Porcentagem no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 36 minutos: o índice

Como o ENEM cobra porcentagem

O professor diz que porcentagem é um raciocínio genérico, que aparece em física, química e matemática, e afirma que cai no ENEM com certeza, inclusive com questão só de porcentagem. Na prática da aula, o ENEM cobra variações percentuais sucessivas e lucro sobre custo, onde a pegadinha é subtrair percentuais (80% de lucro menos 40% de desconto) em vez de multiplicar fatores. Também é a base de juros simples e compostos.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Frações e simplificação
• Números decimais (andar com a vírgula)
• Multiplicação e divisão mentais

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Tabela porcentagem × decimal × fração (100% = 1 = 100/100; 25% = 0,25 = 1/4; 3,1% = 0,031 = 31/1000; 345% = 3,45 = 345/100), com seta de ÷100
• 20% de 450 = 90 e 35% de 700 = 245 (10% + 10% + 10% + 5%)
• 28% de 25 = 25% de 28 = 7; 6 é 5% de 120; 30 é 7,5% de 400
• Aumentos e descontos sobre 1.000: fator 1,2 → 1.200 e fator 0,8 → 800
• Aumento de 20% e desconto de 20%: 100·1,2·0,8 = 96, variação final de −4%
• Questão modelo (Universo Narrado, 2023): custo 100, 1,8·100 = 180, 0,6·180 = 108, lucro de 8% (alternativa a)

Porcentagem, decimal e fração, inclusive acima de 100%

Porcentagem significa "quantas partes em 100". Assim, 100% são 100 partes de 100, ou seja, o total, o inteiro. Na forma de fração, 100% é $\frac{100}{100}$, que simplifica para 1. Esse é o ponto de partida: o professor insiste que a base de toda a porcentagem é o inteiro dividido em 100 partes.

Para passar de porcentagem para decimal, divide-se por 100, o que na prática é andar com a vírgula duas casas para a esquerda. Para ir do decimal à porcentagem, multiplica-se por 100 (vírgula duas casas para a direita). A fração correspondente é simplesmente o valor em porcentagem sobre 100.

Exemplo 1: 25% é 0,25 em decimal e $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$ em fração. Faz sentido porque dividir em 100 partes e pegar 25 é o mesmo que dividir em 4 partes e pegar uma: dentro de 100 cabem quatro vezes o 25. Logo, 25%, 0,25 e 1/4 são sinônimos.

Exemplo 2: o decimal 0,031, multiplicado por 100, vira 3,1%. Em fração, 3,1% é $\frac{3,1}{100}$; como não é usual deixar decimal no numerador, multiplica-se em cima e embaixo por 10 e obtém-se $\frac{31}{1000}$.

O professor lembra que o caminho vale nos três sentidos: dado qualquer um dos três (porcentagem, decimal ou fração), encontram-se os outros dois. Decimal e fração são análogos para fazer contas, e cada aluno costuma preferir um, mas convém dominar os dois.

Uma fração como $\frac{345}{100}$ pode parecer estranha por ter o numerador maior que o denominador, mas não há problema algum. Como o denominador é 100, ela representa 345%, e em decimal basta dividir por 100, o que dá 3,45.

O professor responde à dúvida "existe porcentagem maior que 100?" com exemplos do cotidiano. Quando se diz que o número de casos de uma doença aumentou 300%, isso significa que o valor passou a ser o triplo do que era. Se a fortuna de uma pessoa aumentou 200%, ela ganhou duas vezes o que já tinha.

A lição é que aumentos maiores que 100% existem sem nenhum problema, e a mesma conversão (dividir por 100) continua valendo. Esse ponto prepara o que vem depois: mais adiante, o valor final após um aumento é representado por um número maior que 1.

▶ Ver este trecho no vídeo (01:43:00)

Calcular a porcentagem de um valor: decimal, fração e raciocínio mental

Para calcular a porcentagem de um número, pega-se o decimal (ou a fração) correspondente e multiplica-se pelo número. O professor avisa que não vai usar regra de três nesta aula: ela resolve tudo, mas o objetivo é um caminho mais prático, que será muito útil em matemática financeira.

Exemplo: 20% de 450. O decimal de 20% é 0,2, então a conta é $0,2\times 450$. Ignorando a vírgula, $2\times 450=900$, e tirando uma casa decimal sobra 90. Pela fração, $\frac{20}{100}\times 450$: cortam-se dois zeros e sobra $2\times 45=90$. A vantagem da fração é não mexer com vírgula.

A terceira forma é o raciocínio mental, que o professor recomenda treinar: pensar em 10%, que é dividir por 10, e em 5%, que é a metade de 10%. Para 20% de 450, 10% é 45 e 20% é o dobro, 90.

Segundo exemplo: 35% de 700. Pela fração, $\frac{35}{100}\times 700=35\times 7=245$ (porque $30\times 7=210$ e $5\times 7=35$). De cabeça, 10% de 700 é 70; 35% é 10%+10%+10%+5%, ou seja, $70+70+70+35=245$. Ele destaca que a agilidade nas contas ganha tempo na prova.

▶ Ver este trecho no vídeo (01:51:00)

Quanto por cento é, e a troca 28% de 25 = 25% de 28

Para responder "30 é quantos por cento de 400?" sem regra de três, o professor generaliza com um caso conhecido: 400 é quanto por cento de 400? São 100%. Portanto, basta dividir o valor que se tem pelo total.

Exemplo mais simples: 6 é quanto por cento de 120? Faz-se $\frac{6}{120}$, que simplifica por 6 para $\frac{1}{20}$. Para a fração ter denominador 100, multiplica-se em cima e embaixo por 5, e obtém-se $\frac{5}{100}$, ou seja, 5%. Também dá para raciocinar por proporção: 120 é 100%, 12 é 10% e 6, que é metade de 12, é 5%.

Agora o caso de partida: $\frac{30}{400}$. Divide-se em cima e embaixo por 2 e obtém-se $\frac{15}{200}$; divide-se por 2 de novo, para que o denominador vire 100, e fica $\frac{7,5}{100}$, que é 7,5%. O professor observa que, embora o número seja quebrado, ele se encontra com facilidade desse modo.

Para calcular 28% de 25, a conta seria $\frac{28}{100}\times 25$. O professor chama a atenção para o fato de que a multiplicação é comutativa: $28\times 25=25\times 28$. Logo, $\frac{28}{100}\times 25=\frac{25}{100}\times 28$, isto é, 28% de 25 é exatamente 25% de 28.

Isso agiliza muito, porque 25% é 1/4 e um quarto de 28 é 7 (basta dividir por 4). Já calcular 28% de 25 daria bastante trabalho de cabeça.

O mesmo vale para casos mais difíceis: calcular 15,5% de 20 é o mesmo que calcular 20% de 15,5, bem mais fácil. A recomendação é guardar a troca como atalho sempre que um dos números for uma porcentagem "amigável" (10%, 20%, 25%, 50%).

▶ Ver este trecho no vídeo (01:58:00)

Aumentos e descontos: o valor final de uma vez só

Com um valor inicial de R$1.000eumaumentode20$0{,}2\times1000=200$,eovalorfinal\acute{e}$1000+200=1200$\mathrm{.}Oprofessormostraumcaminhodireto:ovalorinicialrepresenta100$1{,}2\times1000=1200$, sem passar pelo cálculo do aumento.

A regra é: para calcular só o aumento, multiplica-se por 0,2 (ou 0,5 se for 50%); para calcular já o valor final, multiplica-se por 1,2, onde o 1 representa os 100% e o 0,2 o aumento de 20%.

O desconto segue a mesma lógica. Um fogão de R$1.000com20$0{,}2\times1000=200$\mathrm{.}Direto:oprodutoficacom100$0{,}8\times1000=800$.

O professor deixa claro que o objetivo não é achar esse caminho mais rápido em toda situação, e sim ter uma ferramenta a mais. Ele avisa que esse raciocínio será usado em juros compostos.

▶ Ver este trecho no vídeo (02:06:00)

Aumentar 20% e depois descontar 20% não volta ao valor original

A pergunta é: um produto recebe aumento de 20% e, em seguida, desconto de 20%. O que acontece com o valor? Como o enunciado não dá o preço, vale escolher um valor, e o professor usa 100 (o resultado seria o mesmo com $x$).

O aumento de 20% multiplica por 1,2, e o desconto de 20% multiplica por 0,8. Então $100\times 1,2\times 0,8$. Como $12\times 8=96$, o fator é 0,96 e o preço final é 96. O produto que custava 100 passa a custar 96, uma redução de 4%.

Se a ordem fosse inversa (primeiro o desconto, depois o aumento), a conta seria a mesma, com o mesmo fator 0,96 e a mesma queda de 4%. Também dá para usar $x$ no lugar de 100: o resultado é $0,96x$, e 0,96 significa 96%.

Por isso, aumentar e diminuir pelo mesmo percentual não deixa o valor igual: ele fica reduzido, porque o segundo percentual incide sobre um valor diferente do inicial.

▶ Ver este trecho no vídeo (02:12:00)

Questão modelo: lucro de Jeremias com 40% de desconto

O professor apresenta uma questão que "fabricou" para a aula. Jeremias, dono de uma loja de eletrodomésticos usados, vende cada item pelo preço normal com 80% de lucro sobre o preço que pagou. Para aumentar as vendas, faz uma promoção com 40% de desconto em qualquer item. Pergunta-se o lucro percentual em cada item vendido na promoção.

A pegadinha é concluir que o lucro seria 80%−40% = 40%. O professor diz que esse raciocínio está totalmente errado, porque o desconto incide sobre o preço de venda e não sobre o custo.

Como o problema é proporcional, escolhe-se um custo de 100. Com 80% de lucro, o preço de venda normal é $100\times 1,8=180$. Com 40% de desconto, o produto é vendido por 60% do preço: $0,6\times 180=108$ (porque $6\times 18=108$).

Comprando por 100 e vendendo por 108, o lucro é de 8%. Portanto, mesmo com 40% de desconto, Jeremias ainda tem lucro, mas de apenas 8%. No fechamento, o professor reforça que o assunto cai no ENEM e é usado em várias outras questões.

▶ Ver este trecho no vídeo (02:15:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: proporcao juros compostos juros simples operacoes com fracoes

As 6 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Questão 05 · exemplo do professor

Questão 06 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em porcentagem

1. 01

   Subtrair os percentuais do lucro e do desconto

   Subtrair os percentuais do lucro e do desconto (80%−40%) em vez de multiplicar os fatores.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Achar que aumentar 20% e depois diminuir 20% volta ao valor

   Achar que aumentar 20% e depois diminuir 20% volta ao valor original (na verdade cai 4%).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Estranhar o numerador maior que o denominador e achar

   Estranhar o numerador maior que o denominador e achar que porcentagem acima de 100% não existe.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Fazer a conta mais difícil

   Fazer a conta mais difícil (28% de 25) sem perceber que dá para trocar por 25% de 28.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Calcular o aumento e depois somar quando o fator 1,2 resolve

   Calcular o aumento e depois somar quando o fator 1,2 resolve em um passo (válido, mas mais lento).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Confundir 0,2

   Confundir 0,2 (só o aumento) com 1,2 (valor inicial mais aumento).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Porcentagem no ENEM