Paradoxo do aniversário: por que 23 pessoas bastam

O que é o paradoxo do aniversário?

Junte 23 pessoas numa sala. A chance de duas delas fazerem aniversário no mesmo dia é maior que 50%. Com 30 pessoas, 70%. Com 50, 97%. Parece errado, porque o ano tem 365 dias e 23 é pouco. É por isso que o resultado ganhou o nome de paradoxo, embora não exista contradição nenhuma: a conta está certa, e é a intuição que falha.

Eu resolvi isso em vídeo em 2022, e a pergunta voltou no quiz Engenheiro vs Físico vs Matemático, onde os três responderam "23" em um segundo. Não porque calcularam: porque conheciam. Este artigo é pra você conhecer também, mas do jeito certo, entendendo a conta. O vídeo dá a intuição, o texto aprofunda.

Por que a intuição erra tão feio?

Porque você pensa em você. "Qual a chance de alguém fazer aniversário no mesmo dia que eu?" Essa chance é pequena mesmo, e cresce devagar. Mas a pergunta do paradoxo é outra: qual a chance de qualquer par coincidir. E pares crescem muito mais rápido que pessoas.

Com 23 pessoas, o número de pares é $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{23}{2}\right)={\displaystyle \frac{23\cdot 22}{2}}=253$. São 253 oportunidades de coincidência, cada uma com cerca de 1 chance em 365. Repara: 253 é quase 70% de 365. Não é surpresa que a chance total passe da metade. O que engana é que a gente conta pessoas e a probabilidade conta pares.

Como calcular a probabilidade, passo a passo

O pulo do gato é não calcular a coincidência diretamente. Calcule o contrário, "todos os aniversários são diferentes", e subtraia de 1:

$P(\text{coincid}\hat{\text{e}}\text{ncia})=1-P(\text{todos diferentes})$

Agora imagine as pessoas entrando na sala uma a uma. A primeira pode ter nascido em qualquer dia: 365/365. A segunda, pra não coincidir, tem 364 dias livres: 364/365. A terceira, 363/365. Cada nova pessoa tem um dia a menos. Como os eventos são independentes, a probabilidade de todos serem diferentes é o produto:

$P(\text{todos diferentes})={\displaystyle \frac{365}{365}}\cdot {\displaystyle \frac{364}{365}}\cdot {\displaystyle \frac{363}{365}}\cdots {\displaystyle \frac{365-n+1}{365}}$

Em forma fechada, com fatorial:

Pra n = 23 o produto dá 0,4927. Então $P(23)=1-0,4927=0,5073$: mais de 50%. Pra quem quer uma conta rápida sem fatorial, a aproximação $P(n)\approx 1-e^{-n(n-1)\mathrm{/}730}$ erra por volta de um ponto percentual nessa faixa.

Um aviso honesto: a conta assume 365 dias igualmente prováveis. Na vida real existe 29 de fevereiro e existem meses com mais nascimentos que outros. Os dois efeitos mudam o número na segunda casa decimal e não mudam a conclusão: aniversários desiguais só tornam coincidências mais prováveis, não menos.

A tabela: quantas pessoas pra cada chance?

Os números exatos, com 365 dias equiprováveis. A coluna do meio é o que explica a da direita.

Três marcos pra guardar: 23 pessoas passam de 50%, 57 passam de 99% e com 366 a coincidência é certa, porque são mais pessoas do que dias. Entre 23 e 57 a curva sobe rápido; depois satura.

O gráfico: uma curva em S que dispara cedo

Olhar a curva inteira ajuda mais do que olhar um número. Ela nasce quase plana, porque com poucas pessoas há poucos pares, e dispara entre 10 e 40, quando o número de pares cresce com o quadrado do número de pessoas.

É a mesma forma de qualquer fenômeno em que as oportunidades crescem com n² enquanto o total de casos é fixo. Você vai reencontrar essa curva em colisões de hash, em coincidências de placas de carro e em qualquer "que coincidência!" da vida.

E se a pergunta for "no mesmo dia que eu"?

Aí a conta muda, e é aqui que muita gente confunde. Se você fixa o seu aniversário, cada pessoa que entra tem 364/365 de chance de não coincidir com você, e só com você. A chance de ninguém coincidir com você em n pessoas é (364/365)ⁿ:

$1-{\left({\displaystyle \frac{364}{365}}\right)}^n>0,5\Rightarrow n\ge 253$

Você precisa de 253 pessoas, e não 23, pra que seja mais provável que não alguém fazer aniversário no seu dia. É dez vezes mais gente, e a diferença é exatamente a diferença entre "um par fixo" e "qualquer par". Quem entende essa distinção entendeu o paradoxo.

Onde o paradoxo do aniversário aparece de verdade

Não é só curiosidade de festa. A mesma matemática decide segurança em criptografia. Uma função hash com N saídas possíveis começa a produzir colisões, duas entradas com a mesma saída, depois de cerca de √N tentativas, não N. É o "ataque de aniversário", e é o motivo de hashes precisarem de saídas tão longas.

Em prova, ele aparece disfarçado: "qual a probabilidade de, em k sorteios com reposição, sair algum número repetido?" A resposta é a mesma conta, com o total de casos no lugar de 365. Quem reconhece a estrutura resolve em uma linha.

Os erros mais comuns com o paradoxo do aniversário

Quatro erros, e o primeiro derruba até quem já ouviu falar do resultado.

1. 01

   Confundir "qualquer par" com "o mesmo dia que eu"

   São perguntas diferentes com respostas diferentes: 23 pessoas pra qualquer par, 253 pra coincidir com uma pessoa fixa.

   Como evitar: antes de calcular, pergunte: a coincidência é com alguém específico ou entre quaisquer dois?
2. 02

   Somar probabilidades em vez de multiplicar as contrárias

   Somar 253 vezes 1/365 dá 69%, que é errado, porque os pares não são disjuntos. O caminho certo é o produto das probabilidades de não coincidir.

   Como evitar: sempre que aparecer "pelo menos um", calcule "nenhum" e subtraia de 1.
3. 03

   Achar que 183 pessoas dão 50%

   Metade de 365 parece a resposta natural, e é a resposta certa pra outra pergunta: quantos dias você precisa cobrir pra ter metade do ano.

   Como evitar: lembre que a chance cresce com o número de pares, que é quadrático em n.
4. 04

   Chamar de paradoxo e parar aí

   Não há contradição. O resultado é verdadeiro e demonstrável; o que falha é a intuição sobre combinações.

   Como evitar: faça a conta uma vez, com 23 fatores. Depois disso a intuição se recalibra sozinha.

FAQ: paradoxo do aniversário