Qual é a fórmula do número de divisores?
Se a fatoração em primos de N é , então:
Some 1 a cada expoente da fatoração e multiplique tudo. O +1 é a opção de NÃO usar aquele primo.
Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.
O que significa cada símbolo?
Os α são os expoentes da fatoração — nada além disso entra na conta:
| Símbolo | O que é | Unidade / observação |
|---|---|---|
| o número | natural maior que 1 | |
| os primos da fatoração | — | |
| os expoentes de cada primo | naturais |
De onde vem a fórmula?
A pergunta é: por que somar 1 a cada expoente? Pense em montar um divisor, e não em procurá-lo. Todo divisor de N é feito com os mesmos primos de N, cada um elevado a um expoente que vai de zero até o expoente que ele tem em N.
Tome . Para montar um divisor, você escolhe quantos 2 usar — pode ser 0, 1 ou 2, ou seja, três opções — e quantos 3 usar — 0 ou 1, duas opções. Cada combinação dá um divisor diferente.
Pelo princípio fundamental da contagem, o total de combinações é o produto das opções: . E de fato 12 tem seis divisores: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Cada primo oferece (expoente + 1) escolhas, de zero até o máximo. O produto das escolhas é o total de divisores.
Você pode estar pensando: “por que o +1, exatamente?” Porque o expoente zero também é uma escolha válida — é a opção de não usar aquele primo. Com expoente 2 disponível, as opções são 0, 1 e 2: três, não duas. É o mesmo motivo pelo qual o 1 e o próprio N entram na conta: o 1 é escolher zero de tudo, e N é escolher o máximo de tudo. Selo Demonstrável: é o princípio fundamental da contagem aplicado à fatoração.
Números primos: o que são, como identificar e listarQuando usar (e quando não)?
Use sempre que a questão pedir a QUANTIDADE de divisores — nunca liste. E use também para os problemas invertidos, que são os mais interessantes: “qual o menor número com exatamente 12 divisores?” se resolve fatorando o 12 e distribuindo os expoentes.
Variações que caem: para contar só os divisores PARES de N, separe um fator 2 e conte os divisores do que sobra; para contar os ÍMPARES, ignore o primo 2 na fórmula.
A fórmula conta TODOS os divisores positivos, incluindo o 1 e o próprio número. Se a questão pedir divisores próprios, subtraia. E ela exige a fatoração completa em primos — fatorar errado quebra tudo.
Exemplo resolvido
Antes da conta, prevê: 360 é um número bem “composto”, com muitos fatores pequenos. Ele deve ter bem mais divisores que um número do mesmo tamanho que seja primo (que teria só 2). Espere algo na casa das dezenas:
Quantos divisores tem 360? E quantos deles são ímpares?
- Fatorando: .
- Expoentes: 3, 2 e 1. Somando 1 a cada: 4, 3 e 2.
- divisores.
- Ímpares: ignore o primo 2 e conte os divisores de : .
Verificação: bateu com a previsão das dezenas. Confere pela estrutura: dos 24 divisores, 6 são ímpares (não usam o 2), então 18 são pares — e 18 é , que é exatamente a contagem escolhendo pelo menos um 2. E se fosse 361? Como , teria só divisores: 1, 19 e 361. Números vizinhos, estruturas completamente diferentes.
Quais os erros mais comuns?
- 01
Esquecer o +1 em algum expoente
Calcular para 360 ignora a opção de expoente zero em cada primo. O resultado sai muito menor que o real.
Como evitar: o +1 vem da escolha de NÃO usar o primo. Todo expoente ganha, inclusive o 1 (que vira 2). - 02
Fatorar de forma incompleta
Escrever e usar esses números não funciona: a fórmula exige fatoração em PRIMOS.
Como evitar: fatore até o fim, só com primos. 8 é 2³ e 45 é 3²·5. - 03
Contar divisores negativos ou esquecer o próprio número
A fórmula dá os divisores positivos, incluindo 1 e N. Se a questão pedir “divisores próprios”, é preciso ajustar.
Como evitar: leia o enunciado com cuidado: “divisores”, “divisores próprios” e “divisores positivos” pedem contagens diferentes.
FAQ: perguntas sobre o número de divisores
Qual é a fórmula do número de divisores?
Fatorando , o total é : soma-se 1 a cada expoente e multiplica-se tudo.
Por que somar 1 a cada expoente?
Porque o expoente zero também é uma escolha: é a opção de não usar aquele primo. Com expoente 2 disponível, há três opções (0, 1 e 2), não duas.
De onde vem essa fórmula?
Do princípio fundamental da contagem. Montar um divisor é escolher, para cada primo, um expoente entre 0 e o máximo — e o total de combinações é o produto das opções.
Quantos divisores tem 360?
Vinte e quatro. Como , o cálculo é .
Como contar só os divisores ímpares?
Ignorando o primo 2 na fatoração e aplicando a fórmula ao que sobra. Para 360, sobra , dando 6 divisores ímpares.
Como contar os divisores pares?
Subtraindo os ímpares do total, ou fixando pelo menos um fator 2. Para 360: 24 − 6 = 18 divisores pares.
Um número primo tem quantos divisores?
Exatamente dois: o 1 e ele mesmo. Pela fórmula, dá — e essa é justamente a definição de primo.
Qual o menor número com exatamente 12 divisores?
O 60. Como 12 = 2·2·3, os expoentes precisam ser 1, 1 e 2; colocando o maior expoente no menor primo, .
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MMC e MDC
A outra fórmula que vive da fatoração em primos.
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