Função quadrática (2º grau): o que é, gráfico e vértice.

A parábola por trás da função do 2º grau

A definição formal é direta. Uma função quadrática é toda função real escrita como:

É o termo $a{x}^2$ que entorta a reta e produz a parábola, uma curva simétrica em forma de U que pode estar virada para cima ou para baixo. Toda função quadrática tem como gráfico uma parábola, sem exceção. Relembre a função afim, a função do 1º grau, e repare como a presença do quadrado muda tudo.

A partir daqui, o artigo inteiro gira em torno de uma única habilidade: ler essa curva. Para que lado ela abre, onde está o ponto que muda tudo e onde ela toca os eixos. Cada pergunta tem resposta direta nos coeficientes $a$, $b$ e $c$.

Concavidade: o sinal de a manda na boca da parábola

A primeira coisa que o coeficiente $a$ decide é a concavidade, ou seja, para que lado a boca da parábola está virada. Quem manda nisso é só o $a$, mais ninguém.

Um jeito de não esquecer: o $a$ positivo deixa a parábola sorrindo para cima, e o $a$ negativo deixa ela de cara fechada para baixo. O valor absoluto de $a$ controla a abertura: quanto maior o módulo, mais fechada e estreita a parábola fica.

Os coeficientes b e c: o que cada um faz no gráfico

Se o $a$ manda na concavidade, os outros dois posicionam a parábola no plano.

O c é o mais fácil de ler. Ele é o valor da função quando $x$ é zero, porque $f(0)=c$. Em outras palavras, o $c$ é o ponto onde a parábola corta o eixo vertical. Se $f(x)=x^2-4x+3$, a curva cruza o eixo vertical na altura $3$.

O b, sozinho, é menos intuitivo, e por isso não compensa lê-lo de forma isolada. O que ele faz, sempre em conjunto com o $a$, é deslocar a parábola para os lados, posicionando o eixo de simetria e o vértice. É aí que ele entra para valer, e é o assunto da próxima seção, a parte mais importante de todas.

O vértice da parábola: Xv e Yv

Chegamos ao ponto alto do artigo. O vértice é onde a curva muda de direção, e é também onde está o valor máximo ou mínimo da função. Toda a leitura da parábola gira em torno dele.

O vértice é um ponto como qualquer outro, com um $x$ e um $y$. A diferença é que ele é o mais importante, e por isso suas coordenadas ganham nome próprio: $X_v$ e $Y_v$.

Toda parábola é simétrica, sem exceção, e isso dá um atalho bonito: quando a função tem duas raízes, o $X_v$ fica exatamente no meio delas, na média entre as duas. Se as raízes são $1$ e $7$, o $X_v$ é $4$, e dá para responder de cabeça.

Do $Y_v$ sai direto o conjunto imagem, todos os valores que $f(x)$ pode assumir. Para $a>0$, a imagem vai de $Y_v$ até mais infinito. Para $a<0$, vai de menos infinito até $Y_v$. Dá ainda para achar o $Y_v$ sem a fórmula: calcule o $X_v$ e jogue de volta na função.

Exemplo. Em $f(x)=x^2-4x+3$: $X_v=-(-4)\mathrm{/}(2\cdot 1)=2$; $\mathrm{\Delta }=16-12=4$; $Y_v=-4\mathrm{/}(4\cdot 1)=-1$. O vértice é $(2,-1)$, o mínimo da função.

Os zeros da função: onde a parábola cruza o eixo x

Os zeros, ou raízes, são os valores de $x$ em que $f(x)=0$. No desenho, são os pontos onde a parábola encosta ou cruza o eixo horizontal. Decorar três casos não ajuda muito aqui. Olhar o gráfico, sim.

Quando os zeros existem e você os conhece, a função pode ser escrita na forma fatorada:

Função quadrática em ação: três exemplos resolvidos

Ler parábola se aprende treinando. Então pega esses três casos, do mais simples ao estilo ENEM. Em nenhum deles a gente resolve equação: o jogo é interpretar a curva.

Exemplo 1. Básico: concavidade, interseção e vértice

Exemplo 2. Intermediário: valor máximo e imagem

Exemplo 3. Avançado: otimização (estilo ENEM)

Bônus: erros clássicos ao analisar a parábola

Os erros de função quadrática raramente vêm da conta. Vêm de leitura apressada da curva.

1. 01

   Trocar o sinal da concavidade

   Esquecer que $a<0$ abre para baixo leva a marcar máximo onde há mínimo.

   Como evitar: antes de calcular, olhe o sinal do $a$ e decida se a parábola vira para cima ou para baixo.
2. 02

   Confundir o $X_v$ com a raiz

   O $X_v$ é a posição do vértice, não um zero. Em muitas parábolas o vértice nem toca o eixo horizontal.

   Como evitar: raiz é onde $f(x)=0$; vértice é o extremo. São pontos diferentes.
3. 03

   Achar que $c$ é sempre uma raiz

   O $c$ é onde a parábola corta o eixo vertical, não o horizontal. Ele é $f(0)$.

   Como evitar: associe $c$ ao eixo vertical e os zeros ao eixo horizontal.
4. 04

   Esquecer que $a\mathrm{\ne }0$

   Sem o termo $x^2$, a função não é quadrática, e nada disso se aplica.

   Como evitar: confirme que existe $a{x}^2$ com $a\mathrm{\ne }0$ antes de procurar parábola.

Para calcular as raízes a partir dos coeficientes, use a fórmula resolutiva. Para tratar a equação do 2º grau como tema, com propriedades e casos especiais, há a página dedicada.

Perguntas frequentes sobre função quadrática