Função exponencial: do gráfico à prova, sem decoreba.

O que é função exponencial?

Função exponencial é toda função $f(x) = a^x$, com base $a > 0$ e $a \neq 1$, em que a variável fica lá no expoente. E é essa posição, o $x$ lá no alto, que faz o valor disparar.

Dobra um número 20 vezes e ele já passa de um milhão: $2^{20} = 1{.}048{.}576$.

Nenhuma polinomial cresce assim. Quando o $x$ pula de 10 pra 20, o $x^2$ só quadruplica. A exponencial se multiplica por si mesma a cada passo.

E quem manda no rumo é a base: se $a > 1$ ela cresce, se $0 < a < 1$ ela decai. O gráfico, esse, vive sempre acima do eixo $x$.

Por que a base muda o crescimento?

O que decide se a exponencial cresce ou decai é a base $a$: se $a > 1$ ela cresce, se $0 < a < 1$ ela decai. Compara $f(x) = 2^x$ com $f(x) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x$: em $2^x$ cada passo pra direita dobra o valor (1, 2, 4, 8...); em $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ cada passo corta pela metade (1, $\tfrac12$, $\tfrac14$...).

E não é decoreba. Quando $a > 1$, você tá multiplicando de novo e de novo por um número maior que 1, então só pode aumentar. Quando a base fica entre 0 e 1, multiplicar por uma fração sempre encolhe.

Sacou? O sinal da desigualdade, $a > 1$ ou $0 < a < 1$, já te conta o destino do gráfico antes de você desenhar qualquer coisa.

Pensa comigo: a base é o motor, e o expoente só conta quantas vezes o motor girou.

Como é o gráfico da função exponencial?

O gráfico de $f(x) = a^x$ vive inteiro acima do eixo $x$. A imagem é sempre positiva, e a curva chega pertinho do eixo sem nunca encostar nele. Essa reta que ela persegue sem tocar é a assíntota horizontal.

Por quê? Porque $a^x$ nunca dá zero. Por mais negativo que o $x$ fique, $2^{-10} = \tfrac{1}{1024} \approx 0{,}00098$ ainda é positivo, só que cada vez menor.

No resfriamento do café eu mostro isso ao vivo: ela cai exponencialmente e, mais que isso, a temperatura, ela tende assintoticamente à temperatura ambiente. Olha que bonito, ela se aproxima do valor final sem nunca alcançá-lo, igualzinho a curva perseguindo o eixo.

Se $a > 1$ a curva sobe pra direita; se $0 < a < 1$, ela desce. Mas as duas ficam sempre coladas no lado positivo.

Como resolver uma equação exponencial?

Pra resolver equação exponencial tem um método em dois tempos. Se dá pra deixar os dois lados com a mesma base, você iguala os expoentes e acabou. Quando não dá, o logaritmo entra como a operação inversa que solta o $x$ lá do expoente.

Numa aula eu resolvi essa do zero. 2 elevado a $x$ é igual a 3 elevado a $x$ mais 1 e a pergunta é, quanto que vale o $x$?

E presta atenção no espírito da coisa. A matemática não tem a ver com saber quanto é o log de dois terços. A matemática tem a ver com entender esses processos que a gente tá construindo juntos. O número no fim importa menos que o caminho.

O que é o número de Euler?

O número de Euler, $e \approx 2{,}71828$, é a base mais importante da matemática. E a exponencial natural é simplesmente $f(x) = e^x$.

Por que logo esse número esquisito? Porque $e$ é a base em que a função cresce exatamente na mesma taxa do próprio valor. É isso que faz ela aparecer sozinha em todo fenômeno de crescimento e decaimento contínuo.

No resfriamento do café é o $e^x$ que resolve a conta. Eu aplico exponencial dos dois lados. E elevado ao ln de alguma coisa vai dar essa alguma coisa, e é isso que isola a temperatura.

Você não precisa decorar as 50 casas de $e$, cara. Precisa entender que ele é a base natural do crescimento contínuo: juros que rendem a cada instante, população que se reproduz sem parar, átomo que decai.

Onde a exponencial aparece na vida real?

A função exponencial é a matemática de tudo que cresce ou decai acelerando: juros compostos, população de bactérias, decaimento radioativo, epidemia e até o café esfriando na sua mesa.

Eu tava outro dia tomando um cafezinho aqui numa sala aqui com ar-condicionado, dei uma bicada, dei outra, e quando vi já tava gelado. Existe uma equação, eu lembrei da época que eu estava usando o cálculo, que se chama Lei de Resfriamento de Newton. E foi ela que modelou isso: caiu numa exponencial de decaimento da temperatura no tempo, com aquele termo $e^{-kt}$.

Do lado do crescimento é a mesma ideia virada do avesso: um contágio que triplica por dia sai de 1 caso e chega a $4{.}782{.}969$ em 14 dias.

É sempre a mesma $f(x) = a^x$. Muda só a base e o sinal do expoente. Por isso o ENEM adora cobrar exponencial dentro de um contexto real, nunca solta.

Qual a relação com PG e juros?

A função exponencial e a progressão geométrica são o mesmo fenômeno em roupas diferentes: a PG é a exponencial amostrada em passos inteiros.

Numa PG de razão $q$, cada termo é $a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$. Troca o $n$ por um $x$ contínuo e você tem exatamente uma exponencial de base $q$.

É por isso que juros compostos são exponenciais: um capital que rende 1% ao mês vira $M = C \cdot (1{,}01)^t$, a mesma cara de $a^x$ com base 1,01. A diferença é só o passo: a PG pula de mês em mês (valores discretos) e a exponencial preenche o intervalo inteiro (contínuo).

Entendeu uma, entendeu a outra. Não são dois assuntos, é o mesmo assunto visto de dois ângulos.

Como a exponencial cai no ENEM?

No ENEM e nos vestibulares, função exponencial quase nunca vem solta. Vem dentro de um problema de crescimento ou decaimento pedindo pra você montar e resolver a expressão.

Pega um modelo clássico: uma população de bactérias que dobra a cada hora, $N(t) = N_0 \cdot 2^t$, começa com 500, e a prova pergunta quantas há em 5 horas.

O pulo do gato da prova é traduzir o enunciado em $f(x) = a^x$ antes de sair calculando. O resto é a mecânica que a gente já construiu nas seções de cima.

Se você quer treinar isso com estrutura, dá uma olhada no Desvendando a Matemática, onde eu monto a base do zero.

Perguntas frequentes sobre função exponencial