Médias (Estatística) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 46 minutos: o índice

Como o ENEM cobra médias (estatística)

O professor diz que a média aritmética e a ponderada são, "de longe", as que mais aparecem; geométrica e harmônica são raras e, quando surgem, o enunciado costuma trazer a definição. A aula mostra na prática as pegadinhas: dividir pelo número de linhas da tabela em vez do total de dados, tirar a média simples de aumentos percentuais e tirar a média simples de velocidades. A questão modelo ensina a trabalhar com soma em vez de média.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Tabela de frequências e histograma (aula anterior de estatística)
• Porcentagem e fator de aumento (ex.: 10% = multiplicar por 1,1)
• Velocidade média = distância total ÷ tempo total
• Sistema linear simples de duas equações

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Média aritmética: soma dos valores dividida por n; exemplo {3,4,5,5,6,7} dá 5
• Tabelas de frequência: idades 8 a 12 com média 10, e faixas 5⊢15 a 45⊢55 com ponto médio e média 30
• Média ponderada: soma de valor × peso dividida pela soma dos pesos; química precisa de 6,5 e o máximo possível é 6,7
• Média geométrica: raiz n-ésima do produto; {4, 9} dá 6; aumentos de 10% e 80% dão raiz de 1,1 · 1,8, e não +45%
• Média harmônica: n dividido pela soma dos inversos; ida a 60 km/h e volta a 90 km/h dá 72 km/h
• Questão modelo: x e y são as idades de Josivaldo e Mário; y − x = 5 e y + x = 47 dão y = 26, x = 21 e produto 546

Média aritmética: soma dos valores dividida pelo número de valores

A média aritmética simples é o tipo de média mais básico. Representada por $\bar{x}$ (uma barra sobre a letra), ela é a soma dos valores dividida pela quantidade deles: $\bar{x}={\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}$.

Para a lista $3,4,5,5,6,7$, a soma é $30$ e há seis valores, então $\bar{x}=30\mathrm{/}6=5$. O professor explica o significado: não há uma interpretação específica, mas a média pode ser entendida como o valor que todos teriam se fossem iguais. Se são idades, é a idade única que representaria a população de forma honesta.

É essa interpretação que dá sentido às duas variações que vêm a seguir. Na média ponderada, o "se todos fossem iguais" continua valendo, só que alguns valores contam mais que outros.

▶ Ver este trecho no vídeo (27:09:00)

Tabela de frequências e faixas: o erro de dividir pelo número de linhas

Quando os dados vêm numa tabela de frequências, o erro mais comum é somar as idades $8+9+10+11+12$ e dividir por $5$. O professor mostra que isso trataria cada idade como se aparecesse uma única vez. Na tabela, a idade $8$ aparece $4$ vezes, a $9$ aparece $8$ vezes, a $10$ aparece $3$, a $11$ aparece $4$ e a $12$ aparece $6$. Somar na mão seria $8+8+8+8+9+\dots$, e o atalho é multiplicar cada valor pela sua frequência.

O divisor também muda: não é o número de linhas ($5$), e sim o total de dados, $4+8+3+4+6=25$. A conta fica $\bar{x}={\displaystyle \frac{8\cdot 4+9\cdot 8+10\cdot 3+11\cdot 4+12\cdot 6}{25}}={\displaystyle \frac{32+72+30+44+72}{25}}={\displaystyle \frac{250}{25}}=10$ anos. O professor nota que, intuitivamente, isso já é uma média ponderada em que a frequência faz papel de peso.

Quando os dados estão em faixas, como o histograma, não se sabe a idade exata de cada pessoa: as quatro pessoas da faixa de $5$ a $15$ anos podem ter todas $5$ ou todas $14$. Por isso a média usa o valor médio (ponto médio) da faixa. Com as faixas $5⊢15$, $15⊢25$, $25⊢35$, $35⊢45$ e $45⊢55$, os pontos médios são $10,20,30,40,50$, com as mesmas frequências $4,8,3,4,6$: $\bar{x}={\displaystyle \frac{10\cdot 4+20\cdot 8+30\cdot 3+40\cdot 4+50\cdot 6}{25}}={\displaystyle \frac{750}{25}}=30$ anos.

▶ Ver este trecho no vídeo (27:12:00)

Média ponderada: cada valor com o seu peso

Na média ponderada, cada valor tem um peso diferente. Chamando-a de ${\bar{x}}_p$, multiplica-se cada valor pelo seu peso, somam-se os produtos e divide-se pela soma dos pesos, e não pelo número de valores: ${\bar{x}}_p={\displaystyle \frac{x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n}{p_1+p_2+\cdots +p_n}}$. Continua sendo uma média aritmética, só que com pesos.

O exemplo é um vestibular com três provas: matemática (peso $5$), física (peso $3$) e química (peso $2$). A pessoa tirou $7$ em matemática e $4$ em física, e precisa de média $6$. Quanto precisa tirar em química? Monta-se $6={\displaystyle \frac{7\cdot 5+4\cdot 3+x\cdot 2}{5+3+2}}$. Como a soma dos pesos é $10$, fica $60=35+12+2x$, logo $2x=13$ e $x=6,5$. Esse é o valor mínimo; uma nota maior eleva a média.

Para a nota máxima possível, supõe-se $10$ em química: ${\bar{x}}_{p,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}={\displaystyle \frac{35+12+20}{10}}=6,7$. O professor chama a atenção para o fato de que o peso pequeno limita o efeito, mesmo com a nota $10$. Os pesos equivalem a ter feito cinco provas de matemática com nota $7$, três de física com nota $4$ e duas de química com a nota procurada.

O professor afirma que a aritmética e a ponderada são, de longe, as médias mais importantes.

▶ Ver este trecho no vídeo (27:19:00)

Média geométrica e o aumento médio

A média geométrica de $n$ valores é a raiz $n$-ésima do produto deles: ${\bar{x}}_G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}$. Para dois valores usa-se a raiz quadrada, para três a cúbica, e assim por diante. Para $4$ e $9$, ${\bar{x}}_G=\sqrt{4\cdot 9}=6$. O professor lembra que a média geométrica é menor que a aritmética: a aritmética de $4$ e $9$ é $6,5$. Ele também diz que, quando cai em prova, o enunciado costuma dar a definição, mas convém saber que ela existe.

A aplicação típica é o aumento percentual sucessivo. Um produto sobe $10\mathrm{\%}$ num mês e $80\mathrm{\%}$ no seguinte, e pergunta-se qual seria o aumento mensal médio, isto é, o mesmo percentual aplicado duas vezes que levaria ao mesmo resultado. Com preço inicial $100$ (valor escolhido pelo professor), os fatores são $1,1$ e $1,8$: $100\cdot 1,1=110$ e, depois, $110+88=198$.

O erro é tirar a média simples, $(10+80)\mathrm{/}2=45\mathrm{\%}$. Dois aumentos de $45\mathrm{\%}$ levariam $100$ a $145$ e depois a $210,25$, bem acima dos $198$. Portanto, nada de média aritmética quando o assunto é aumento.

O jeito certo é multiplicar por um fator $x$ duas vezes: $100x^2=198$, o que dá $x\approx 1,41$, isto é, aumento de cerca de $41\mathrm{\%}$. Cortando o $100$, vê-se que $x=\sqrt{1,1\cdot 1,8}$, que é justamente a média geométrica dos fatores. Com três aumentos, usa-se a raiz cúbica do produto dos três fatores. O professor deixa claro que não é obrigatório usá-la; é um extra.

▶ Ver este trecho no vídeo (27:27:00)

Média harmônica e a velocidade média de ida e volta

A média harmônica é o número de valores dividido pela soma dos inversos deles: ${\bar{x}}_H={\displaystyle \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}}$. O professor avisa que é rara e que o aluno provavelmente já a usou de forma intuitiva, no cálculo de velocidade média.

O exemplo é uma viagem de ida e volta à praia: ida a $60$ km/h e volta a $90$ km/h. Quem calcula $(60+90)\mathrm{/}2=75$ erra. Para mostrar o porquê, o professor escolhe uma distância de $180$ km (valor sugerido por ele). A ida leva $180\mathrm{/}60=3$ h e a volta $180\mathrm{/}90=2$ h. A velocidade média é a distância total sobre o tempo total: ${\displaystyle \frac{360}{3+2}}={\displaystyle \frac{360}{5}}=72$ km/h, diferente de $75$. Se a distância fosse outra, numerador e denominador mudariam na mesma proporção e o resultado seria o mesmo.

A conexão com a média: a velocidade média de trechos de mesma distância é a média harmônica das velocidades. Com duas velocidades, $\bar{v}={\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{60}+\frac{1}{90}}}={\displaystyle \frac{2}{\frac{2+3}{180}}}=2\cdot {\displaystyle \frac{180}{5}}=72$ km/h, a mesma conta de antes. O professor diz que dá para se virar sem ela e que a mostra por curiosidade ou como atalho; ele cita que o professor de física pode ter mencionado algo assim.

▶ Ver este trecho no vídeo (27:39:00)

Questão modelo: o time de futsal e a troca de jogador

O enunciado: um time de futsal tem cinco jogadores; Josivaldo é substituído por Mário e a média das idades aumenta $1$ ano. Se a soma das idades de Mário e Josivaldo é $47$, qual é o produto das idades deles? Não se sabe a idade de ninguém, nem a média; só que ela subiu um ano. A dica do professor é trabalhar com soma, e não com média.

Na situação 1 (antes), $M_1=S_1\mathrm{/}5$, logo $S_1=5M_1$. Na situação 2 (depois), $M_2=S_2\mathrm{/}5$, e o divisor continua $5$, pois um jogador saiu e outro entrou. Como $M_2=M_1+1$, temos $M_1+1=S_2\mathrm{/}5$, ou seja, $S_2=5M_1+5=S_1+5$.

A soma das idades aumentou $5$. Como só um jogador mudou, o aumento veio todo da troca: Mário é $5$ anos mais velho que Josivaldo. O professor chama este de o ponto mais importante da questão e reconhece que o caminho foi mais burocrático de propósito.

Há também uma forma prática: se a média de cinco pessoas subiu $1$, é como se cada uma tivesse ganhado um ano, o que soma $5$. O professor ressalva que não foi isso que aconteceu, é apenas o efeito da média.

▶ Ver este trecho no vídeo (27:46:00)

Fechando a questão: sistema, idade de Mário e produto 546

Chamando $x$ a idade de Josivaldo e $y$ a de Mário, o aumento de $5$ na soma vira $y-x=5$, e o enunciado dá $y+x=47$. Somando as duas equações, $2y=52$, logo $y=26$. Mário tem $26$ anos.

Para a idade de Josivaldo, basta subtrair $5$ (ou substituir em qualquer equação): $x=21$. O mapa mental traz a conta final, $26\cdot 21=546$, que corresponde à alternativa com esse valor, a última da lista.

O professor insiste em dois pontos. Primeiro, o raciocínio central é perceber que, mantendo-se o número de jogadores, uma variação na média multiplicada pelo número de elementos dá a variação na soma. Segundo, não é preciso conhecer as outras idades: o que muda entre as duas situações é só a troca, então as idades que não mudaram se cancelam.

▶ Ver este trecho no vídeo (27:49:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: media aritmetica media ponderada medias geometrica harmonica quadratica desigualdade das medias velocidade media proporcao

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Questão 05 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em médias (estatística)

1. 01

   Dividir pelo número de linhas da tabela de frequências

   Dividir pelo número de linhas da tabela de frequências em vez do total de dados.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Somar as idades distintas sem multiplicar pelas frequências

   Somar as idades distintas sem multiplicar pelas frequências.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Em dados agrupados em faixas, não usar o ponto médio de cada

   Em dados agrupados em faixas, não usar o ponto médio de cada faixa.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Dividir a média ponderada pelo número de provas em vez

   Dividir a média ponderada pelo número de provas em vez da soma dos pesos.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Tirar a média aritmética de percentuais de aumento

   Tirar a média aritmética de percentuais de aumento (10% e 80% não dão 45%).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Tirar a média simples de velocidades de ida e volta

   Tirar a média simples de velocidades de ida e volta (60 e 90 não dão 75 km/h).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
7. 07

   Querer achar a média e as idades dos outros jogadores

   Querer achar a média e as idades dos outros jogadores na questão do futsal, em vez de trabalhar com a soma.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Médias (Estatística) no ENEM