Função afim (função do 1º grau): o que é, gráfico e como calcular.

Por que função afim é a matemática da variação constante

Pensa numa corrida de táxi. Você entra no carro e já paga uma quantia fixa, a bandeirada, só por estar ali. A partir daí, o valor sobe um tanto certo a cada quilômetro: dez reais de bandeirada, mais dois reais por quilômetro rodado. O total da corrida muda conforme a distância, mas o ritmo do aumento nunca muda. Cada quilômetro a mais soma sempre os mesmos dois reais.

Esse é o coração da função afim. Existe um valor de partida, e existe uma taxa de variação que não muda nunca. Salário fixo mais comissão, conta de luz com tarifa fixa mais consumo, uma caixa d'água que enche em vazão constante: é tudo a mesma estrutura. Sempre que uma grandeza varia de forma constante em relação a outra, tem uma função afim por trás.

Guarda essa imagem do táxi, porque ela explica o artigo inteiro. O valor de partida vai virar o coeficiente $b$. O ritmo do aumento vai virar o coeficiente $a$. E o fato de o ritmo ser sempre o mesmo é exatamente o que faz o gráfico ser uma reta.

A lei f(x) = ax + b: o que cada coeficiente faz

Formalmente, a função afim é definida pela lei:

O a responde a uma pergunta só: quanto o $y$ muda quando o $x$ aumenta uma unidade? No táxi, o $a$ é o valor por quilômetro. Quanto maior o $a$, mais íngreme a reta. Quanto menor, mais suave ela fica.

O b é o valor da função quando $x$ vale zero, ou seja, $f(0)=b$. No táxi, o $b$ é a bandeirada. No gráfico, é o ponto onde a reta cruza o eixo vertical.

Um exemplo para fixar. Na função $f(x)=2x+10$, temos $a=2$ e $b=10$. Cada unidade a mais em $x$ soma $2$ no resultado, e quando $x$ é zero a função vale $10$. Existe ainda um caso particular: quando $b=0$, a lei fica $f(x)=ax$ e a reta passa pela origem. Esse caso tem nome próprio, função linear, e é um tipo especial de função afim.

O gráfico da função afim é sempre uma reta

Aqui está o fato visual que você não pode esquecer: o gráfico de uma função afim é sempre, sempre uma reta. E isso não é um acaso, é consequência direta da variação constante. Como cada passo em $x$ soma sempre o mesmo tanto em $y$, os pontos nunca curvam, eles se alinham.

Quer enxergar com os próprios olhos? Pega a função, escolhe alguns valores de $x$, calcula os $f(x)$ correspondentes, marca esses pontos no plano e liga. Você vai ver os pontos caírem todos sobre uma mesma linha. E pode confiar que é uma reta de verdade: dois pontos quaisquer já determinam uma reta única.

Crescente, decrescente ou constante: o papel do coeficiente a

O coeficiente angular decide o comportamento da função inteira. Para enxergar o $a$ na prática, pensa em movimento: cada vez que o $x$ anda uma unidade, o $y$ reage de um jeito.

A raiz da função e o cálculo na prática

A raiz, ou zero, de uma função é o valor de $x$ que faz $f(x)=0$. No gráfico, é o ponto onde a reta cruza o eixo horizontal. Achar a raiz de uma função afim é direto: iguala a lei a zero e isola o $x$.

Exemplo. Na função $f(x)=2x+10$, a raiz é $x=-10\mathrm{/}2=-5$. Confere: $f(-5)=2\cdot (-5)+10=0$.

E quando o enunciado dá dois pontos em vez da lei? O caminho é o mesmo, de trás para frente. Se a função passa por $(1,7)$ e $(3,11)$, a taxa de variação é $a=(11-7)\mathrm{/}(3-1)=2$. Com o $a$ na mão, use um ponto para achar o $b$: em $(1,7)$, temos $7=2\cdot 1+b$, logo $b=5$. A função é $f(x)=2x+5$.

Função afim em ação: três exemplos resolvidos

Saber a teoria é uma coisa. Aplicar sob a pressão da prova é outra. A seguir, três situações com dificuldade crescente, cada uma seguindo a mesma rotina: identificar o a e o b → montar a lei → responder → conferir.

Exemplo 1. Básico: calcular um valor da função

Exemplo 2. Intermediário: achar a lei a partir de dois pontos

Exemplo 3. Avançado: contexto de problema (estilo ENEM)

Bônus: os erros clássicos com função afim

A função afim é simples, e por isso os erros que mais aparecem vêm de desatenção, não de dificuldade. Estes são os quatro mais comuns.

1. 01

   Confundir coeficiente angular com linear

   O $a$ é a taxa de variação, o $b$ é o valor inicial. Trocar os dois inverte o problema inteiro.

   Como evitar: lembre que o $a$ anda sempre junto do $x$, e o $b$ anda sozinho.
2. 02

   Errar o sinal de $b$ ao calcular a raiz

   A raiz é $x=-b\mathrm{/}a$. Em $f(x)=2x+10$, a raiz é $-10\mathrm{/}2=-5$, não $+5$.

   Como evitar: escreva a fórmula da raiz antes de substituir e respeite o sinal original do $b$.
3. 03

   Achar que toda reta passa pela origem

   Só a função linear, com $b=0$, passa pela origem. Na função afim geral, a reta cruza o eixo vertical em $(0,b)$.

   Como evitar: marque sempre o ponto $(0,b)$ antes de desenhar.
4. 04

   Tratar a função constante como afim

   Quando $a=0$, a função não cresce nem decresce, ela é só constante. Não tente achar raiz nem inclinação ali.

   Como evitar: confirme que $a\mathrm{\ne }0$ antes de classificar.

Uma ponte que vale ouro: PA é função afim

Liste os valores de uma função afim em $x=1,2,3,4$ e assim por diante. Você vai obter uma sequência em que cada termo soma sempre a mesma quantidade. Isso é exatamente uma progressão aritmética. A PA é uma função afim restrita aos números naturais, e enxergar essa ligação adianta meio caminho na matéria de sequências.

Perguntas frequentes sobre função afim