O que são os números irracionais (com exemplos)

O que é um número irracional?

Um número irracional é aquele que não dá pra escrever como fração de dois números inteiros, e a parte decimal dele não acaba e não repete nenhum padrão. É o oposto do número racional, que sempre cabe numa fração.

O retrato disso você já conhece. Raiz de 2, meu irmão. 1,41421356 e o negócio continua sem nunca acabar. Que número maldito esse? Olha pra esse número aqui, bicho. E ele nunca vira uma dízima que repete. O pi é do mesmo time.

Nesta página eu construo a ideia do zero: o que faz um número ser irracional, onde ele mora entre os outros números e como provar, passo a passo, que a raiz de 2 não cabe em fração nenhuma. Sem decoreba.

Racional ou irracional: qual a diferença?

A diferença entre racional e irracional é uma só, e é ela que resolve a confusão da prova: o racional vira fração de inteiros, o irracional não.

Um número racional é um número que pode ser escrito sob forma de fração. E isso inclui muita coisa: inteiro, decimal exato (0,75) e dízima periódica (0,333… que é $\tfrac13$). 1,1 seria 11 sobre 10, enfim. Tem uma pancada de número dentro desse conjunto aqui. Mas a raiz de 2 ainda não é um número racional.

O jeito prático de separar os dois é olhar a decimal:

• se ela termina ou repete um padrão pra sempre, é racional;
• se ela não termina E não repete, é irracional.

É esse "não termina e não repete" que joga a raiz de 2 e o pi pra fora do time das frações.

Onde os irracionais entram nos conjuntos numéricos?

Os irracionais não ficam dentro dos racionais, eles entram do lado, e a união dos dois é que forma os números reais.

O mapa é uma escada. Vamos olhar aqui a figura inteira dos naturais aos inteiros passando pelos racionais onde teve um assassinato tamanho a distração a gente chega nos reais e chega nos complexos. Traduzindo: os naturais (1, 2, 3…) ficam dentro dos inteiros (…, −1, 0, 1…), que ficam dentro dos racionais (todas as frações). Os irracionais formam um conjunto à parte, que não encosta nos racionais. Junta os dois e você preenche a reta inteira: isso são os reais.

Aquele "assassinato" que aparece no meio do caminho é a história dos pitagóricos, que eu conto mais pra frente, o número que não deveria existir. Esse mapa inteiro, dos naturais até os complexos, eu desenvolvo com mais calma no vídeo sobre se os números existem ou são só uma abstração.

Quais são os irracionais mais famosos?

Os irracionais mais famosos são três: a raiz de 2, o pi e o número de Euler. Número esquisito de verdade não é número de contagem, Números naturais não é isso, é raiz de 2, é pi, é raiz de 5, esses números esquisitos, cara.

A raiz de 2 (mais ou menos 1,4142…) foi o primeiro a aparecer na história, saindo da diagonal de um quadrado. O pi (3,1415…) é a razão entre a circunferência e o diâmetro de qualquer círculo. E o número de Euler (2,7182…) é a base dos logaritmos naturais, aquele que aparece em juros compostos e crescimento.

E não para nos três: qualquer raiz que não é exata, raiz de 3, raiz de 5, raiz de 7, também é irracional.

O número pi é irracional?

Sim, o pi é irracional, e é a pergunta que traz muita gente curiosa até aqui.

A decimal dele começa em 3,14159265 e segue infinita, sem nunca virar dízima periódica. Ele não pode ser escrito como forma de fração, tipo pi, sabe? 3,14, 15, o negócio não acaba nunca. Por isso o pi não é exatamente $\tfrac{22}{7}$ nem 3,14: esses são só atalhos que a gente usa pra fazer conta.

E não é chute: provaram que o pi é irracional lá no século XVIII, foi o Johann Lambert, em 1761. Por mais casas decimais que você calcule, e já se calcularam trilhões delas, o pi nunca fecha numa fração e nunca repete um padrão.

Quando uma raiz quadrada é irracional?

Uma raiz quadrada é exata quando o número embaixo dela é um quadrado perfeito. Se não for, ela é irracional.

Raiz de 4 é 2, raiz de 9 é 3, raiz de 16 é 4, contas exatas, porque 4, 9 e 16 são quadrados perfeitos. Já a raiz de 2, de 3, de 5, de 7 e de 10 caem todas em irracional.

Não precisa decorar caso a caso. Faz uma pergunta só: existe um número inteiro que, elevado ao quadrado, dá esse número? Se existe, a raiz é exata; se não existe, é irracional. E o mesmo teste vale pra outros índices, a raiz cúbica de 8 é 2, mas a de 7 é irracional.

Por que raiz de 2 é irracional?

A raiz de 2 é irracional porque supor o contrário se autodestrói. A gente vai fazer uma prova que a gente chama na matemática de prova por contradição ou por redução absurda. E ela funciona como um jogo de regras.

O roteiro é este:

O erro só pode estar na suposição inicial. Então raiz de 2 de fato NÃO é racional, não tem como se escrever isso aqui como uma fração, senão vai dar pau sempre, ou seja, raiz de 2 é irracional. Faz sentido? Olha que bonito isso, é prova por contradição ou redução.

Quem descobriu os números irracionais?

Quem esbarrou nos irracionais foram os pitagóricos, na Grécia antiga, e a descoberta virou um escândalo. Os pitagóricos, eles não acreditavam na existência desses números. Pra eles, todo número era uma razão de inteiros.

Até um deles, Hipaso de Metaponto, pegar um quadrado de lado 1 e medir a diagonal. Pelo teorema de Pitágoras, você soma $1^2 + 1^2$, e se a diagonal ao quadrado é 2, significa que a diagonal vale raiz de 2, que, como a gente acabou de provar, não é fração nenhuma.

Ou seja: existia um comprimento real, a diagonal do quadrado, que nenhuma razão de inteiros conseguia medir. Conta a lenda que os pitagóricos não engoliram isso e que Hipaso acabou morto no mar por ter revelado o segredo, é o "assassinato" que apareceu lá no mapa dos conjuntos.

Essa é a prova geométrica: a álgebra e a geometria chegam no mesmo número por caminhos diferentes.

Existem mais irracionais do que racionais?

Existem, sim, infinitamente mais irracionais do que racionais. E essa é a parte que mais mexe com a cabeça: os dois são infinitos, mas de tamanhos distintos, ou seja, sim, existem infinitos de tamanhos diferentes e o escritor daquele romance realmente estava correto.

A ideia de "tamanho" de um infinito é comparar os conjuntos elemento por elemento. Porque pensa comigo, se eu faço isso, eu associo os elementos todos um a um, não sobra ninguém, todos se ligam uma única vez. Dá pra fazer isso com os naturais e os racionais sem sobrar ninguém, eles têm o mesmo tamanho de infinito. Mas com os irracionais é impossível: por mais que você tente, sempre sobra irracional de fora. Esse raciocínio inteiro eu desenvolvo com calma no vídeo sobre se existem infinitos maiores que outros.

FAQ sobre números irracionais