Frações e Números Decimais no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 19 minutos: o índice

Como o ENEM cobra frações e números decimais

O professor não comenta estatística de recorrência. Na prática, a aula mostra uma questão em que o dado vem como dízima periódica e as alternativas trazem frações com denominador 495, o que obriga a converter. Ele alerta que testar alternativa por alternativa com divisão longa dá muito trabalho e pode exigir várias tentativas; o caminho esperado é algébrico.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Operações com frações (equivalência e simplificação)
• Multiplicar e dividir decimais por potências de 10
• Resolver equações do 1º grau

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Princípio de Euclides: se iguais são feitos a iguais, eles permanecem iguais
• Aplicação 01: 3x − 1 = 4 → x = 5/3; 2x/5 − 2 = x/10 → x = 20/3
• Aplicação 02: 0,153 = 153/1000 e 0,2323… = 23/99 (100y − y)
• Questão modelo: x = 0,94141…, 10x e 1000x, subtração dá 990x = 932
• Simplificação 932/990 = 466/495 (alternativa a)

A questão motivadora: o índice de satisfação 0,94141… e por que não testar as alternativas

A aula parte de uma questão de modelo ENEM baseada, segundo o professor, numa pesquisa real feita em agosto com alunos do curso Lições de Matemática do Universo Narrado. O índice de satisfação (alunos 100% satisfeitos) é uma dízima periódica, $0,9414141\dots$, em que o bloco $41$ se repete, e as alternativas trazem frações com denominador $495$ (entre elas $415\mathrm{/}495$, $451\mathrm{/}495$, $466\mathrm{/}495$ e $490\mathrm{/}495$). A pergunta é qual fração representa esse índice, isto é, quantos alunos em cada $495$ estão totalmente satisfeitos.

O professor reconhece que há um caminho "braçal": dividir o numerador de cada alternativa por $495$ e ver qual resultado começa com $0,9414\dots$. Ele aponta o defeito: a conta não é trivial, é preciso armá-la, e pode ser necessário repeti-la duas, três, quatro ou até cinco vezes até acertar a alternativa. Não é um caminho errado, mas é o que dá mais trabalho.

O caminho "inteligente" é converter a dízima em fração por manipulação de equações, e é isso que o resto da aula constrói. Antes de resolver, ele faz uma recapitulação de um princípio de álgebra que sustenta todas as manipulações que virão, atribuído a Euclides.

Vale notar o formato da cobrança: a fração-resposta só aparece nas alternativas, então o aluno que sabe converter a dízima em fração chega direto ao resultado, sem precisar testar uma por uma. O enunciado completo é lido no final do capítulo anterior (a legenda do começo desta aula já o pega no meio da fala).

▶ Ver este trecho no vídeo (00:26:23)

O princípio de Euclides: se iguais são feitos a iguais, permanecem iguais

O professor apresenta Euclides, matemático grego do século III a.C. (ele diz "século 2 antes de Cristo"?), autor de Os Elementos, livro que, segundo ele, é o segundo de maior número de exemplares impressos na história, depois da Bíblia. Nessa obra, que sintetiza os princípios que fundamentam a matemática (sobretudo a geometria), aparece a ideia: se iguais são feitos a iguais, eles permanecem iguais.

Para ilustrar, usa dois desenhos de bonecos idênticos. Pintar um deles de amarelo os torna diferentes. Mas, se a mesma alteração for feita nos dois (ou se um braço é arrancado de um e do outro), a igualdade se mantém. Ao contrário, mexer em apenas um lado quebra a igualdade: basta fazer algo só em um deles para que passem a ser distinguíveis.

Traduzindo para equações: posso somar, subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número nos dois lados e a igualdade continua valendo. O professor mostra com $1=1$: somar $2$ de cada lado dá $3=3$; subtrair $7$ dá $-6=-6$; multiplicar por $\pi$ dá $\pi =\pi$.

A conclusão didática é que esse único princípio explica todas as manipulações de equações. Ele chega a comentar que a regra "passa para o outro lado com o sinal trocado" ou "passa dividindo" na verdade não existe como regra própria: o que ocorre é somar ou dividir o mesmo valor dos dois lados. Esse princípio é o que "possibilita mexer com equações, frações e números decimais", e é a base de toda a resolução da questão.

▶ Ver este trecho no vídeo (00:28:00)

Aplicando o princípio: isolar x e eliminar denominadores

Primeira aplicação: resolver uma equação simples para mostrar a justificativa do "passa para o outro lado". Na equação do exemplo, há um termo $-1$ ao lado do $3x$ (a legenda não deixa claro o enunciado, algo como $3x-1=4$ ?). Para isolar $x$ é preciso sumir com esse $-1$, então soma-se $1$ nos dois lados: de um lado $-1+1=0$, restando só $3x$; do outro, $4+1=5$. Fica $3x=5$. Em seguida divide-se por $3$ nos dois lados: $3\mathrm{/}3=1$, e como todo número vezes $1$ é ele mesmo, $x=5\mathrm{/}3$.

Segunda aplicação: uma equação com denominadores. O professor diz que prefere não trabalhar com denominadores ("para aqueles cuja religião não permite o uso de denominadores") e então multiplica os dois lados por $10$, já que $10$ cancela os denominadores presentes. Multiplicar o lado esquerdo por $10$ significa multiplicar cada termo dele; assim, $10\cdot \frac{2x}{5}$ vira $4x$ e o termo constante vira $-20$, enquanto o lado direito, $\frac{x}{10}$, vira $x$. A equação passa a ser $4x-20=x$ (equação exata a conferir no vídeo).

Depois, soma-se $20$ nos dois lados, obtendo $4x=x+20$; subtrai-se $x$ dos dois lados, obtendo $3x=20$; e divide-se por $3$, obtendo $x=20\mathrm{/}3$.

O professor fecha dizendo que o importante não é a equação em si, mas perceber que cada passo é "iguais feitos a iguais". Essa mesma ideia será usada a seguir para transformar números decimais em frações.

▶ Ver este trecho no vídeo (00:31:50)

Decimal finito em fração: 0,153 = 153/1000

Segunda aplicação do princípio: converter números decimais em frações. O exemplo mais simples é $x=0,153$. Multiplicam-se os dois lados da equação por $1000$. À direita, multiplicar por $1000$ equivale a andar com a vírgula três casas para a direita, e o resultado é $153$. Fica $1000x=153$.

Para encontrar $x$, divide-se os dois lados por $1000$. Do lado esquerdo, $1000\mathrm{/}1000=1$, e sobra $x$. Portanto $x={\displaystyle \frac{153}{1000}}$. O professor destaca que se trata do mesmo princípio de antes: um número que estava escrito na forma decimal passou a ser escrito como fração.

A regra prática que emerge é que, num decimal finito, escolhe-se a potência de $10$ com tantos zeros quanto casas decimais (três casas, mil), multiplica-se para "tirar a vírgula" e divide-se de volta. Ele não formaliza essa regra com fórmula; só mostra o raciocínio numérico.

Esse exemplo é um aquecimento. O caso que interessa para a questão é o das dízimas periódicas, em que multiplicar por uma única potência de $10$ não basta, e é preciso combinar duas equações, como se verá em seguida.

▶ Ver este trecho no vídeo (00:36:00)

Números racionais e dízima periódica: 0,2323… = 23/99

Antes do próximo exemplo, o professor define: número racional é aquele que pode ser escrito na forma de fração. Alguns números, como $\pi =3,1415\dots$, são irracionais: não têm padrão de repetição e não podem ser escritos como fração. Já toda dízima periódica, mesmo parecendo "esquisita", é racional e pode ser convertida.

O exemplo é $y=0,232323\dots$ A ideia é multiplicar por $100$ (porque o período tem dois algarismos, $23$). À direita, andar duas casas com a vírgula dá $23,232323\dots$ Então ficam duas equações: $y=0,2323\dots$ e $100y=23,2323\dots$

O passo-chave é subtrair uma da outra. Como a parte decimal que se repete é exatamente a mesma nas duas, ela se cancela por inteiro. À esquerda, $100y-y=99y$; à direita, $23,2323\dots -0,2323\dots =23$ exato. Logo $99y=23$ e, dividindo por $99$, $y={\displaystyle \frac{23}{99}}$.

Ele convida o aluno a conferir na calculadora: $23\mathrm{/}99$ dá $0,2323\dots$ Resume o método: usar o princípio de euclidiano e multiplicar por $10$, $100$, $1000$, deslocando a vírgula até conseguir uma subtração em que as casas decimais periódicas se cancelem. Note que, neste exemplo, o número de zeros da potência de $10$ é o tamanho do período.

▶ Ver este trecho no vídeo (00:37:00)

Resolvendo a questão: 0,94141… exige dois deslocamentos de vírgula

Voltando à questão, chama-se de $x$ o índice $0,9414141\dots$ Aqui o caso é mais delicado do que o do $0,2323\dots$: o número tem um algarismo que não se repete ($9$) logo depois da vírgula, e só depois vem o período $41$.

Primeira tentativa: multiplicar por $10$ dos dois lados, de modo que $10x=9,4141\dots$ Subtrair $x$ disso não funcionaria, porque a parte decimal de $x$ ($0,9414\dots$) é diferente da de $10x$ ($0,4141\dots$): as casas não se alinhariam e a conta não cancelaria o infinito.

Por isso o professor parte de $10x=9,4141\dots$ e multiplica novamente os dois lados por $100$ (período de dois algarismos). O lado esquerdo vira $1000x$ e o direito $941,4141\dots$ Agora as duas equações, $1000x=941,4141\dots$ e $10x=9,4141\dots$, têm exatamente a mesma parte decimal.

Subtraindo: $1000x-10x=990x$, e à direita $941-9=932$ (a parte decimal cancela). Então $990x=932$, e dividindo por $990$: $x={\displaystyle \frac{932}{990}}$. Ele observa que o princípio usado é sempre o mesmo: multiplicar por $10$, depois por $100$, "manipulando até chegar em algo que me interessa". Esse resultado ainda não aparece nas alternativas, então falta simplificar.

▶ Ver este trecho no vídeo (00:39:50)

Simplificando 932/990 até 466/495 e conclusão

O resultado ${\displaystyle \frac{932}{990}}$ não está nas alternativas, que têm denominador $495$; é preciso simplificar. O professor prefere uma fatoração "intuitiva" em vez de procurar divisores. Para o numerador: $932=900+30+2$; a metade de cada parcela é $450$, $15$ e $1$, que somam $466$. Logo $932=466\cdot 2$.

Para o denominador: $990=900+90$; metade de $900$ é $450$ e metade de $90$ é $45$, somando $495$. Logo $990=495\cdot 2$.

Substituindo, a fração fica ${\displaystyle \frac{466\cdot 2}{495\cdot 2}}$. Como $2\mathrm{/}2=1$ e todo número vezes $1$ é ele mesmo, resulta $x={\displaystyle \frac{466}{495}}$. Ele sugere conferir na calculadora que $466÷495$ dá $0,94141\dots$

Interpretação: o índice de $0,94141\dots$ equivale a $466$ alunos satisfeitos a cada $495$ alunos do Lições de Matemática. A resposta é a alternativa com $466\mathrm{/}495$.

O fechamento volta ao princípio: "se iguais são feitos a iguais, eles permanecem iguais" é o que permite mexer com equações, frações e números decimais. O texto da transcrição termina com o professor começando a mudar de assunto (anúncio de algo), que não faz parte desta aula.

▶ Ver este trecho no vídeo (00:43:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: operacoes com fracoes mmc e mdc proporcao

As 4 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em frações e números decimais

1. 01

   Fazer uma operação só de um lado da equação, quebrando

   Fazer uma operação só de um lado da equação, quebrando a igualdade.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Achar que "passar para o outro lado" é uma regra própria,

   Achar que "passar para o outro lado" é uma regra própria, e não somar, subtrair, multiplicar ou dividir o mesmo valor dos dois lados.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Em dízima periódica composta, subtrair equações cujas partes

   Em dízima periódica composta, subtrair equações cujas partes decimais não coincidem (por exemplo $x$ e $10x$ em $0,94141\dots$), sem cancelar o infinito.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Esquecer de simplificar o resultado

   Esquecer de simplificar o resultado (932/990) e não achar a alternativa.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Testar alternativa por alternativa por divisão longa,

   Testar alternativa por alternativa por divisão longa, caminho que pode exigir quatro ou cinco tentativas.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Frações e Números Decimais no ENEM