O que é teoria dos conjuntos (e por que ela é a base de tudo)

Teoria dos conjuntos é a linguagem que a matemática usa pra falar de coleções de coisas. E é dela que sai quase tudo o que você vê depois: os números, as funções, as operações, os gráficos. Por isso vale firmar essa base de verdade antes de qualquer outra.

Olha, a matemática não tem a ver com saber quanto é o log de dois terços. A matemática tem a ver com entender esses processos que a gente tá construindo juntos. É essa a régua aqui: entender, não decorar.

Então a gente começa do começo. O que é um conjunto. O que cada símbolo, ∈, ⊂, ∪, ∩, quer dizer. E como tudo isso vira ferramenta na sua mão. Mais de 50 mil alunos já aprenderam dessa forma, e o jeito é sempre o mesmo: começar pelo fenômeno e deixar a fórmula aparecer.

Conjunto é só isso: uma coleção de coisas que a gente decide juntar. Imagina a sua turma de aula, cada aluno é um elemento, e a turma toda é o conjunto.

Pra desenhar isso a gente usa o diagrama de Venn: uma bolha fechada com os elementos dentro, beleza? Se o João tá na turma, ele tá dentro da bolha. Se não tá, fica de fora. Simples assim.

E um conjunto pode ser de qualquer coisa: número (os naturais até 5), letra (as vogais), pessoa, o que você quiser. O que importa é a regra que diz quem entra.

Muito cuidado aqui, porque é o ponto onde quase todo mundo se embanana: ∈ e ⊂ não são a mesma coisa, não seja ingênuo.

O ∈ (pertence) liga um elemento a um conjunto. Se A é a turma, então João ∈ A, o João pertence à turma. Já o ⊂ (está contido) liga um conjunto a outro conjunto. Os meninos ⊂ A, o conjunto dos meninos está contido na turma.

A regra pra nunca mais errar é olhar o que tá dos dois lados do símbolo: ∈ tem coisa de um lado e bolha do outro (elemento e conjunto); ⊂ tem bolha dos dois lados (conjunto e conjunto).

Agora que você tem as bolhas, dá pra brincar com elas. E são só quatro movimentos:

Olha que massa: cada operação é uma região do desenho. Quando você enxerga a região, não precisa decorar fórmula nenhuma, você lê o resultado direto no Venn.

Três ideias fecham a base e te poupam de cair em pegadinha de prova.

Subconjunto é uma bolha inteira dentro de outra. Se todo elemento de B também está em A, então B ⊂ A, os meninos são subconjunto da turma.

O conjunto vazio (∅) é a bolha sem nada dentro. E aqui vem a parte que confunde: o vazio está contido em todo conjunto. Por quê? Porque, pra ∅ não estar contido em A, teria que existir um elemento dele fora de A. Só que ele não tem elemento nenhum, então não há como falhar. Olha que doido: ele entra de graça em todo mundo.

E o conjunto universo é a bolha grandona que segura tudo do problema. Quando a gente fala de números, o universo costuma ser os reais.

Esse é o problema que mais cai no ENEM e o que mais faz gente perder ponto. Numa cidade, 30 pessoas leem o jornal A, 25 leem o jornal B, e 10 leem os dois, quantas leem pelo menos um?

A tentação é somar 30 + 25 = 55. E tá errado.

Pensa comigo: quem lê os dois foi contado uma vez no 30 e de novo no 25. Contei essa galera duas vezes. Por isso eu desconto a interseção uma vez:

Não é decora a fórmula, é entender que você tira o que contou em dobro. No diagrama de Venn fica óbvio: a fatia do meio (os 10) aparece nas duas bolhas, então some uma cópia dela.

Aqui a teoria dos conjuntos vira gente: os conjuntos numéricos são a aplicação que você usa o resto da vida. E olha o pulo do gato, os números, de modo geral, mesmo os mais simples, os números de contagem, são uma grande abstração.

Começa pelos naturais (N): números de contagem 1, 2, 3, 4, 5, 6 e parece que é o número mais natural de todos, inclusive ele recebe esse nome porque ele surge muito naturalmente a partir da necessidade de fazer contagem. Quantas ovelhas tem ali? É isso. Depois vêm os negativos: imagina os inteiros, sacou um número negativo, os inteiros a gente coloca menos três menos dois menos um zero um dois três.

E cuidado com os racionais (Q), porque é aqui que os portais erram: Q tem 1/2, 0,75, e não só inteiros. Os irracionais (I) são os que não viram fração, como a raiz de 2 e o π. Junta racionais e irracionais e você tem os reais (R), a reta inteira.

Quando a gente fala do tamanho de um conjunto de coisas, isso quer dizer a quantidade de elementos que tem dentro desse conjunto. O nome matemático disso é cardinalidade.

Pra conjunto pequeno é fácil: $\{a, e, i\}$ tem cardinalidade 3. O doido é quando o conjunto é infinito.

Pensa nos pares (0, 2, 4, 6...) e nos naturais (0, 1, 2, 3...). O do segundo, dos números naturais, ele é bem maior do que o dos pares, já que nele tem os pares e os ímpares. Será? Na verdade, não. A gente tenta encontrar uma relação que associa um único elemento de um conjunto com um único elemento do outro conjunto, ligo cada natural ao seu dobro (o zero com o zero, o dobro de um é dois, o dobro de dois é quatro), não sobra ninguém, e descubro que os dois infinitos têm o mesmo tamanho.

Se você mira ITA, IME ou um concurso militar pesado, é aqui que a teoria dos conjuntos fica afiada.

As Leis de De Morgan dizem como o complemento conversa com união e interseção:

Pensa comigo no porquê, sem decorar. Não estar em A nem em B é a mesma coisa que estar fora de A E fora de B. Negar um "ou" vira um "e", e é exatamente isso que a lógica proposicional faz.

A diferença simétrica (A △ B) é o "ou exclusivo" dos conjuntos: tudo o que está em A ou em B, mas não nos dois. As duas bolhas menos a fatia do meio.

Antes de fechar, uma correção que importa, porque sai errado em quase todo portal: a teoria dos conjuntos moderna foi fundada por Georg Cantor, alemão, nascido em São Petersburgo, mas alemão, e não por nenhum "Greg Cantor russo".

Foi ele quem teve a coragem de tratar o infinito como um objeto matemático de verdade, com tamanho e tudo.

E tem uma ideia ainda mais antiga e bonita por trás dela. Eu não preciso de números para comparar o tamanho de duas coleções de objetos, de dois conjuntos, porque se eu relaciono um a um uma maçã com um cachorro, e não sobra nenhuma maçã nem nenhum cachorro, eu já sei que tenho a mesma quantidade, mesmo sem número nenhum. Quer dizer: comparar conjuntos por correspondência vem antes do número, é mais primitivo que contar.