A parábola por trás da função do 2º grau
A definição formal é direta. Uma função quadrática é toda função real escrita como:
A condição \(a \neq 0\) garante o termo de grau dois. Sem ele, sobraria \(f(x) = bx + c\), que é uma função afim, com gráfico de reta.
É o termo \(ax^2\) que entorta a reta e produz a parábola, uma curva simétrica em forma de U que pode estar virada para cima ou para baixo. Toda função quadrática tem como gráfico uma parábola, sem exceção. Relembre a função afim, a função do 1º grau, e repare como a presença do quadrado muda tudo.
A partir daqui, o artigo inteiro gira em torno de uma única habilidade: ler essa curva. Para que lado ela abre, onde está o ponto que muda tudo e onde ela toca os eixos. Cada pergunta tem resposta direta nos coeficientes \(a\), \(b\) e \(c\).
Concavidade: o sinal de a manda na boca da parábola
A primeira coisa que o coeficiente \(a\) decide é a concavidade, ou seja, para que lado a boca da parábola está virada. Quem manda nisso é só o \(a\), mais ninguém.
Concavidade para cima
\(a > 0\)A parábola abre como uma tigela e tem um ponto de mínimo, o fundo da tigela.
Concavidade para baixo
\(a < 0\)A parábola abre como uma cúpula e tem um ponto de máximo, o topo.
Um jeito de não esquecer: o \(a\) positivo deixa a parábola sorrindo para cima, e o \(a\) negativo deixa ela de cara fechada para baixo. O valor absoluto de \(a\) controla a abertura: quanto maior o módulo, mais fechada e estreita a parábola fica.
Os coeficientes b e c: o que cada um faz no gráfico
Se o \(a\) manda na concavidade, os outros dois posicionam a parábola no plano.
O c é o mais fácil de ler. Ele é o valor da função quando \(x\) é zero, porque \(f(0) = c\). Em outras palavras, o \(c\) é o ponto onde a parábola corta o eixo vertical. Se \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), a curva cruza o eixo vertical na altura \(3\).
O b, sozinho, é menos intuitivo, e por isso não compensa lê-lo de forma isolada. O que ele faz, sempre em conjunto com o \(a\), é deslocar a parábola para os lados, posicionando o eixo de simetria e o vértice. É aí que ele entra para valer, e é o assunto da próxima seção, a parte mais importante de todas.
O vértice da parábola: Xv e Yv
Chegamos ao ponto alto do artigo. O vértice é onde a curva muda de direção, e é também onde está o valor máximo ou mínimo da função. Toda a leitura da parábola gira em torno dele.
O vértice é um ponto como qualquer outro, com um \(x\) e um \(y\). A diferença é que ele é o mais importante, e por isso suas coordenadas ganham nome próprio: \(X_v\) e \(Y_v\).
A reta vertical \(x = X_v\) é o eixo de simetria da parábola. O \(Y_v\) é o valor extremo: mínimo se \(a > 0\), máximo se \(a < 0\).
Toda parábola é simétrica, sem exceção, e isso dá um atalho bonito: quando a função tem duas raízes, o \(X_v\) fica exatamente no meio delas, na média entre as duas. Se as raízes são \(1\) e \(7\), o \(X_v\) é \(4\), e dá para responder de cabeça.
Do \(Y_v\) sai direto o conjunto imagem, todos os valores que \(f(x)\) pode assumir. Para \(a > 0\), a imagem vai de \(Y_v\) até mais infinito. Para \(a < 0\), vai de menos infinito até \(Y_v\). Dá ainda para achar o \(Y_v\) sem a fórmula: calcule o \(X_v\) e jogue de volta na função.
Exemplo. Em \(f(x) = x^2 - 4x + 3\): \(X_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2\); \(\Delta = 16 - 12 = 4\); \(Y_v = -4/(4 \cdot 1) = -1\). O vértice é \((2, -1)\), o mínimo da função.
O \(\Delta\) aparece no cálculo do \(Y_v\), mas o foco aqui é o vértice, não a resolução da equação. O passo a passo do discriminante e das raízes fica para o artigo da Fórmula de Bhaskara, em breve aqui no blog.
Os zeros da função: onde a parábola cruza o eixo x
Os zeros, ou raízes, são os valores de \(x\) em que \(f(x) = 0\). No desenho, são os pontos onde a parábola encosta ou cruza o eixo horizontal. Decorar três casos não ajuda muito aqui. Olhar o gráfico, sim.
Cruza em dois pontos
A parábola corta o eixo horizontal em dois pontos: dois zeros reais distintos.
Tangencia o eixo
A parábola encosta num único ponto: um zero real, que coincide com o vértice.
Não toca o eixo
A parábola flutua inteira acima ou abaixo: nenhum zero real.
Quando os zeros existem e você os conhece, a função pode ser escrita na forma fatorada:
Os valores \(x_1\) e \(x_2\) são os zeros. Essa forma mostra na cara onde a parábola corta o eixo, útil para esboços rápidos.
Função quadrática em ação: três exemplos resolvidos
Ler parábola se aprende treinando. Então pega esses três casos, do mais simples ao estilo ENEM. Em nenhum deles a gente resolve equação: o jogo é interpretar a curva.
Exemplo 1. Básico: concavidade, interseção e vértice
Dada \(f(x) = x^2 - 6x + 5\), diga a concavidade, onde corta o eixo vertical e o vértice.
- Coeficientes: \(a = 1,\ b = -6,\ c = 5\).
- Concavidade: \(a > 0\), abre para cima (mínimo).
- Eixo vertical: \(c = 5\), ponto \((0, 5)\).
- Vértice: \(X_v = 3\); \(\Delta = 36 - 20 = 16\); \(Y_v = -16/4 = -4\).
Exemplo 2. Intermediário: valor máximo e imagem
Encontre o valor máximo e o conjunto imagem de \(f(x) = -2x^2 + 8x - 3\).
- Coeficientes: \(a = -2,\ b = 8,\ c = -3\). Como \(a < 0\), há máximo.
- Abscissa: \(X_v = -8/(2 \cdot (-2)) = 2\).
- Discriminante: \(\Delta = 64 - 24 = 40\).
- Ordenada: \(Y_v = -40/(4 \cdot (-2)) = 5\).
Exemplo 3. Avançado: otimização (estilo ENEM)
A altura de uma bola, em metros, segue \(h(t) = -5t^2 + 20t\), com \(t\) em segundos. Qual a altura máxima e quando ocorre?
- Coeficientes: \(a = -5,\ b = 20,\ c = 0\). Como \(a < 0\), há um pico.
- Instante do pico: \(T_v = -20/(2 \cdot (-5)) = 2\) s.
- Altura máxima: \(\Delta = 400\); \(Y_v = -400/(4 \cdot (-5)) = 20\).
A resposta inteira saiu do vértice, sem resolver equação. Reconhecer que "altura máxima" quer dizer "\(Y_v\) do vértice" já é metade do caminho.
Bônus: erros clássicos ao analisar a parábola
Os erros de função quadrática raramente vêm da conta. Vêm de leitura apressada da curva.
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01
Trocar o sinal da concavidade
Esquecer que \(a < 0\) abre para baixo leva a marcar máximo onde há mínimo.
Como evitar: antes de calcular, olhe o sinal do \(a\) e decida se a parábola vira para cima ou para baixo. -
02
Confundir o \(X_v\) com a raiz
O \(X_v\) é a posição do vértice, não um zero. Em muitas parábolas o vértice nem toca o eixo horizontal.
Como evitar: raiz é onde \(f(x) = 0\); vértice é o extremo. São pontos diferentes. -
03
Achar que \(c\) é sempre uma raiz
O \(c\) é onde a parábola corta o eixo vertical, não o horizontal. Ele é \(f(0)\).
Como evitar: associe \(c\) ao eixo vertical e os zeros ao eixo horizontal. -
04
Esquecer que \(a \neq 0\)
Sem o termo \(x^2\), a função não é quadrática, e nada disso se aplica.
Como evitar: confirme que existe \(ax^2\) com \(a \neq 0\) antes de procurar parábola.
Para calcular as raízes a partir dos coeficientes, use a fórmula resolutiva. Para tratar a equação do 2º grau como tema, com propriedades e casos especiais, há a página dedicada.
Perguntas frequentes sobre função quadrática
O que é uma função quadrática?
Função quadrática, ou função do 2º grau, é toda função do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero. Seu gráfico é sempre uma parábola, uma curva simétrica em forma de U que pode abrir para cima ou para baixo. Ver a seção: A parábola.
Qual é a fórmula da função quadrática?
A forma geral é f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero. A partir dela derivam outras fórmulas úteis, como as coordenadas do vértice (Xv = -b/2a e Yv = -Δ/4a) e a forma fatorada f(x) = a(x - x1)(x - x2), quando a função tem raízes reais. Ver a seção: A parábola.
Qual é a fórmula do Xv e Yv?
As coordenadas do vértice são Xv = -b/(2a) para a abscissa e Yv = -Δ/(4a) para a ordenada, em que Δ = b² - 4ac. O Xv também define o eixo de simetria da parábola, de equação x = Xv. O Yv é o valor máximo da função quando a é negativo, ou mínimo quando a é positivo. Ver a seção: O vértice.
O que significa cada coeficiente da função quadrática?
O coeficiente a define a concavidade: positivo abre para cima, negativo abre para baixo, e seu módulo controla a abertura. O coeficiente c é o ponto onde a parábola corta o eixo vertical, já que f(0) = c. O coeficiente b, junto com o a, posiciona o eixo de simetria e o vértice. Ver a seção: Coeficientes b e c.
A função quadrática tem concavidade para baixo quando?
A concavidade é para baixo quando o coeficiente a é negativo, ou seja, a menor que zero. Nesse caso a parábola tem formato de cúpula e possui um ponto de máximo. Quando a é positivo, a concavidade é para cima e a parábola tem ponto de mínimo. Ver a seção: Concavidade.
Como calcular as raízes da função quadrática?
As raízes são os valores de x em que f(x) = 0, ou seja, onde a parábola cruza o eixo horizontal. Para encontrá-las a partir dos coeficientes, usa-se a fórmula resolutiva da equação do 2º grau, a Fórmula de Bhaskara, que tem um artigo dedicado aqui no Universo Narrado. Ver a seção: Os zeros.