Sólidos (Geometria Espacial) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 52 minutos: o índice

Como o ENEM cobra sólidos (geometria espacial)

O professor não cita estatísticas de recorrência. Na prática, a aula mostra que o ENEM cobra a combinação de dois sólidos num mesmo problema: dado um raio ou uma aresta, pede-se o volume ou a medida do outro sólido. Ele afirma que não há fórmula pronta para decorar: cada caso se resolve ligando os pontos de contato e montando um triângulo retângulo. O hexágono regular, dividido em seis triângulos equiláteros, aparece como polígono recorrente.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Volume e diagonal do cubo e do paralelepípedo (aula de prismas)
• Volume da esfera e do cilindro
• Teorema de Pitágoras e triângulo 3-4-5
• Semelhança de triângulos
• Área do triângulo equilátero e do hexágono regular

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Cubo e esfera: a = 2r (esfera inscrita) e 2R = a√3 (esfera circunscrita); exemplo r = 3 com V = 108π√3
• Cone e esfera: com Rc = 6 e h = 8, Re = 3 (semelhança); com Rc = 12 e h = 18, Re = 13 (Pitágoras)
• Cilindro e esfera: com Rc = 4 e h = 6, R = 5; esfera inscrita exige cilindro equilátero (h = 2R)
• Cubo e octaedro: aresta do cubo a = 4 dá aresta do octaedro x = 2√2
• Questão modelo: prisma hexagonal regular inscrito em esfera de raio 2, altura 2√3, volume 9

O que é inscrever um sólido em outro

A aula fecha a geometria espacial juntando o que já foi estudado: cilindro, cone, esfera, prisma e pirâmide. A ideia é colocar um sólido dentro do outro e estabelecer relações entre as medidas, como diâmetros, lados e arestas. Qualquer sólido pode ser inscrito em qualquer outro, mas o professor trabalha os casos mais clássicos: cubo e esfera, cone e esfera e cilindro e esfera, e depois um caso mais específico, cubo e octaedro.

A definição de inscrição é difícil de dar de forma rigorosa, mas pode ser imaginada assim: o sólido de dentro toca o de fora no limite, tangenciando todas as faces. Se a esfera estiver dentro do cubo e for aumentada um pouco, ela passa para fora do cubo; logo, só está inscrita quando está no tamanho máximo. Uma esfera que apenas está lá dentro, sem encostar, não está inscrita.

O método é o mesmo em todos os casos. Primeiro, identificar os pontos onde os sólidos se tocam. Depois, ligar esses pontos, de preferência passando pelo centro, e reconhecer o segmento em cada sólido: o mesmo segmento pode ser um diâmetro para a esfera e uma diagonal para o cubo. Por fim, igualar as duas leituras. O professor insiste que é preciso treinar a visualização em três dimensões e que não adianta decorar fórmulas: elas saem do desenho.

▶ Ver este trecho no vídeo (17:32:00)

Cubo e esfera

Esfera dentro do cubo. A esfera toca o cubo no centro de cada face. Ligando os centros de duas faces opostas passando pelo centro da esfera, o segmento mede a (a aresta) quando visto pelo cubo e mede o diâmetro, 2r, quando visto pela esfera. Logo, a = 2r. Se for dada a aresta, acha-se o raio, e vice-versa.

Cubo dentro da esfera. Agora o contato acontece nos vértices, e os pontos médios das faces não tocam a esfera. Ligando dois vértices opostos, o segmento é um diâmetro da esfera, 2R (R maiúsculo, o raio da esfera grande, circunscrita), e é também a diagonal do cubo. Como a diagonal do cubo é a√3 (resultado da aula de prismas, obtido com dois Pitágoras), tem-se 2R = a√3.

Exemplo numérico. Uma esfera de raio r = 3 está inscrita num cubo, e esse cubo está inscrito numa esfera maior; pede-se o volume da esfera grande. Com a = 2r, a aresta é 2 · 3 = 6. Depois, 2R = a√3 = 6√3, e portanto R = 3√3. O volume é V = (4/3)πR³ = (4/3)π(3√3)³. Escrevendo (3√3) · (3√3) · (3√3), o fator 3 do denominador simplifica com um dos 3, sobra 4 · 3 · 3 = 36 e os três √3 dão 3√3, de modo que V = 36 · 3 · √3 · π = 108π√3. O professor avisa que se trata de usar as duas relações em sequência: primeiro a = 2r, depois 2R = a√3.

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Cone e esfera

O cone é mais trabalhoso porque tem três medidas (raio da base, altura e geratriz), enquanto o cubo só tem aresta e a esfera só tem raio. A aula usa apenas cones retos. O professor lembra que, na prática, o problema se reduz a duas dimensões: um corte pelo eixo mostra um triângulo isósceles com uma circunferência inscrita.

Esfera dentro do cone (Rc = 6, h = 8, procura-se Re). Chame o raio da esfera de x. O centro fica a distância x da base, então do vértice ao centro tem-se 8 − x. A hipotenusa do triângulo retângulo grande (altura 8 e raio 6) é 10, pois é o triângulo 3-4-5 multiplicado por 2. Como a reta do cone é tangente à esfera, o raio até o ponto de tangência forma 90°. Surge um triângulo pequeno, com ângulos θ, 90° e α, semelhante ao grande. Relacionando o lado oposto a θ e a hipotenusa: x/6 = (8 − x)/10, que simplificado por 2 fica x/3 = (8 − x)/5, logo 5x = 24 − 3x, 8x = 24 e x = 3. Não há fórmula; usa-se semelhança.

Cone dentro da esfera (Rc = 12, h = 18, procura-se R). Aqui não há triângulos semelhantes, então usa-se Pitágoras. O centro da esfera está sobre o eixo, a R do vértice, logo a 18 − R da base. No triângulo retângulo formado pelo centro, o centro da base e um ponto da borda da base: R² = 12² + (18 − R)². Desenvolvendo, R² = 144 + 324 − 36R + R², o R² cancela e 36R = 468, portanto R = 13.

▶ Ver este trecho no vídeo (17:46:00)

Cilindro e esfera

Cilindro dentro da esfera (raio da base 4, altura 6, procura-se R). Ligam-se uma extremidade superior do cilindro à extremidade oposta inferior: o segmento passa pelo centro e é um diâmetro da esfera, 2R. Fecha-se um triângulo retângulo cujos catetos são a altura do cilindro, 6, e o diâmetro da base, 2 · 4 = 8. Trata-se de novo de um 3-4-5 multiplicado por 2, com hipotenusa 10. Então 2R = 10 e R = 5.

Esfera dentro do cilindro. Agora o professor não dá valores, porque quer mostrar as relações gerais. Medindo de lado a lado na altura do centro, o segmento é o diâmetro da esfera e também o diâmetro do cilindro: o raio do cilindro é igual ao raio da esfera, e chamam-se ambos de R. Medindo de topo a base, o segmento é a altura do cilindro e também o diâmetro da esfera, 2R. Logo h = 2R.

Um cilindro com h = 2R é um cilindro equilátero: um corte pelo eixo dá um quadrado. Portanto, para uma esfera poder ser inscrita num cilindro, o cilindro precisa ser equilátero. Já no caso contrário, o cilindro dentro da esfera, não há essa exigência. O professor ressalta que não é para decorar o nome: basta o desenho, em que se vê o quadrado.

▶ Ver este trecho no vídeo (18:00:00)

Cubo e octaedro regular

Caso menos típico, tratado como aprofundamento. O octaedro regular tem todas as arestas iguais e pode ser visto como duas pirâmides quadradas coladas pela base, uma de bico para cima e outra de bico para baixo. Para inscrevê-lo no cubo, marcam-se os centros das seis faces do cubo e ligam-se centro com centro: esses são os vértices do octaedro. O quadrado formado pelos centros das quatro faces laterais é a base comum das duas pirâmides.

A visualização mais simples é a vista de cima. O cubo aparece como um quadrado ABCD de lado a, e os centros E, F, G, H das faces laterais ficam nos pontos médios dos lados, formando um outro quadrado dentro do primeiro. O lado desse quadrado interno é a aresta x do octaedro.

Com a = 4, cada metade de lado do quadrado externo mede 2. O lado do quadrado interno é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles de catetos 2 e 2, isto é, a diagonal de um quadrado de lado 2. Por Pitágoras, x² = 2² + 2², x = 2√2. Em geral, dada a aresta do cubo acha-se a do octaedro, e dada a do octaedro acha-se a do cubo, pelo mesmo raciocínio. O professor reconhece que esse caso aparece menos, mas diz que dá para resolver no piscar de olhos se aparecer.

▶ Ver este trecho no vídeo (18:06:00)

Questão modelo: prisma hexagonal regular inscrito em esfera

Enunciado: um prisma hexagonal regular está inscrito numa esfera de raio 2; a altura do prisma é 2√3; qual é o volume? Um prisma regular é obrigatoriamente reto, então as faces laterais são retângulos e a base é um hexágono regular. O volume é V = Ab · h, e a altura já é conhecida. Falta a área da base, e para isso falta o lado do hexágono.

Liga-se um vértice da base superior ao vértice oposto da base inferior: o segmento passa pelo centro da esfera e mede o diâmetro, 4. Fecha-se um triângulo retângulo com hipotenusa 4, um cateto igual à altura, 2√3, e o outro cateto x, que é a maior diagonal do hexágono. Por Pitágoras, 4² = x² + (2√3)², isto é, 16 = x² + 12, logo x = 2. O professor observa que seria também o triângulo 30-60-90, mas faz as contas.

O hexágono regular é formado por seis triângulos equiláteros e a maior diagonal passa pelo centro, ocupando dois lados. Se a diagonal vale 2, o lado do hexágono vale 1. A área de um triângulo equilátero é l²√3/4, então a área da base é 6 · 1² · √3/4 = 3√3/2. O volume é (3√3/2) · 2√3 = 3 · 3 = 9. A alternativa correta é 9 (o professor comenta que marcar 3 seria erro de conta, pois 3 · 3 = 9).

▶ Ver este trecho no vídeo (18:14:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: pitagoras volume do cilindro

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Questão 05 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em sólidos (geometria espacial)

1. 01

   Confundir o raio da esfera circunscrita

   Confundir o raio da esfera circunscrita (R) com o da inscrita (r) e aplicar a relação errada.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Procurar fórmula decorada para cone e esfera, em vez de usar

   Procurar fórmula decorada para cone e esfera, em vez de usar semelhança ou Pitágoras.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Usar semelhança no cone dentro da esfera, onde não há

   Usar semelhança no cone dentro da esfera, onde não há triângulos semelhantes.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Esquecer que a esfera só pode ser inscrita em cilindro

   Esquecer que a esfera só pode ser inscrita em cilindro equilátero (h = 2R).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Tomar a maior diagonal do hexágono como o lado

   Tomar a maior diagonal do hexágono como o lado: o lado vale metade dela.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Errar a conta final e marcar 3 em vez de 9

   Errar a conta final e marcar 3 em vez de 9 (3 · 3).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Sólidos (Geometria Espacial) no ENEM