sólido é abri-lo no plano, é como desmontar uma caixa e deixar ela esticada na mesa. Aí a fórmula da área da superfície deixa de ser mágica: você só soma as figuras planas que apareceram.

Olha o que acontece com cada um:

Numa aula ao vivo, a gente abre o cilindro e o cubo no plano, passo a passo e em três dimensões, para você ver cada planificação montando de verdade.

Como calcular volume no ENEM?

Na prova, o que mais derruba gente não é a fórmula do volume. É a unidade.

Guarda esta equivalência: um metro cúbico equivale a mil litros ($1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{L}$). Só isso já é suficiente para você transformar qualquer outra unidade. E se quiser a régua inteira, ela sai daí:

No ENEM, a questão quase sempre mistura um sólido com uma conversão. É a embalagem cilíndrica cujo conteúdo você despeja num paralelepípedo, sabe? Aquela em que você iguala o volume do cilindro ao da caixa e ainda tem que trocar mililitro por centímetro cúbico no meio do caminho.

A gente resolve uma dessas passo a passo aqui, do desenho à conta, para você ver a unidade andando junto com o volume.

E se você quer ir do básico ao avançado com tudo isso resolvido, dá uma olhada no Lições de Matemática. Ou entra de graça no próximo Fora da Curva. Todo ano eu abro esse treinamento de véspera.

FAQ: perguntas sobre sólidos geométricos