MMC E MDC no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 56 minutos: o índice

Como o ENEM cobra mmc e mdc

O professor diz que a conta pura ("calcule o MDC entre 70 e 90") não costuma ser o formato da prova: o tema aparece em contexto, como dividir pessoas em equipes ou itens em lotes iguais. Ele aponta que palavras como "menor quantidade" no texto já devem acender o lembrete do MMC, e que "mesma quantidade em cada grupo, sem misturar" indica MDC. Não cita estatística de recorrência nesta aula.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Multiplicação e divisão exata com números inteiros
• Potências (expoentes como 2^5 e 3^2)
• Teorema de Pitágoras (aparece só na história de Hipaso)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Pitágoras: "Numbers rule the universe" (números inteiros)
• 420 = 2²·3·5·7
• Teorema fundamental da aritmética: todo inteiro maior que 1 se escreve de forma única como produto de primos
• MMC(7,5) = 35 e MMC(96,45) = 2⁵·3²·5
• MDC(70,90) = 10 e MDC(120,90) = 2·3·5 = 30
• Questão modelo: MDC = 2·2·3·5 = 60, dando 55 listas de Matemática e 21 de Física (alternativa e)

A questão que motiva a aula e a ideia pitagórica de número

A aula abre com a questão que será resolvida só no final: a equipe do Universo Narrado separou questões de Física e de Matemática de vestibulares para ampliar o banco de questões dos cursos de 2024. A seleção forneceu 3300 questões de Matemática e 1260 de Física, e o coordenador pedagógico (o nome vem na legenda como "Thago") criará listas com a mesma quantidade de questões, cada uma de uma única disciplina. O enunciado termina perguntando o número de listas de Física e de Matemática que serão geradas. O professor avisa que os números são redondos de propósito e não necessariamente reais, já que o banco tem cerca de 15 mil questões de Física e Matemática.

Antes da conta, ele propõe uma recapitulação conceitual. A frase de abertura é que os números primos são o "átomo da matemática", ideia que ele atribui a Pitágoras, para quem os números governam o universo ("Numbers rule the universe"). A analogia é com a ideia atomista de Demócrito: a matéria pode ser quebrada até a menor porção possível, e com os números é parecido.

O professor sustenta que quem entende bem essa imagem terá MMC, MDC e seus problemas muito mais simples. Por isso o início da aula parece um desvio, mas é o alicerce de tudo o que vem depois, inclusive da resolução final da questão.

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Pitágoras, os números irracionais e a história de Hipaso de Metaponto

Para explicar o que os pitagóricos entendiam por número, o professor faz um parêntese sobre números irracionais. Um irracional tem infinitas casas decimais sem padrão de repetição e não pode ser escrito como fração. Ele cita $\sqrt{2}$ e $\pi$: na calculadora, $\sqrt{2}$ começa com 1,414 e segue sem lógica aparente. Como não existe última casa, ninguém "sabe" exatamente que número é esse, o que causa estranheza.

Os pitagóricos, que formavam quase uma seita em torno da matemática, só aceitavam como números os inteiros (e, em alguma medida, os racionais). Para eles, os irracionais não existiam, e como trabalhavam muito com geometria, não admitiam que se pudesse desenhar um segmento de medida $\sqrt{2}$.

É aí que entra Hipaso de Metaponto (a legenda escreve "Ípso"), discípulo de Pitágoras que defendia a existência dos irracionais. Ele usou o próprio teorema de Pitágoras: num quadrado de lado 1, a diagonal é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 1 e 1, logo $x^2=1^2+1^2=2$ e $x=\sqrt{2}$. Segundo a história contada pelo professor, os pitagóricos mataram Hipaso, lançando-o ao mar. Ele insiste que isso é cultura útil, porque um texto histórico desse tipo poderia aparecer em prova.

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Decompor em fatores primos e o teorema fundamental da aritmética

A ideia atômica se traduz em aritmética assim: pegue um número e vá quebrando-o em produtos até não ser mais possível. O exemplo do professor é o 420, que pode ser escrito como $2\times 210$. O 2 não se quebra, é "inquebrável"; é um número primo. Já o 210 pode ser escrito como $2\times 105$, e o 105 como $3\times 35$, e o 35 como $5\times 7$. Chegamos a átomos, os números primos, e não é possível seguir.

Ele mostra que não importa o caminho: o 105 poderia ser quebrado começando pelo 3 ou por outro fator, mas no final sempre aparecem os mesmos primos. Para o 35, por exemplo, só existe $5\times 7$, e a única liberdade é a ordem dos fatores, que não muda o produto. Juntando fatores repetidos, o professor escreve potências, como o quadrado de 2.

O oposto de número primo é o número composto: aquele que é produto de primos, como o 35 ($5\times 7$). O 7, ao contrário, não é produto de ninguém. A conclusão é que decompor um número em fatores primos é uma das operações mais importantes da aritmética, e é o "passo zero" de tudo o que vem depois.

O professor chama a decomposição em fatores primos de "DNA" ou "digital" do número, porque ela é única. Se alguém informa quais primos compõem um número, basta multiplicá-los para chegar nele sem erro, e não existe outro número com a mesma lista de primos. Ele diz que foi essa propriedade que levou os pitagóricos a enxergarem os números como a fonte de tudo.

Essa ideia tem nome formal: teorema fundamental da aritmética. O enunciado dado na aula é que todo número inteiro maior que 1 pode ser escrito, de forma única, como produto de números primos. Os exemplos citados são 2, 3, 4, 5, 6, 7 (não valem números como 2,5). Depois de decomposto, o número chegou ao seu limite e não há mais como quebrá-lo.

O professor volta a dizer que essa base sustenta tudo o que será feito com MMC e MDC. Em vez de memorizar regras, a proposta é raciocinar a partir dos fatores primos: quais aparecem em cada número e quantas vezes.

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Múltiplos e o MMC: o caso simples de 5 e 7 e o problema de 96 e 45

Os múltiplos de um número são esse número vezes qualquer inteiro. Os de 7 são 7, 14, 21, 28, 35 e assim por diante, em quantidade infinita, e todos são divisíveis por 7. Listando os múltiplos de 5 (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35), o primeiro valor que aparece nas duas listas é o 35. Esse é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 5 e 7: o menor número que é múltiplo dos dois ao mesmo tempo.

O professor nota que 35 é o sétimo múltiplo de 5 e o quinto múltiplo de 7. Como 5 e 7 são primos distintos, não têm nada em comum, então o menor múltiplo comum é simplesmente o produto $5\times 7$. Mas ele alerta que multiplicar os dois nem sempre dá o menor: depende de os números terem fatores em comum, e por isso é preciso decompô-los.

O caso de 96 e 45 mostra o problema: listar múltiplos de números grandes é inviável. Ele decompõe $45=3^2\times 5$ e $96=2^5\times 3$ (checa a conta: $32\times 3=96$). O produto $96\times 45$ é múltiplo dos dois, mas provavelmente não é o menor, porque já existe um fator 3 em comum. Daí o raciocínio da próxima parte: o que é preciso para ser múltiplo de cada um.

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Como montar o MMC pela decomposição: a regra e o raciocínio por trás

O professor não começa pela regra, e sim pela lógica. Para ser múltiplo de 45, o número tem de ser 45 vezes alguma coisa, então o fator $3^2\times 5$ precisa aparecer. Para ser múltiplo de 96, tem de ser 96 vezes alguma coisa, então $2^5\times 3$ precisa aparecer. O menor número que contém as duas coisas é aquele que aproveita o que já existe: o 3 de 96 pode ser "emprestado" do $3^2$ de 45, sem precisar ser multiplicado de novo.

O MMC fica então com $2^5$, $3^2$ e $5$. Como 5 aparece no 45 e não no 96, pode-se pensar em $5^0=1$ do outro lado. O resultado é um pouco menor que $96\times 45$, porque o fator 3 comum não foi contado duas vezes. (O professor não escreve o valor final na aula; pelos fatores, $32\times 9\times 5=1440$, que é $4320÷3$, e $96\times 45=4320$.)

A regra prática, que ele diz ser consequência do raciocínio e não algo a decorar, é: decomponha os números, tome todos os fatores primos que aparecem em qualquer um deles, cada um com a maior potência que aparece. Ele prefere a ideia de "pegar emprestado" fatores para reduzir a quantidade de números multiplicados, porque o objetivo é o menor múltiplo possível.

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Onde o MMC aparece (as meias) e como obter os divisores de um número

Para ilustrar um contexto de prova, o professor dá o exemplo de Joaquim, que precisa comprar meias pretas e brancas em quantidades iguais. As pretas vêm sempre em pacotes de 7 e as brancas em pacotes de 5; não é possível comprar uma, duas ou três meias soltas. Pergunta-se a menor quantidade de meias que ele precisa comprar de cada cor.

Com um pacote são 7 meias pretas, com dois são 14, com três 21, e assim por diante; nas brancas, são 5, 10, 15. O que se quer é a primeira vez em que as duas listas coincidem. É o MMC de 7 e 5, que é 35: cinco pacotes de meias pretas e sete de meias brancas (a legenda mostra a contagem até o sete), cada cor com 35 meias.

O professor chama a atenção para a pista no texto: expressões como "a menor quantidade" muitas vezes já ativam o lembrete do MMC. Depois disso, a aula passa para o MDC, começando pela recapitulação de como obter os divisores de um número.

Para obter os divisores de um número, o primeiro passo é decompô-lo. O professor faz isso com o 70: $70=7\times 10=2\times 5\times 7$. Um número divide 70 apenas se for produto de alguns desses fatores, pois a divisão exata exige que os fatores do divisor possam "cortar" os do dividendo. Não há como encaixar um 3, por exemplo.

As possibilidades são os fatores isolados (2, 5 e 7), os produtos de dois (10, 14 e 35), o produto dos três (70) e o número 1, divisor de qualquer inteiro. Logo, os divisores de 70 são 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 e 70. O professor observa que isso é, no fundo, um problema de análise combinatória (escolher combinações de fatores), que não será tratado aqui, e que existe uma forma de contar divisores sem listar.

Ele repete o procedimento com o 90, que decompõe como $90=2\times 3^2\times 5$ ($9\times 10$, com $9=3\times 3$ e $10=2\times 5$). Como há mais fatores, há mais divisores. Ele monta a lista, em tempo real, com 90, 45, 18, 15, 10, 9, 6, 5, 3, 2 e 1; a lista dita na aula não inclui o 30.

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MDC: de 70 e 90, de 90 e 120, e a aplicação das equipes

Comparando as listas de divisores de 70 e de 90, os comuns são 1, 2, 5 e 10. O maior deles é 10, que é o máximo divisor comum (MDC): o maior número que divide os dois ao mesmo tempo. O 1 é divisor de todo mundo, então sempre será comum, mas o interesse é o maior.

Para números maiores, listar divisores não compensa, e o professor repete o raciocínio do MMC: decompor ambos. Com $90=2\times 3\times 3\times 5$ e $120=2\times 2\times 2\times 3\times 5$, um divisor de cada tem de ser um produto dos fatores do respectivo número. Só valem os fatores que existem nos dois. O 2 aparece uma vez em 90 e três vezes em 120, então só um 2 pode entrar; um segundo 2 construiria divisor de 120 que não é de 90. O 3 aparece em ambos, mas só uma vez em 120; o 5, uma vez em cada.

Logo, o MDC é $2\times 3\times 5=30$. O resumo do professor: decomponha os dois números, pegue o que há em comum entre eles (a interseção) e multiplique. Se um fator aparece mais vezes em um número, só entram tantas cópias quanto o outro número tem.

O exemplo de aplicação é uma gincana numa escola, com 70 meninas e 90 meninos. As regras: as equipes não misturam os sexos (só meninos ou só meninas), todas têm o mesmo número de integrantes, e se quer o menor número de equipes possível. O professor mostra como traduzir isso: o número de pessoas por equipe tem de dividir 70 e dividir 90, porque não existe equipe com quatro meninas e meia. E, para ter menos equipes, as equipes precisam ser as maiores possíveis, ou seja, o MDC.

Como $\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{c}(70,90)=10$, cada equipe tem 10 pessoas. Com isso, $70÷10=7$ equipes de meninas e $90÷10=9$ equipes de meninos. Todas as equipes têm a mesma quantidade de pessoas e o número total é o menor possível.

O professor conecta isso com o problema inicial: trocando "meninos e meninas" por "Matemática e Física" e "pessoas por equipe" por "questões por lista", é exatamente o mesmo problema, só com números maiores.

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Resolvendo a questão modelo ENEM: 3300 e 1260 questões

O professor volta ao enunciado: 3300 questões de Matemática e 1260 de Física, listas de uma única disciplina e todas com o mesmo número de questões. O passo inicial é decompor os dois números. Para o 3300: $3300=330\times 10$, $330=33\times 10$, $33=3\times 11$, logo $3300=2\times 2\times 3\times 5\times 5\times 11$. Para o 1260: $1260=126\times 10$, $126=2\times 63$, $63=3\times 21=3\times 3\times 7$, logo $1260=2\times 2\times 3\times 3\times 5\times 7$.

Depois, compara fator por fator. Dois fatores 2 aparecem nos dois, e entram. Um 3 aparece nos dois, e entra (o segundo 3 só existe em 1260). Um 5 aparece nos dois, e entra (o segundo 5 só existe em 3300). O 11 só está em 3300 e o 7 só está em 1260, então ficam de fora. O MDC é $2\times 2\times 3\times 5=60$: o número de questões por lista.

O número de listas sai de dividir cada total por 60, cortando fatores. Em Matemática, $3300÷60=5\times 11=55$ listas. Em Física, $1260÷60=3\times 7=21$ listas. Conferência do professor: $55\times 60=3300$ e $21\times 60=1260$. A resposta final dada é 21 de Física e 55 de Matemática, e ele encerra dizendo que a revisão cobriu o átomo dos números, o teorema fundamental da aritmética, o cálculo de MMC e MDC e seus contextos.

▶ Ver este trecho no vídeo (01:34:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: mmc e mdc numero de divisores pitagoras combinacao simples

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Questão 05 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em mmc e mdc

1. 01

   Multiplicar os dois números e chamar de MMC sem checar

   Multiplicar os dois números e chamar de MMC sem checar fatores em comum (96 e 45 têm o 3 em comum).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   No MDC, usar mais cópias de um fator primo do que o outro

   No MDC, usar mais cópias de um fator primo do que o outro número tem (por exemplo, dois 2 no MDC de 90 e 120).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Misturar o que o MDC e o MMC respondem

   Misturar o que o MDC e o MMC respondem: "maior tamanho de grupo / menor número de grupos" é MDC; "menor quantidade que coincide" é MMC.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Esquecer que o 1 é divisor de todo número ao listar

   Esquecer que o 1 é divisor de todo número ao listar divisores, ou parar a lista antes de esgotar as combinações de fatores.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Tentar achar MMC ou MDC de números grandes listando

   Tentar achar MMC ou MDC de números grandes listando múltiplos ou divisores em vez de decompor em fatores primos.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: MMC E MDC no ENEM