Juros simples e compostos: fórmulas, diferença e tabela

Qual é a diferença entre juros simples e juros compostos?

Juros são o dinheiro que um capital rende (ou que uma dívida cobra) por causa do tempo. Sem tempo, não há juros. Os dois regimes de que você ouve falar em prova, simples e compostos, diferem em uma única coisa: sobre qual valor a taxa incide.

Em juros simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial. Em juros compostos, incide sobre o valor atual, aquele que já carrega os juros dos meses anteriores. Dessa diferença sai o resto: um cresce em linha reta, o outro em curva exponencial.

Capital é a quantia inicial; taxa é o percentual por período; juros são o dinheiro que a taxa gera; montante é tudo somado, com $M=C+J$ nos dois regimes.

Como funcionam os juros simples?

Pegue R$ 1.000 a 20% ao mês (taxa exagerada, só para a conta ficar redonda). No primeiro mês, os juros são 20% de 1.000: 1.000 · 0,2 = R$ 200. No segundo, a taxa incide de novo sobre os 1.000 iniciais, e não sobre o valor novo: mais R$ 200, total de R$ 400 de juros. No terceiro, R$ 600. A cada mês entram os mesmos R$ 200.

Generalizando, o 1.000 é o capital, o 0,2 é a taxa e o número de meses é o tempo:

Dois cuidados que aparecem em prova. Primeiro, a taxa entra na fórmula em forma decimal (0,2 ou 20/100), nunca como 20. Segundo, taxa e tempo precisam estar na mesma unidade: taxa ao mês pede tempo em meses; taxa ao ano pede tempo em anos.

Como funcionam os juros compostos?

Mesma situação, R$ 1.000 a 20% ao mês, mas agora a taxa incide sobre o valor atual. Calcular os juros diretamente vira confusão, então a saída é calcular o montante e tirar o capital depois. E aqui entra o fator de aumento da aula de porcentagem: um aumento de 30% faz o valor passar de 100% para 130%, ou $1,3=1+0,3$. Basta multiplicar por 1,3 de uma vez.

Com 20% de juros o fator é 1,2. Depois de um mês: 1.000 · 1,2 = 1.200. Depois de dois, o aumento incide sobre os 1.200: 1.200 · 1,2 = 1.440, que é 1.000 · 1,2². Depois de três: 1.440 · 1,2 = 1.728, que é 1.000 · 1,2³. A cada mês multiplica-se por 1,2 mais uma vez. Em t meses:

Para os juros, o caminho é sempre: calcule o montante e subtraia o capital. Somar os juros mês a mês (R$ 200, R$ 240, R$ 288…) dá muito mais trabalho.

Os dois regimes lado a lado

Tabela mês a mês: o que cada regime rende com os mesmos R$ 1.000?

Agora a taxa de verdade: R$ 1.000 a 2% ao mês, 12 meses, calculados nos dois regimes. A última coluna mostra quanto os compostos passam à frente.

Em 12 meses, os juros simples levam o montante a R$ 1.240,00 e os compostos a R$ 1.268,24. No primeiro mês a diferença é zero; a partir do segundo, a taxa incide também sobre os juros que já nasceram, e a distância só cresce.

Reta contra exponencial: quem rende mais, e quando?

No exemplo da aula (R$ 1.000 a 20% ao mês), os simples sobem R$ 200 por mês, sempre: 1.200, 1.400, 1.600, uma reta. Nos compostos o primeiro mês é idêntico, mas depois o crescimento acelera: 1.440, 1.728, uma função exponencial. Os dois gráficos se encontram em um único ponto, no tempo de um período. Antes dele, os simples ficam acima; depois, os compostos disparam.

Quem aplica a longo prazo quer compostos; quem deve preferiria a curva dos simples.

Como juros aparecem no ENEM?

A regra de leitura da aula cabe numa linha: falou simples, é simples; falou compostos, é compostos; não falou nada, é compostos, com a taxa sempre incidindo sobre o valor atual.

O formato mais traiçoeiro é a série de depósitos: em vez de um capital, o aplicador deposita a mesma quantia todo mês. Resolvo um logo abaixo.

Exemplo resolvido: 12 depósitos de R$ 1.000 a 5% ao mês

Jorge faz 12 depósitos de R$ 1.000, sempre no primeiro dia de cada mês, a partir de 1º de janeiro, a 5% ao mês. Quanto terá ao fim dos 12 meses? (Use 1,05¹² = 1,8.) A resposta é a alternativa de R$ 16.800 (as demais eram R$ 12.000, R$ 12.600, R$ 14.400 e R$ 16.000).

O erro tentador é multiplicar os R$ 12.000 depositados por 1,05¹², como se todo o dinheiro rendesse 12 meses. Não rende: o primeiro depósito rende 12 meses, o segundo 11, o terceiro 10, e o último rende apenas 1. O total é:

Coloque 1.000 · 1,05 em evidência. Sobra $1+1,05+1,05^2+\cdots +1,05^{11}$, que é uma PG de primeiro termo 1 e razão 1,05. Atenção à contagem: os expoentes vão de 0 a 11, então são 12 termos, não 11. Pela soma da PG:

Depósitos com juros compostos desembocam em soma de PG. Se ainda estiver mole, revise a progressão geométrica.

Os erros mais comuns em juros simples e compostos

1. 01

   Confundir juros com taxa

   Juros são dinheiro, em reais; taxa é percentual. Com 20% ao mês sobre R$ 1.000, os juros do mês são R$ 200, não 20%.

   Como evitar: antes de continuar, escreva a unidade do número que você tem: reais ou porcentagem.
2. 02

   Não casar a taxa com o tempo, ou usar 20 em vez de 0,2

   Taxa ao mês com tempo em anos, ou taxa como 20 na fórmula, multiplica o resultado por um valor sem sentido.

   Como evitar: converta a taxa para decimal e leve o tempo para a unidade da taxa antes de substituir.
3. 03

   Multiplicar o total depositado por (1 + i)^t em séries de depósitos

   Isso supõe que todo o dinheiro rende pelo prazo inteiro. Cada depósito rende por um número diferente de meses.

   Como evitar: monte a soma depósito a depósito, reconheça a PG e use a fórmula da soma, contando os termos com cuidado.

FAQ: juros simples e compostos