Diferença de quadrados: a² − b² = (a+b)(a−b) explicada

Q: Por que não sobra termo do meio?

Porque os produtos cruzados −ab e +ba são opostos e se cancelam.

Q: A soma de quadrados fatora?

Nos números reais, não: a² + b² é irredutível.

Q: Como usar para multiplicar de cabeça?

Escrevendo os fatores como média ± distância: 43 × 37 = 1600 − 9 = 1591.

Q: Como reconhecer a diferença de quadrados disfarçada?

Procurando coeficientes quadrados perfeitos e expoentes pares, como 4x² − 9 = (2x)² − 3².

Q: Preciso fatorar mais de uma vez?

Às vezes: x⁴ − 16 vira (x²+4)(x²−4), e o segundo fator fatora de novo.

Q: Para que serve na prática?

Para simplificar frações algébricas, resolver equações e acelerar cálculo mental.

Q: Qual a relação com os produtos notáveis?

São a mesma família; a diferença é que aqui os termos cruzados se cancelam.

Qual é a fórmula da diferença de quadrados?

Para quaisquer a e b:

Diferença de quadrados

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Um quadrado menos outro vira soma vezes diferença. Não sobra termo do meio — ao contrário do produto notável.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Só dois termos, e o sinal de menos entre eles é essencial:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$a$	a raiz do primeiro quadrado	—
$b$	a raiz do segundo quadrado	—

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: como se prova? Do jeito mais direto possível — abrindo o produto pela distributiva e vendo o que sobra:

Repara no que aconteceu: apareceram os dois termos cruzados, $- a b$ e $+ b a$ , e eles são opostos. Somados, dão zero. É exatamente por isso que a diferença de quadrados não tem termo do meio — enquanto o quadrado da soma tem 2ab. Nos dois casos os cruzados aparecem; a diferença é que aqui eles se aniquilam.

Dedução · distribuindo o produto

(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + b a - b^{2} = a^{2} - b^{2}

Os termos cruzados são opostos e se cancelam. Sobram só os quadrados.

Você pode estar pensando: “e a SOMA de quadrados, $a^{2} + b^{2}$ , fatora?” Nos números reais, não. Não existe par de fatores reais que a produza — e dá pra ver o porquê: para fatorar precisaríamos de raízes reais de $a^{2} + b^{2} = 0$ , que só acontece com a = b = 0. É por isso que a banca adora colocar $x^{2} + 4$ no meio de uma fatoração: quem tenta fatorar perde tempo. (Nos complexos ela fatora, mas isso é outra prova.) Selo Demonstrável: uma linha de distributiva.

Fatoração: os 5 casos explicados do zero

Quando usar (e quando não)?

Use para fatorar sempre que enxergar dois quadrados separados por menos — e isso aparece disfarçado: $4 x^{2} - 9$ é $(2 x)^{2} - 3^{2}$ , logo $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .

No cálculo mental é um atalho poderoso: qualquer produto de dois números equidistantes de um valor redondo vira diferença de quadrados. $43 \times 37$ é $(40 + 3) (40 - 3) = 1600 - 9 = 1591$ .

A fórmula exige SUBTRAÇÃO de quadrados. A soma $a^{2} + b^{2}$ não fatora nos reais. E confira se os dois termos são mesmo quadrados perfeitos: $x^{2} - 5$ fatora como $(x + \sqrt{5}) (x - \sqrt{5})$ , mas isso raramente é o que a questão quer.

Exemplo resolvido

Antes de tudo, prevê a segunda parte: 43 × 37 tem os dois números a 3 de distância do 40. O resultado deve ficar um pouquinho abaixo de 40² = 1.600. Quanto abaixo, a fórmula diz:

🪖 BásicoFatorar e calcular de cabeça

(a) Fatore $25 x^{2} - 16$ . (b) Calcule $43 \times 37$ de cabeça.

(a) $25 x^{2} = (5 x)^{2}$ e $16 = 4^{2}$ .
Logo $25 x^{2} - 16 = (5 x + 4) (5 x - 4)$ .
(b) $43 \times 37 = (40 + 3) (40 - 3) = 4 0^{2} - 3^{2}$ .
$= 1600 - 9 = 1591$ .

(5 x + 4) (5 x - 4)

43 \times 37 = 1591

Verificação: bateu com a previsão: 1.591 é 9 abaixo de 1.600, exatamente o 3². E (a) se confere abrindo: $25 x^{2} - 20 x + 20 x - 16$ ✓. E se fossem 44 × 36? Mesma média 40, distância 4: $1600 - 16 = 1584$ . Repara que quanto mais afastados os fatores, menor o produto — com a soma fixa, o produto é máximo quando eles são iguais.

Quais os erros mais comuns?

01
Tentar fatorar a soma de quadrados
$a^{2} + b^{2}$ não fatora nos reais. Insistir nisso é perda de tempo garantida — e a banca planta esse termo de propósito.
Como evitar: só fatore quando houver MENOS entre os quadrados. Com mais, siga em frente.
02
Não reconhecer o quadrado disfarçado
$49 - x^{4}$ é $7^{2} - (x^{2})^{2}$ , então fatora como $(7 + x^{2}) (7 - x^{2})$ . Quem não enxerga a forma perde a fatoração.
Como evitar: pergunte de cada termo: ele é alguma coisa ao quadrado? Coeficiente e expoente par são pistas.
03
Parar na primeira fatoração
$x^{4} - 16$ vira $(x^{2} + 4) (x^{2} - 4)$ , mas o segundo fator AINDA é diferença de quadrados: $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .
Como evitar: depois de fatorar, olhe cada fator de novo. Fatoração só termina quando nada mais fatora.

FAQ: perguntas sobre a diferença de quadrados

Qual é a fórmula da diferença de quadrados?

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ : um quadrado menos outro é igual à soma vezes a diferença das raízes.

Por que não sobra termo do meio?

Porque os dois produtos cruzados, $- a b$ e $+ b a$ , são opostos e se cancelam. No quadrado da soma eles são iguais e somam 2ab; aqui eles se aniquilam.

A soma de quadrados fatora?

Nos números reais, não. $a^{2} + b^{2}$ é irredutível — precisaria de raízes reais que não existem. Nos complexos ela fatora, mas isso foge do ensino médio.

Como usar para multiplicar de cabeça?

Escrevendo os fatores como média ± distância: $43 \times 37 = (40 + 3) (40 - 3) = 1600 - 9 = 1591$ . Funciona sempre que os dois números forem equidistantes de um valor redondo.

Como reconhecer a diferença de quadrados disfarçada?

Procure coeficientes que são quadrados perfeitos e expoentes pares: $4 x^{2} - 9$ é $(2 x)^{2} - 3^{2}$ ; $x^{4} - 16$ é $(x^{2})^{2} - 4^{2}$ .

Preciso fatorar mais de uma vez?

Às vezes sim. $x^{4} - 16$ vira $(x^{2} + 4) (x^{2} - 4)$ , e o segundo fator fatora de novo em $(x + 2) (x - 2)$ .

Para que serve na prática?

Para simplificar frações algébricas (cortando fatores comuns), resolver equações e acelerar cálculo mental. É um dos cinco casos clássicos de fatoração.

Qual a relação com os produtos notáveis?

São a mesma família: nos dois a distributiva gera termos cruzados. No quadrado da soma eles somam; na diferença de quadrados eles se cancelam.

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Diferença de quadrados: a² − b² = (a+b)(a−b)

Qual é a fórmula da diferença de quadrados?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Tentar fatorar a soma de quadrados

Não reconhecer o quadrado disfarçado

Parar na primeira fatoração

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