A parábola por trás da função do 2º grau

A definição formal é direta. Uma função quadrática é toda função real escrita como:

Forma geral · função do 2º grau
f(x)=ax2+bx+c,com a≠0 f(x) = ax^2 + bx + c,\quad \text{com } a \neq 0

A condição a≠0a \neq 0 garante o termo de grau dois. Sem ele, sobraria f(x)=bx+cf(x) = bx + c, que é uma função afim, com gráfico de reta.

É o termo ax2ax^2 que entorta a reta e produz a parábola, uma curva simétrica em forma de U que pode estar virada para cima ou para baixo. Toda função quadrática tem como gráfico uma parábola, sem exceção. Relembre a função afim, a função do 1º grau, e repare como a presença do quadrado muda tudo.

A partir daqui, o artigo inteiro gira em torno de uma única habilidade: ler essa curva. Para que lado ela abre, onde está o ponto que muda tudo e onde ela toca os eixos. Cada pergunta tem resposta direta nos coeficientes aa, bb e cc.

Concavidade: o sinal de a manda na boca da parábola

A primeira coisa que o coeficiente aa decide é a concavidade, ou seja, para que lado a boca da parábola está virada. Quem manda nisso é só o aa, mais ninguém.

/01 · a > 0

Concavidade para cima

a>0a > 0

A parábola abre como uma tigela e tem um ponto de mínimo, o fundo da tigela.

/02 · a < 0

Concavidade para baixo

a<0a < 0

A parábola abre como uma cúpula e tem um ponto de máximo, o topo.

/03 · a = 0

Deixa de ser parábola

a=0a = 0

Sem o termo ax2ax^2, sobra f(x)=bx+cf(x) = bx + c: o gráfico vira uma reta e cai na função do 1º grau.

Um jeito de não esquecer: o aa positivo deixa a parábola sorrindo para cima, e o aa negativo deixa ela de cara fechada para baixo. O valor absoluto de aa controla a abertura: quanto maior o módulo, mais fechada e estreita a parábola fica.

Os coeficientes b e c: o que cada um faz no gráfico

Se o aa manda na concavidade, os outros dois posicionam a parábola no plano.

O c é o mais fácil de ler. Ele é o valor da função quando xx é zero, porque f(0)=cf(0) = c. Em outras palavras, o cc é o ponto onde a parábola corta o eixo vertical. Se f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3, a curva cruza o eixo vertical na altura 33.

O b, sozinho, é menos intuitivo, e por isso não compensa lê-lo de forma isolada. O que ele faz, sempre em conjunto com o aa, é deslocar a parábola para os lados, posicionando o eixo de simetria e o vértice. É aí que ele entra para valer, e é o assunto da próxima seção, a parte mais importante de todas.

O vértice da parábola: Xv e Yv

Chegamos ao ponto alto do artigo. O vértice é onde a curva muda de direção, e é também onde está o valor máximo ou mínimo da função. Toda a leitura da parábola gira em torno dele.

O vértice é um ponto como qualquer outro, com um xx e um yy. A diferença é que ele é o mais importante, e por isso suas coordenadas ganham nome próprio: XvX_v e YvY_v.

Vértice da parábola
Xv=−b2a,Yv=−Δ4a,Δ=b2−4ac X_v = -\dfrac{b}{2a}, \qquad Y_v = -\dfrac{\Delta}{4a},\quad \Delta = b^2 - 4ac

A reta vertical x=Xvx = X_v é o eixo de simetria da parábola. O YvY_v é o valor extremo: mínimo se a>0a > 0, máximo se a<0a < 0.

Toda parábola é simétrica, sem exceção, e isso dá um atalho bonito: quando a função tem duas raízes, o XvX_v fica exatamente no meio delas, na média entre as duas. Se as raízes são 11 e 77, o XvX_v é 44, e dá para responder de cabeça.

Do YvY_v sai direto o conjunto imagem, todos os valores que f(x)f(x) pode assumir. Para a>0a > 0, a imagem vai de YvY_v até mais infinito. Para a<0a < 0, vai de menos infinito até YvY_v. Dá ainda para achar o YvY_v sem a fórmula: calcule o XvX_v e jogue de volta na função.

Exemplo. Em f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3: Xv=−(−4)/(2⋅1)=2X_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2; Δ=16−12=4\Delta = 16 - 12 = 4; Yv=−4/(4⋅1)=−1Y_v = -4/(4 \cdot 1) = -1. O vértice é (2,−1)(2, -1), o mínimo da função.

O Δ\Delta aparece no cálculo do YvY_v, mas o foco aqui é o vértice, não a resolução da equação. O passo a passo do discriminante e das raízes fica para o artigo da Fórmula de Bhaskara, em breve aqui no blog.

Os zeros da função: onde a parábola cruza o eixo x

Os zeros, ou raízes, são os valores de xx em que f(x)=0f(x) = 0. No desenho, são os pontos onde a parábola encosta ou cruza o eixo horizontal. Decorar três casos não ajuda muito aqui. Olhar o gráfico, sim.

/01 · dois zeros

Cruza em dois pontos

A parábola corta o eixo horizontal em dois pontos: dois zeros reais distintos.

/02 · um zero

Tangencia o eixo

A parábola encosta num único ponto: um zero real, que coincide com o vértice.

/03 · nenhum zero

Não toca o eixo

A parábola flutua inteira acima ou abaixo: nenhum zero real.

Quando os zeros existem e você os conhece, a função pode ser escrita na forma fatorada:

Forma fatorada
f(x)=a (x−x1)(x−x2) f(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2)

Os valores x1x_1 e x2x_2 são os zeros. Essa forma mostra na cara onde a parábola corta o eixo, útil para esboços rápidos.

Função quadrática em ação: três exemplos resolvidos

Ler parábola se aprende treinando. Então pega esses três casos, do mais simples ao estilo ENEM. Em nenhum deles a gente resolve equação: o jogo é interpretar a curva.

Exemplo 1. Básico: concavidade, interseção e vértice

🪖 Básico Lendo a parábola

Dada f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5, diga a concavidade, onde corta o eixo vertical e o vértice.

  1. Coeficientes: a=1, b=−6, c=5a = 1,\ b = -6,\ c = 5.
  2. Concavidade: a>0a > 0, abre para cima (mínimo).
  3. Eixo vertical: c=5c = 5, ponto (0,5)(0, 5).
  4. Vértice: Xv=3X_v = 3; Δ=36−20=16\Delta = 36 - 20 = 16; Yv=−16/4=−4Y_v = -16/4 = -4.
Resposta: parábola para cima, corta em (0,5)(0, 5), vértice de mínimo em (3,−4)(3, -4).

Exemplo 2. Intermediário: valor máximo e imagem

🪖🪖 Intermediário Máximo e conjunto imagem

Encontre o valor máximo e o conjunto imagem de f(x)=−2x2+8x−3f(x) = -2x^2 + 8x - 3.

  1. Coeficientes: a=−2, b=8, c=−3a = -2,\ b = 8,\ c = -3. Como a<0a < 0, há máximo.
  2. Abscissa: Xv=−8/(2⋅(−2))=2X_v = -8/(2 \cdot (-2)) = 2.
  3. Discriminante: Δ=64−24=40\Delta = 64 - 24 = 40.
  4. Ordenada: Yv=−40/(4⋅(−2))=5Y_v = -40/(4 \cdot (-2)) = 5.
Resposta: valor máximo 55 em x=2x = 2; imagem de −∞-\infty até 55.

Exemplo 3. Avançado: otimização (estilo ENEM)

🪖🪖🪖 Avançado Altura máxima de um chute

A altura de uma bola, em metros, segue h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t, com tt em segundos. Qual a altura máxima e quando ocorre?

  1. Coeficientes: a=−5, b=20, c=0a = -5,\ b = 20,\ c = 0. Como a<0a < 0, há um pico.
  2. Instante do pico: Tv=−20/(2⋅(−5))=2T_v = -20/(2 \cdot (-5)) = 2 s.
  3. Altura máxima: Δ=400\Delta = 400; Yv=−400/(4⋅(−5))=20Y_v = -400/(4 \cdot (-5)) = 20.
Resposta: altura máxima de 20 metros, 2 segundos após o chute.

A resposta inteira saiu do vértice, sem resolver equação. Reconhecer que "altura máxima" quer dizer "YvY_v do vértice" já é metade do caminho.

Bônus: erros clássicos ao analisar a parábola

Os erros de função quadrática raramente vêm da conta. Vêm de leitura apressada da curva.

  1. 01

    Trocar o sinal da concavidade

    Esquecer que a<0a < 0 abre para baixo leva a marcar máximo onde há mínimo.

    Como evitar: antes de calcular, olhe o sinal do aa e decida se a parábola vira para cima ou para baixo.
  2. 02

    Confundir o XvX_v com a raiz

    O XvX_v é a posição do vértice, não um zero. Em muitas parábolas o vértice nem toca o eixo horizontal.

    Como evitar: raiz é onde f(x)=0f(x) = 0; vértice é o extremo. São pontos diferentes.
  3. 03

    Achar que cc é sempre uma raiz

    O cc é onde a parábola corta o eixo vertical, não o horizontal. Ele é f(0)f(0).

    Como evitar: associe cc ao eixo vertical e os zeros ao eixo horizontal.
  4. 04

    Esquecer que a≠0a \neq 0

    Sem o termo x2x^2, a função não é quadrática, e nada disso se aplica.

    Como evitar: confirme que existe ax2ax^2 com a≠0a \neq 0 antes de procurar parábola.

Para calcular as raízes a partir dos coeficientes, use a fórmula resolutiva. Para tratar a equação do 2º grau como tema, com propriedades e casos especiais, há a página dedicada.

Perguntas frequentes sobre função quadrática

O que é uma função quadrática?

Função quadrática, ou função do 2º grau, é toda função do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero. Seu gráfico é sempre uma parábola, uma curva simétrica em forma de U que pode abrir para cima ou para baixo. Ver a seção: A parábola.

Qual é a fórmula da função quadrática?

A forma geral é f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero. A partir dela derivam outras fórmulas úteis, como as coordenadas do vértice (Xv = -b/2a e Yv = -Δ/4a) e a forma fatorada f(x) = a(x - x1)(x - x2), quando a função tem raízes reais. Ver a seção: A parábola.

Qual é a fórmula do Xv e Yv?

As coordenadas do vértice são Xv = -b/(2a) para a abscissa e Yv = -Δ/(4a) para a ordenada, em que Δ = b² - 4ac. O Xv também define o eixo de simetria da parábola, de equação x = Xv. O Yv é o valor máximo da função quando a é negativo, ou mínimo quando a é positivo. Ver a seção: O vértice.

O que significa cada coeficiente da função quadrática?

O coeficiente a define a concavidade: positivo abre para cima, negativo abre para baixo, e seu módulo controla a abertura. O coeficiente c é o ponto onde a parábola corta o eixo vertical, já que f(0) = c. O coeficiente b, junto com o a, posiciona o eixo de simetria e o vértice. Ver a seção: Coeficientes b e c.

A função quadrática tem concavidade para baixo quando?

A concavidade é para baixo quando o coeficiente a é negativo, ou seja, a menor que zero. Nesse caso a parábola tem formato de cúpula e possui um ponto de máximo. Quando a é positivo, a concavidade é para cima e a parábola tem ponto de mínimo. Ver a seção: Concavidade.

Como calcular as raízes da função quadrática?

As raízes são os valores de x em que f(x) = 0, ou seja, onde a parábola cruza o eixo horizontal. Para encontrá-las a partir dos coeficientes, usa-se a fórmula resolutiva da equação do 2º grau, a Fórmula de Bhaskara, que tem um artigo dedicado aqui no Universo Narrado. Ver a seção: Os zeros.

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