Medidas de Dispersão (Estatística) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 50 minutos: o índice

Como o ENEM cobra medidas de dispersão (estatística)

O professor diz que a ideia central é entender o conceito: quanto maior o desvio padrão, mais dispersos os dados e mais longe da média. As questões mostradas misturam a relação entre variância e desvio padrão (variância = desvio padrão ao quadrado) com transformação de unidades e com raciocínio sobre o que acontece ao acrescentar valores iguais à média. Ele comenta que a questão da saca por hectare caiu recentemente no ENEM e que é preciso lembrar que 1 ha = 10.000 m², dado que nem toda prova fornece.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Média aritmética
• Módulo (valor absoluto)
• Potenciação e raiz quadrada
• Conversão de unidades e razão

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Medidas de dispersão medem o quanto os valores estão distantes da média; turmas A a D com média 6 e dispersão nula, baixa, média e alta (regularidade máxima, boa, média, baixa)
• Amplitude = maior valor menos menor valor; para {6, 8, 11, 15}, A = 15 − 6 = 9
• Desvio médio: média 10, desvios −4, −2, 1 e 5, DM = 3
• Variância V = soma dos quadrados dos desvios dividida por n e DP = raiz de V; no exemplo V = 11,5 e DP ≈ 3,3
• Questão da saca por hectare: DP = 90 kg/talhão = 0,5 saca/hectare, logo V = 0,25 saca²/hectare²
• Questão do Jerosvaldo: 13 notas, média 9, DP² = 10/13; reduzir o DP à metade exige n + 13 = 52, n = 39 (alternativa d)

O que é dispersão e por que a média não basta

O professor abre dizendo que as medidas de dispersão medem o quanto os valores estão distantes da média. Dispersão é espalhamento: algo muito disperso está muito espalhado, e a ideia da aula é quantificar esse espalhamento.

A aula é dividida em duas partes. A primeira é qualitativa, sem contas, só para entender o conceito. Para isso ele compara quatro turmas de notas. Na turma A, 100 alunos tiraram 6. Na turma B, 80 alunos tiraram 6, 10 tiraram 7 e 10 tiraram 5. Na turma C, 40 tiraram 8, 20 tiraram 6 e 40 tiraram 4. Na turma D, 40 tiraram 10, 10 tiraram 9, 10 tiraram 3 e 40 tiraram 2.

Em todas as quatro a média é 6. O professor usa a imagem de um cabo de guerra: os alunos acima da média puxam para a direita, os abaixo puxam para a esquerda, e as forças se compensam. Na turma B, 10 alunos puxam com força 1 para cada lado; na C, 40 puxam com força 2 para cada lado; na D, 10 puxam com força 3 e 40 com força 4 de cada lado (conforme a transcrição, ver dúvidas). Como tudo se equilibra, a média continua 6.

A conclusão é que a média é importante, mas sozinha não diz como os dados estão distribuídos: duas turmas com média 6 podem ser totalmente homogêneas ou ter 40% de alunos com nota máxima e 40% afundados. Por isso é preciso uma medida que diga o quão longe os dados estão da média.

▶ Ver este trecho no vídeo (27:56:00)

Dispersão nula, baixa, média e alta; regularidade

Com as quatro turmas, o professor classifica a dispersão. Na turma A todos estão exatamente em cima da média, então a dispersão é nula. Na B há 80% da turma na média e só 10 alunos um pouco acima e 10 um pouco abaixo, então existe dispersão, mas baixa. Na C há menos gente na média e já há alunos duas unidades acima e abaixo: dispersão média. Na D ninguém está na média e todos estão muito longe dela, com notas de 10 a 2: dispersão alta.

Ele liga isso ao conceito de regularidade, que é inversamente proporcional à dispersão. Dispersão nula significa regularidade máxima (todos no mesmo valor, algo quase impossível na vida real); depois vêm regularidade boa, média e baixa. Em geral, buscam-se regularidades altas e dispersões baixas.

O exemplo do dia a dia é o estudo diário. Quem estuda 15 horas num dia, 2 no outro, 18 no seguinte e nada no outro tem regularidade quase zero, mesmo que a média seja 5 horas. Já quem estuda 5, 5,5, 4 e 5 horas é regular. O mesmo vale para as notas: quem tira 10, depois 2, depois 8 é imprevisível, enquanto quem sempre tira 8 não traz surpresas. Até aqui, nenhuma conta foi feita; o objetivo era fixar o sentido das medidas antes de calculá-las.

▶ Ver este trecho no vídeo (28:04:00)

Amplitude e desvios em relação à média

A medida mais simples é a amplitude: o maior valor menos o menor. Para o conjunto {6, 8, 11, 15}, A = 15 − 6 = 9. Se isso é muito ou pouco depende do assunto. Nas turmas anteriores, a amplitude é 0 na A, 2 na B, 4 na C e 8 na D (melhor nota 10, pior 2). Uma amplitude zero indica turma extremamente regular; uma amplitude grande indica dados numa faixa larga, tendendo a ser mais dispersos. É uma medida simples, que já dá uma noção do espalhamento.

Todas as demais medidas partem da média, então o primeiro passo é calculá-la. Para {6, 8, 11, 15}, a soma é 40 e a média é 40 ÷ 4 = 10; os valores giram em torno de 10.

Em seguida vêm os desvios, que dizem o quão afastado cada valor está da média, sempre valor menos média. D₁ = 6 − 10 = −4, ou seja, quatro unidades abaixo da média. D₂ = 8 − 10 = −2, duas unidades abaixo. D₃ = 11 − 10 = 1, uma unidade acima. D₄ = 15 − 10 = 5, cinco unidades acima. Esses desvios são a matéria-prima do desvio médio, da variância e do desvio padrão.

▶ Ver este trecho no vídeo (28:11:00)

Desvio médio

O desvio médio é a média dos módulos dos desvios. Não se calcula a média dos desvios sem módulo porque a soma dos desvios em relação à média é sempre zero: −4 − 2 + 1 + 5 = 0.

No exemplo, DM = (|−4| + |−2| + |1| + |5|) ÷ 4 = (4 + 2 + 1 + 5) ÷ 4 = 12 ÷ 4 = 3.

A fórmula geral é DM = (|x₁ − x̄| + |x₂ − x̄| + ... + |xₙ − x̄|) ÷ n: toma-se cada valor menos a média, em módulo, somam-se todos e divide-se pelo número de valores. No exemplo os desvios foram calculados antes apenas para dar a noção do que cada um significa.

A interpretação, segundo o professor, é que, em média, cada valor está a 3 unidades da média. Um está 4 para a esquerda, outro 2 para a esquerda, outro 1 para a direita e outro 5 para a direita; é como se todos estivessem, em média, afastados 3 unidades.

▶ Ver este trecho no vídeo (28:17:00)

Variância e desvio padrão

A variância tem fórmula quase idêntica à do desvio médio. A diferença é que, em vez do módulo, cada desvio é elevado ao quadrado: V = ((x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + ... + (xₙ − x̄)²) ÷ n. O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância, então se calcula primeiro a variância e depois a raiz.

No exemplo de {6, 8, 11, 15}, com média 10: V = ((6 − 10)² + (8 − 10)² + (11 − 10)² + (15 − 10)²) ÷ 4 = (16 + 4 + 1 + 25) ÷ 4 = 46 ÷ 4 = 11,5. O desvio padrão é DP = √11,5. Como √10,24 = 3,2, o resultado fica próximo de 3,3, e o professor adota DP ≈ 3,3.

O professor lembra um caso extremo: num conjunto em que todos os valores são iguais à média, todas as medidas de dispersão (amplitude, desvio médio, variância e desvio padrão) valem zero. À medida que os valores se afastam da média, todas elas aumentam.

Ele insiste em que é preciso saber as fórmulas, mas sobretudo entender o conceito. Se perguntarem o que é desvio padrão, a resposta é: uma medida de dispersão; quanto maior, mais dispersos os dados e mais longe da média.

▶ Ver este trecho no vídeo (28:20:00)

Questão ENEM: variância com conversão de unidades

A primeira questão mistura a relação entre variância e desvio padrão com mudança de unidade. Os dados: uma saca equivale a 60 kg e um talhão tem 30.000 m². Uma colheita teve desvio padrão de 90 kg por talhão, e pede-se a variância em saca por hectare, ao quadrado.

Se o pedido fosse em kg por talhão ao quadrado, bastaria elevar 90 ao quadrado. Como a unidade é outra, o caminho é converter primeiro o desvio padrão. 90 kg correspondem a 90 ÷ 60 = 1,5 saca, então o desvio padrão é 1,5 saca por talhão, ou seja, 1,5 saca por 30.000 m².

É preciso saber que 1 hectare equivale a 10.000 m²; o professor recomenda levar essa informação para a prova, pois algumas questões a fornecem e outras não. Logo, 30.000 m² são 3 hectares, e o desvio padrão é 1,5 saca por 3 hectares, isto é, 0,5 saca por hectare.

Por que converter antes? Porque a variância é o desvio padrão ao quadrado, e a unidade da variância é a unidade ao quadrado. Assim, V = 0,5² = 0,25 saca² por hectare². O professor destaca que é uma questão que caiu recentemente e que vale treinar a transposição de unidades e a relação entre variância e desvio padrão.

▶ Ver este trecho no vídeo (28:26:00)

Questão ENEM: reduzir o desvio padrão à metade

A segunda questão: nas 13 últimas provas, as notas de Jerosvaldo foram 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10. Ele quer manter a média e aumentar a regularidade, tirando a mesma nota em provas consecutivas. Pergunta-se quantas provas são necessárias para que o desvio padrão caia pela metade.

A média atual é 9: há três notas 9 no meio, cinco notas puxando uma unidade para baixo e cinco puxando uma unidade para cima. Para manter a média, as novas notas têm de ser todas 9. Quanto mais notas 9, menor o desvio padrão, que tenderia a zero com mil provas.

Variância atual: ((8 − 9)²·5 + (9 − 9)²·3 + (10 − 9)²·5) ÷ 13 = 10 ÷ 13, então DP₁ = √(10/13).

Se ele tira n notas 9, a média não muda, o numerador continua 10 (as novas notas contribuem com zero) e o denominador passa a n + 13. Logo V₂ = 10 ÷ (n + 13) e DP₂ = √(10/(n + 13)).

Impõe-se DP₂ = DP₁ ÷ 2. Elevando ambos os lados ao quadrado: 10/(n + 13) = (1/4)·(10/13). O 10 se cancela e o produto cruzado dá n + 13 = 13 · 4 = 52, portanto n = 39. Ele precisa tirar mais 39 notas iguais a 9. O professor encerra parabenizando o aluno por ter revisado todos os tópicos mais importantes para o ENEM.

▶ Ver este trecho no vídeo (28:32:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: desvio padrao media aritmetica media ponderada medias geometrica harmonica quadratica

As 2 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (dados do mapa mental)

Questão 02 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em medidas de dispersão (estatística)

1. 01

   Achar que média igual significa dados parecidos

   Achar que média igual significa dados parecidos: as quatro turmas têm média 6 e dispersões diferentes.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Calcular a média dos desvios sem módulo

   Calcular a média dos desvios sem módulo: a soma dos desvios dá sempre zero.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Esquecer de tirar a raiz da variância para obter o desvio

   Esquecer de tirar a raiz da variância para obter o desvio padrão (ou de elevar o desvio padrão ao quadrado para obter a variância).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Elevar ao quadrado antes de converter a unidade

   Elevar ao quadrado antes de converter a unidade: a variância tem unidade ao quadrado, então converta o desvio padrão primeiro.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Esquecer que 1 hectare = 10.000 m² numa questão que não

   Esquecer que 1 hectare = 10.000 m² numa questão que não fornece a informação.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Medidas de Dispersão (Estatística) no ENEM