Frações no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 21 minutos: o índice

Como o ENEM cobra frações

O professor diz que o raciocínio de manipular frações aparece em várias questões diferentes da prova de Matemática. A aula mostra na prática uma questão de contexto cotidiano (potes de sorvete) cuja armadilha é responder com a quantidade de chocolate em vez da razão em relação ao total comprado. Ele não cita estatística de recorrência.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Multiplicação e divisão de números inteiros
• Decomposição de um número em fatores (ex.: 14 = 7·2)
• Noção básica de equação com letra (x)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Fração a/b: numerador e denominador
• Princípio: a·1 = a
• 3/5 = 6/10 = 36/60 (multiplicando por 2/2 e depois 6/6)
• Exemplo 01: 3/5+7/3 = 44/15; Exemplo 02: 2x/14+x/6 = 13x/42
• Pote 01 (x/3 = 2x/6) e Pote 02 (x/2 = 3x/6): chocolate = 5x/6, total = 2x, razão 5/12
• Questão modelo (UN 2024 #24360), gabarito d) 5/12

A questão motivadora e o princípio que sustenta toda manipulação de frações

A aula abre com uma questão modelo ENEM sobre sorvete: Joaquim comprou dois potes com a mesma quantidade cada. Em um vinham quantidades iguais de sorvete de chocolate, morango e flocos; no outro, quantidades iguais de morango e chocolate. Pergunta-se qual fração corresponde ao total de sorvete de chocolate em relação ao total comprado. O professor deixa a questão em aberto e pede que o aluno a acompanhe depois de dominar o princípio que a resolve.

Primeiro, a definição: fração é um número escrito na forma $\frac{a}{b}$, em que $a$ é o numerador e $b$ é o denominador, como em $\frac{3}{5}$. O professor afirma que existem dois princípios fundamentais para manipular frações e que, dominando o primeiro, o aluno não precisa se prender a nenhuma regrinha decorada. Nesta aula ele trata de um deles; o outro, que é na verdade um princípio de manipulação de equações, aparece ao final.

O princípio é simples: todo número multiplicado por $1$ continua sendo ele mesmo, ou seja, $a\cdot 1=a$. O ponto central é que o número $1$ pode ser escrito de muitas formas. Todo número dividido por ele mesmo vale $1$: $\frac{3}{3}=1$, $\frac{5}{5}=1$, $\frac{7}{7}=1$.

Juntando as duas ideias, o professor diz que isso é tudo de que o aluno precisa para manipular frações: escolher, de forma inteligente, a maneira de escrever o $1$ e multiplicar o número por ele. Como multiplicar por $1$ não altera o número, o valor permanece o mesmo; o que muda é apenas a forma como o número é escrito.

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Frações equivalentes: multiplicar em cima e embaixo pelo mesmo fator

Aplicando o princípio a $\frac{3}{5}$, multiplica-se a fração por $\frac{2}{2}$. Como $\frac{2}{2}=1$, o número não muda. Em cima fica $3\cdot 2=6$ e embaixo $5\cdot 2=10$, de modo que $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$. Frações assim, que expressam o mesmo número com escritas diferentes, são chamadas de frações equivalentes.

O professor reconhece que isso pode parecer óbvio, mas insiste que o objetivo é deixar claro por que funciona: pode-se sempre multiplicar numerador e denominador pelo mesmo fator sem alterar a fração, pois isso equivale a multiplicar por $1$. Ele frisa que não está alterando o número, e sim a forma de apresentá-lo.

Um segundo exemplo mostra o uso dirigido. Se o aluno quiser escrever $\frac{3}{5}$ com denominador $60$, deve perguntar por qual número multiplicar $5$ para chegar a $60$: o fator é $12$. Basta então multiplicar por $\frac{12}{12}$, que é $1$, e resulta em $\frac{36}{60}$. O mapa mostra o caminho em duas etapas: $\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{2}=\frac{6}{10}$ e depois $\frac{6}{10}\cdot \frac{6}{6}=\frac{36}{60}$; o fator direto de $5$ para $60$ é $12$ ($2\cdot 6$). Assim, $\frac{3}{5}$, $\frac{6}{10}$ e $\frac{36}{60}$ são o mesmo número.

O que o professor quer que o aluno leve é a autonomia de fazer essas manipulações o tempo todo: ao somar frações, por exemplo, será preciso colocá-las no mesmo denominador, e isso nada mais é do que brincar de multiplicar por $1$, escolhendo como escrever esse $1$.

▶ Ver este trecho no vídeo (00:07:00)

Somando frações sem decorar regra: forçar o denominador comum

Para somar frações, os denominadores têm que ser iguais. O professor resolve $\frac{3}{5}+\frac{7}{3}$. Na primeira fração há um $5$ embaixo e falta o $3$; na segunda há um $3$ e falta o $5$. Então ele força o aparecimento do que falta: multiplica a primeira fração por $\frac{3}{3}$ e a segunda por $\frac{5}{5}$. Ambas as multiplicações são por $1$, portanto nada muda no valor.

O resultado é $\frac{3\cdot 3}{5\cdot 3}+\frac{7\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{9}{15}+\frac{35}{15}$. Com o mesmo denominador, somam-se os numeradores: $\frac{9+35}{15}=\frac{44}{15}$. Ele comenta que isso é o mesmo que o procedimento do mínimo múltiplo comum, só que de modo muito mais intuitivo, pois o aluno entende de onde a manipulação vem.

O segundo exemplo traz letras: $\frac{2x}{14}+\frac{x}{6}$. Primeiro ele decompõe os denominadores, $14=7\cdot 2$ e $6=2\cdot 3$. O fator $2$ já aparece nos dois e não precisa ser mexido. Na primeira fração falta o $3$, então multiplica-se por $\frac{3}{3}$; na segunda falta o $7$, então multiplica-se por $\frac{7}{7}$. Os dois denominadores ficam $7\cdot 2\cdot 3=42$.

Os numeradores passam a ser $2x\cdot 3=6x$ e $x\cdot 7=7x$, e a soma dá $\frac{13x}{42}$. O professor lembra que o valor de $x$ não importa nesse tipo de conta. Ele fecha dizendo que o aluno não precisa tirar o mínimo múltiplo comum de forma mecânica: basta dominar a ideia de escolher como escrever o seu $1$ ($\frac{3}{3}$, $\frac{7}{7}$ etc.) e isso dá autonomia para manipular qualquer fração. Ele avisa que isso será usado "direto direto" na prova.

▶ Ver este trecho no vídeo (00:10:00)

Resolvendo o sorvete: por que 5/6 é a resposta que faz o aluno errar

De volta à questão, o professor chama de $x$ a quantidade de sorvete de cada pote. No pote 1, dividido em três partes iguais, o chocolate vale $\frac{x}{3}$. No pote 2, dividido em duas partes iguais, o chocolate vale $\frac{x}{2}$. O total de chocolate é, portanto, $\frac{x}{3}+\frac{x}{2}$.

Somando com o princípio da aula: multiplica-se $\frac{x}{3}$ por $\frac{2}{2}$ e $\frac{x}{2}$ por $\frac{3}{3}$, o que dá $\frac{2x}{6}+\frac{3x}{6}=\frac{5x}{6}$. Aqui vem a pegadinha: o aluno que marcar $\frac{5}{6}$ "corre pro abraço" e erra. O professor diz que esse é o jeito de errar "gostoso".

O erro está em que $\frac{5x}{6}$ é a quantidade de sorvete de chocolate, mas a questão pede a quantidade de chocolate em relação ao total comprado. Cada pote tem $x$, e foram dois potes, então o total é $x+x=2x$. A resposta é uma razão: chocolate dividido pelo total, $\frac{5x\mathrm{/}6}{2x}$.

Para dividir frações, ele lembra que se mantém a primeira e multiplica-se pelo inverso da segunda: $\frac{5x}{6}\cdot \frac{1}{2x}$. O $x$ se cancela, e fica $\frac{5}{6\cdot 2}=\frac{5}{12}$. Essa é a resposta. O professor avisa que o número da divisão de frações vem do mesmo princípio de multiplicar por $1$, e que ele promete uma explicação mais intuitiva logo em seguida, com desenho.

▶ Ver este trecho no vídeo (00:15:00)

A visão geométrica: dividir em pedaços iguais e contar quantos foram pintados

Para enxergar o que as contas fazem, o professor desenha os dois potes, cada um com total $x$. O pote 1 é dividido em três pedaços iguais e um deles, o de chocolate, é pintado. O pote 2 é dividido em dois pedaços iguais e um deles é pintado.

Multiplicar $\frac{x}{2}$ por $\frac{3}{3}$ para obter $\frac{3x}{6}$ significa, no desenho, trocar "dividir em dois pedaços e pegar um" por "dividir em seis pedaços e pegar três". Dividindo cada metade em três, a metade pintada passa a ter três pedaços de seis, e continua sendo a mesma metade: mudou a divisão, não a quantidade.

O mesmo vale para $\frac{x}{3}$. Multiplicando por $\frac{2}{2}$, a fração vira $\frac{2x}{6}$: divide-se cada terço ao meio, passando a ter seis pedaços, dos quais dois estão pintados. Por isso $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$. O professor reforça que os pedaços são os mesmos, só a divisão muda.

Contando o total pintado nos dois potes, com as divisões em sextos, há $2+3=5$ pedaços pintados. Mas o total comprado é de dois potes, ou seja, $6+6=12$ pedaços. Logo, o chocolate é $5$ pedaços em $12$, ou $\frac{5}{12}$, o mesmo resultado da conta. Ele conclui que o erro do $\frac{5}{6}$ é comparar com seis pedaços, quando o total comprado tem doze.

Encerrando, o professor resume o primeiro princípio: todo número vezes $1$ é ele mesmo, e para somar ou subtrair frações o que se quer o tempo todo é colocá-las no mesmo denominador, escrevendo o $1$ de várias formas. Ele diz que esse raciocínio aparece em muitas questões da prova de Matemática. No final do trecho disponível começa o segundo princípio (manipulação de equações com frações), motivado por uma pesquisa de satisfação dos alunos do Universo Narrado.

▶ Ver este trecho no vídeo (00:20:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: operacoes com fracoes mmc e mdc proporcao

As 3 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em frações

1. 01

   Responder 5/6 no problema do sorvete, esquecendo de dividir

   Responder 5/6 no problema do sorvete, esquecendo de dividir pelo total comprado (2x).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Confundir a quantidade de um item com a razão em relação

   Confundir a quantidade de um item com a razão em relação ao total que a pergunta pede.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Somar frações sem antes igualar os denominadores

   Somar frações sem antes igualar os denominadores.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Decorar a regra do mínimo múltiplo comum sem entender

   Decorar a regra do mínimo múltiplo comum sem entender que ela nasce de multiplicar por 1.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Multiplicar só o numerador

   Multiplicar só o numerador (ou só o denominador) ao buscar uma fração equivalente.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Frações no ENEM