Por que função afim é a matemática da variação constante
Pensa numa corrida de táxi. Você entra no carro e já paga uma quantia fixa, a bandeirada, só por estar ali. A partir daí, o valor sobe um tanto certo a cada quilômetro: dez reais de bandeirada, mais dois reais por quilômetro rodado. O total da corrida muda conforme a distância, mas o ritmo do aumento nunca muda. Cada quilômetro a mais soma sempre os mesmos dois reais.
Esse é o coração da função afim. Existe um valor de partida, e existe uma taxa de variação que não muda nunca. Salário fixo mais comissão, conta de luz com tarifa fixa mais consumo, uma caixa d'água que enche em vazão constante: é tudo a mesma estrutura. Sempre que uma grandeza varia de forma constante em relação a outra, tem uma função afim por trás.
Guarda essa imagem do táxi, porque ela explica o artigo inteiro. O valor de partida vai virar o coeficiente \(b\). O ritmo do aumento vai virar o coeficiente \(a\). E o fato de o ritmo ser sempre o mesmo é exatamente o que faz o gráfico ser uma reta.
A lei f(x) = ax + b: o que cada coeficiente faz
Formalmente, a função afim é definida pela lei:
O coeficiente a é o coeficiente angular (a taxa de variação), e o coeficiente b é o coeficiente linear (o valor inicial, onde a reta corta o eixo vertical).
O a responde a uma pergunta só: quanto o \(y\) muda quando o \(x\) aumenta uma unidade? No táxi, o \(a\) é o valor por quilômetro. Quanto maior o \(a\), mais íngreme a reta. Quanto menor, mais suave ela fica.
O b é o valor da função quando \(x\) vale zero, ou seja, \(f(0) = b\). No táxi, o \(b\) é a bandeirada. No gráfico, é o ponto onde a reta cruza o eixo vertical.
Um exemplo para fixar. Na função \(f(x) = 2x + 10\), temos \(a = 2\) e \(b = 10\). Cada unidade a mais em \(x\) soma \(2\) no resultado, e quando \(x\) é zero a função vale \(10\). Existe ainda um caso particular: quando \(b = 0\), a lei fica \(f(x) = ax\) e a reta passa pela origem. Esse caso tem nome próprio, função linear, e é um tipo especial de função afim.
O gráfico da função afim é sempre uma reta
Aqui está o fato visual que você não pode esquecer: o gráfico de uma função afim é sempre, sempre uma reta. E isso não é um acaso, é consequência direta da variação constante. Como cada passo em \(x\) soma sempre o mesmo tanto em \(y\), os pontos nunca curvam, eles se alinham.
Quer enxergar com os próprios olhos? Pega a função, escolhe alguns valores de \(x\), calcula os \(f(x)\) correspondentes, marca esses pontos no plano e liga. Você vai ver os pontos caírem todos sobre uma mesma linha. E pode confiar que é uma reta de verdade: dois pontos quaisquer já determinam uma reta única.
Dois detalhes governam a reta. O sinal do \(a\) decide a inclinação: \(a\) positivo faz a reta subir, \(a\) negativo faz ela descer. O valor de \(b\) decide a altura, marcando onde a reta corta o eixo vertical.
Crescente, decrescente ou constante: o papel do coeficiente a
O coeficiente angular decide o comportamento da função inteira. Para enxergar o \(a\) na prática, pensa em movimento: cada vez que o \(x\) anda uma unidade, o \(y\) reage de um jeito.
Crescente
\(a > 0\)O \(x\) anda uma unidade e o \(y\) sobe. É o caso do táxi: rodar mais sempre custa mais.
Decrescente
\(a < 0\)O \(x\) anda uma unidade e o \(y\) desce. É o tanque que esvazia em ritmo constante.
Constante
\(a = 0\)O termo em \(x\) some e sobra \(f(x) = b\). A reta vira horizontal (e deixa de ser afim no sentido estrito).
A raiz da função e o cálculo na prática
A raiz, ou zero, de uma função é o valor de \(x\) que faz \(f(x) = 0\). No gráfico, é o ponto onde a reta cruza o eixo horizontal. Achar a raiz de uma função afim é direto: iguala a lei a zero e isola o \(x\).
De \(ax + b = 0\), passamos o \(b\) para o outro lado e dividimos por \(a\). Atenção ao sinal de menos na frente do \(b\).
Exemplo. Na função \(f(x) = 2x + 10\), a raiz é \(x = -10/2 = -5\). Confere: \(f(-5) = 2 \cdot (-5) + 10 = 0\).
E quando o enunciado dá dois pontos em vez da lei? O caminho é o mesmo, de trás para frente. Se a função passa por \((1, 7)\) e \((3, 11)\), a taxa de variação é \(a = (11 - 7)/(3 - 1) = 2\). Com o \(a\) na mão, use um ponto para achar o \(b\): em \((1, 7)\), temos \(7 = 2 \cdot 1 + b\), logo \(b = 5\). A função é \(f(x) = 2x + 5\).
Função afim em ação: três exemplos resolvidos
Saber a teoria é uma coisa. Aplicar sob a pressão da prova é outra. A seguir, três situações com dificuldade crescente, cada uma seguindo a mesma rotina: identificar o a e o b → montar a lei → responder → conferir.
Exemplo 1. Básico: calcular um valor da função
Dada \(f(x) = 3x - 4\), calcule \(f(2)\) e diga se a função é crescente ou decrescente.
- Coeficientes: \(a = 3,\ b = -4\).
- Cálculo: \(f(2) = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2\).
- Como \(a = 3 > 0\), a função é crescente.
Exemplo 2. Intermediário: achar a lei a partir de dois pontos
Uma função afim passa por \((2, 9)\) e \((5, 21)\). Encontre \(f(x)\) e a raiz.
- Taxa de variação: \(a = \dfrac{21 - 9}{5 - 2} = \dfrac{12}{3} = 4\).
- Valor inicial, com \((2, 9)\): \(9 = 4 \cdot 2 + b\), então \(b = 1\).
- Lei: \(f(x) = 4x + 1\).
- Raiz: \(x = -b/a = -1/4\).
Exemplo 3. Avançado: contexto de problema (estilo ENEM)
Um plano de internet cobra R$ 40,00 fixos mais R$ 0,50 por gigabyte excedente. Escreva a função do valor da conta e descubra quantos gigabytes levam a conta a R$ 70,00.
- Modelagem: \(x\) é o excedente em gigabytes. Valor inicial \(b = 40\); taxa de variação \(a = 0{,}5\).
- Função: \(f(x) = 0{,}5x + 40\).
- Para a conta chegar a 70: \(0{,}5x + 40 = 70\).
- Isolando: \(0{,}5x = 30\), logo \(x = 60\).
Repara que o exemplo 3 não pede fórmula nova. A dificuldade está em ler o enunciado e reconhecer quem é o valor inicial e quem é a taxa de variação.
Bônus: os erros clássicos com função afim
A função afim é simples, e por isso os erros que mais aparecem vêm de desatenção, não de dificuldade. Estes são os quatro mais comuns.
-
01
Confundir coeficiente angular com linear
O \(a\) é a taxa de variação, o \(b\) é o valor inicial. Trocar os dois inverte o problema inteiro.
Como evitar: lembre que o \(a\) anda sempre junto do \(x\), e o \(b\) anda sozinho. -
02
Errar o sinal de \(b\) ao calcular a raiz
A raiz é \(x = -b/a\). Em \(f(x) = 2x + 10\), a raiz é \(-10/2 = -5\), não \(+5\).
Como evitar: escreva a fórmula da raiz antes de substituir e respeite o sinal original do \(b\). -
03
Achar que toda reta passa pela origem
Só a função linear, com \(b = 0\), passa pela origem. Na função afim geral, a reta cruza o eixo vertical em \((0, b)\).
Como evitar: marque sempre o ponto \((0, b)\) antes de desenhar. -
04
Tratar a função constante como afim
Quando \(a = 0\), a função não cresce nem decresce, ela é só constante. Não tente achar raiz nem inclinação ali.
Como evitar: confirme que \(a \neq 0\) antes de classificar.
Uma ponte que vale ouro: PA é função afim
Liste os valores de uma função afim em \(x = 1, 2, 3, 4\) e assim por diante. Você vai obter uma sequência em que cada termo soma sempre a mesma quantidade. Isso é exatamente uma progressão aritmética. A PA é uma função afim restrita aos números naturais, e enxergar essa ligação adianta meio caminho na matéria de sequências.
Veja como a progressão aritmética nasce da função afimPerguntas frequentes sobre função afim
O que é função afim?
Função afim é toda função do tipo f(x) = ax + b, com a e b números reais. Ela descreve situações de variação constante, em que existe um valor inicial b e uma taxa de variação a que não muda. Seu gráfico é sempre uma reta. Ver a seção: A lei e os coeficientes.
Função afim e função do 1º grau são a mesma coisa?
São. Função do 1º grau e função afim são dois nomes para a mesma função f(x) = ax + b. O nome função do 1º grau vem do maior expoente da variável, que é um. O nome função afim é a denominação mais usada nos livros atuais. Ver a seção: A lei e os coeficientes.
Como se calcula a função do 1º grau?
Para calcular um valor da função, você substitui o x pela quantidade desejada e resolve a conta. Para achar a lei a partir de dois pontos, calcule a taxa de variação a, igual à variação de y dividida pela variação de x, e depois use um dos pontos para encontrar o b. Para achar a raiz, resolva ax + b = 0, o que dá x = -b/a. Ver a seção: A raiz da função.
Como descobrir o b de uma função afim?
O b é o valor da função quando x é zero, ou seja, f(0) = b. Se você tem a lei, basta olhar o termo independente. Se você tem o gráfico, o b é o ponto onde a reta cruza o eixo vertical. Se você tem o a e um ponto, substitua na lei y = ax + b e isole o b. Ver a seção: A lei e os coeficientes.
Quais são os tipos de função afim?
Pelo comportamento, a função afim pode ser crescente (a maior que zero) ou decrescente (a menor que zero). Há ainda o caso particular da função linear, em que b = 0 e o gráfico passa pela origem, e o caso da função constante, em que a = 0 e o gráfico é uma reta horizontal. Ver a seção: Crescente ou decrescente.
Por que chama função afim?
O termo afim indica que a função é aparentada da função linear. A função linear pura é f(x) = ax, que passa pela origem. A função afim acrescenta o termo b, deslocando a reta sem mudar a inclinação. Por ser próxima, ou afim, da função linear, recebeu esse nome. Ver a seção: A lei e os coeficientes.
Como é o gráfico de uma função afim?
É sempre uma reta não vertical. O sinal do coeficiente a define se a reta sobe ou desce, e o valor de b define onde ela cruza o eixo vertical. Para desenhar, bastam dois pontos, já que dois pontos determinam uma reta. Ver a seção: O gráfico é uma reta.
Continue aprendendo: tópicos relacionados
Função quadrática: a parábola por dentro
Concavidade, vértice e zeros. O passo natural depois da função do 1º grau.
Hub Funções: o índice completo
Função do 1º e 2º grau, exponencial, logarítmica e modular, cada tópico no seu lugar.
Progressão aritmética: a função afim dos naturais
Termo geral, soma e a ligação direta com a reta que você acabou de ver.