O que são arcos compostos?

É agora, meu amigo, minha amiga, que o negócio começa a ficar esquisito. A gente vai começar a falar de arcos compostos, do cosseno ou do seno ou da tangente também, da soma de arcos, de ângulos.

A ideia é poderosa: você combina dois arcos que já conhece e não precisa decorar tabela nova. Quando você tem o seno e o cosseno de 45° e de 30° na mão, dá pra calcular o seno de 75°, que é só 45° + 30°.

Neste guia eu construo as fórmulas do seno, do cosseno e da tangente da soma e da diferença, mostro de onde elas vêm no ciclo trigonométrico, e emendo no arco duplo e no arco metade. Tudo encadeado, uma fórmula puxando a outra.

Mais de 1 milhão de inscritos. Quem te explica arcos compostos aqui ensina exatas no YouTube há mais de uma década, sempre pelo método de construir a fórmula em vez de decorar.

Se você ainda está montando a base, vale ter à mão o Ciclo trigonométrico e os Arcos e ângulos, é desse chão que tudo aqui nasce.

Por que sen(a+b) não distribui?

Não, sen⁡(a+b) \operatorname{sen}(a+b) não é sen⁡a+sen⁡b \operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b . O seno é uma função, e função quase nunca distribui na soma desse jeito.

Esse é o erro que quase todo mundo comete numa primeira abordagem: olhar pra cos⁡(a+b) \cos(a+b) e sair distribuindo, como se o cosseno fosse um número multiplicando o aa mais bb. Muito cuidado: o cosseno não é um termo que está multiplicando o aa mais bb. O cosseno representa uma coisa, uma função matemática e tal. Ele tem um significado por trás dele.

O erro mais comum do tema. Pra ver que não cola, pensa numa função qualquer, f(x)f(x). Será que f(a+b)f(a+b) é sempre f(a)+f(b)f(a) + f(b)? Depende da função. Se f(x)=xf(x) = x, até funciona. Mas pega f(x)=x2f(x) = x^2: f(a+b)f(a+b) é (a+b)2(a+b)^2, que abre num produto notável, a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2. Sobrou um 2ab2ab no meio do caminho. Então f(a+b)f(a+b) não é f(a)+f(b)f(a) + f(b); tem um termo a mais.

Com o cosseno é a mesma história. Olha o cosseno de 60°: ele vale meio. Se você enxergar 60° como 30° + 30° e sair distribuindo, vai escrever cos⁡30∘+cos⁡30∘ \cos 30^\circ + \cos 30^\circ , que não dá meio de jeito nenhum. Não é tão simples quanto talvez pareça no primeiro momento.

É por isso que existe uma fórmula própria pros arcos compostos. Entender que a distributiva falha é o primeiro passo pra não errar a conta na prova.

Fórmulas do seno e cosseno da soma

Aqui estão as quatro fórmulas que você veio buscar, escritas pra ler de verdade, não numa foto borrada. Eu escrevo cada uma de forma selecionável de propósito, porque os portais jogam tudo em imagem que o buscador não lê e você não copia. Aqui você seleciona, copia e leva pro caderno.

OperaçãoSenoCosseno
Soma (a + b)sen⁡(a+b)=sen⁡a⋅cos⁡b+cos⁡a⋅sen⁡b \operatorname{sen}(a+b) = \operatorname{sen} a \cdot \cos b + \cos a \cdot \operatorname{sen} b cos⁡(a+b)=cos⁡a⋅cos⁡b−sen⁡a⋅sen⁡b \cos(a+b) = \cos a \cdot \cos b - \operatorname{sen} a \cdot \operatorname{sen} b
Diferença (a − b)sen⁡(a−b)=sen⁡a⋅cos⁡b−cos⁡a⋅sen⁡b \operatorname{sen}(a-b) = \operatorname{sen} a \cdot \cos b - \cos a \cdot \operatorname{sen} b cos⁡(a−b)=cos⁡a⋅cos⁡b+sen⁡a⋅sen⁡b \cos(a-b) = \cos a \cdot \cos b + \operatorname{sen} a \cdot \operatorname{sen} b

O jogo dos sinais, que é onde a maioria escorrega. No seno, o sinal acompanha a operação, soma com soma, diferença com diferença. No cosseno, ele inverte, a soma vira menos, a diferença vira mais.

Essas quatro são a espinha dos arcos compostos. Tudo o que vem depois, tangente, arco duplo, arco metade, nasce delas.

De onde vem a fórmula?

A fórmula não cai do céu, e essa parte os portais escondem. O cosseno não é um número que está multiplicando essa soma aa mais bb, ele é a projeção horizontal do ângulo no ciclo, e é daí que a fórmula nasce.

Começa comigo. Vamos lá, ciclo trigonométrico padrão. Eu marco um arco BB e, a partir dele, um arco AA na extremidade do ciclo; depois volto o mesmo ângulo BB, e o que sobra ali no meio é um ângulo AA menos BB. Destaco dois triângulos: os dois têm dois lados iguais aos raios do ciclo (que valem 1) e o ângulo A−BA - B entre eles, então são congruentes. Encaixo um no outro, aplico Pitágoras nas projeções, uso a relação fundamental sen⁡2x+cos⁡2x=1 \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1 , e o que cai no colo é:

A fórmula-mãe
cos⁡(a−b)=cos⁡a⋅cos⁡b+sen⁡a⋅sen⁡b \cos(a-b) = \cos a \cdot \cos b + \operatorname{sen} a \cdot \operatorname{sen} b

Não como mágica decorada, mas como consequência da geometria. Quando você tem o cosseno da diferença, as outras três saem dele por paridade, basta trocar bb por −b-b e lembrar que cos⁡(−b)=cos⁡b \cos(-b) = \cos b e sen⁡(−b)=−sen⁡b \operatorname{sen}(-b) = -\operatorname{sen} b .

É só assistir o vídeo aqui que eu faço a construção inteira no quadro, passo a passo: a demonstração geométrica do arco duplo a partir da soma de arcos reforça exatamente esse raciocínio.

A tangente da soma e da diferença

A tangente da soma e da diferença sai de uma divisão simples, sem fórmula nova pra decorar. Vamos avançar então e falar agora da tangente da soma e da tangente da diferença, que é isto aqui: tangente de AA mais BB, tangente de AA menos BB.

A real é bem simples, uma vez que a gente já sabe quem é seno de a+ba+b e quem é cosseno de a+ba+b. E a gente sabe que tangente é simplesmente seno sobre cosseno, então está de boa. Pega o seno de a+ba+b sobre o cosseno de a+ba+b, que você acabou de construir, divide numerador e denominador por cos⁡a⋅cos⁡b \cos a \cdot \cos b (não altera a fração), simplifica, e aparece:

Tangente da soma e da diferença
tg⁡(a+b)=tg⁡a+tg⁡b1−tg⁡a⋅tg⁡b \operatorname{tg}(a+b) = \dfrac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b}
tg⁡(a−b)=tg⁡a−tg⁡b1+tg⁡a⋅tg⁡b \operatorname{tg}(a-b) = \dfrac{\operatorname{tg} a - \operatorname{tg} b}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b}

Olha o jogo de sinais de novo. Em cima, o sinal é o mesmo da operação, porque ele é herança do seno. Embaixo, ele troca, porque é herança do cosseno, o cosseno é quem inverte o sinal quando você abre a expressão.

Saber de onde a tangente vem é o que te salva quando você esquece a fórmula no meio da prova: você reconstrói na hora. Se quiser ver isso no quadro, é só assistir a aula da tangente da soma e da diferença de arcos.

Como calcular sen 75° com a fórmula

Pra calcular sen 75°, você enxerga 75° como 45° + 30° e aplica a fórmula da soma. Esse é o pulo do gato dos arcos compostos:

🪖 Somasen 75° = sen(45° + 30°)
  1. Quebra 75° em dois notáveis: 75∘=45∘+30∘ 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ .
  2. Aplica a soma: sen⁡75∘=sen⁡45∘⋅cos⁡30∘+cos⁡45∘⋅sen⁡30∘ \operatorname{sen} 75^\circ = \operatorname{sen} 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \cdot \operatorname{sen} 30^\circ .
  3. Substitui os notáveis e simplifica.
sen⁡75∘=6+24 \operatorname{sen} 75^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} , ângulo não notável a partir de 45° + 30°.

A subtração é o mesmo raciocínio. Você sabe que 15 é 45. Menos 30. Não é menos. 45 menos 30 é 15. Seno e cosseno de 45 de 30, você conhece.

🪖🪖 Diferençasen 15° = sen(45° − 30°)
  1. Quebra 15° na diferença: 15∘=45∘−30∘ 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ .
  2. Aplica a diferença: sen⁡15∘=sen⁡45∘⋅cos⁡30∘−cos⁡45∘⋅sen⁡30∘ \operatorname{sen} 15^\circ = \operatorname{sen} 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \cdot \operatorname{sen} 30^\circ .
sen⁡15∘=6−24 \operatorname{sen} 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

Calcular o seno de 15° já caiu em prova várias vezes; é o exemplo clássico da fórmula trabalhando de verdade. O segredo é sempre o mesmo: enxergar o ângulo estranho como soma ou diferença de dois ângulos que você já domina, e deixar a fórmula fazer o resto.

Arco duplo: o caso particular da soma

O arco duplo não é fórmula nova pra decorar: 2x2x é simplesmente xx mais xx, e aí basta usar seno de AA mais BB, no caso em que o AA e o BB inclusive são iguais. Faz a=b=xa = b = x na fórmula da soma e cai tudo:

Arco duplo
sen⁡(2x)=2⋅sen⁡x⋅cos⁡x \operatorname{sen}(2x) = 2 \cdot \operatorname{sen} x \cdot \cos x
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sen⁡2x \cos(2x) = \cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x
tg⁡(2x)=2 tg⁡x1−tg⁡2x \operatorname{tg}(2x) = \dfrac{2\,\operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x}

As três formas do cosseno do dobro. Usando a relação fundamental, cos⁡(2x)=cos⁡2x−sen⁡2x \cos(2x) = \cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x vira 1−2sen⁡2x 1 - 2\operatorname{sen}^2 x (quando você troca o cosseno²) ou 2cos⁡2x−1 2\cos^2 x - 1 (quando troca o seno²). As três dizem a mesma coisa; dependendo da questão, uma é mais útil que a outra. Só não confunda cos⁡2x−sen⁡2x \cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x com a relação fundamental, o que dá 1 é cos⁡2x+sen⁡2x \cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x , com o mais.

É a soma de arcos olhando pra si mesma. Por isso eu insisto em construir a fórmula geral primeiro: dominando o arco composto, o arco duplo é um caso particular que você deduz na hora.

Arco metade: invertendo o arco duplo

O arco metade fecha a cadeia, e ele sai de um pulo. Vamos começar com a expressão do arco dobro porque cara dobro da metade é um pulo: o arco dobro me dá o cosseno do dobro de um ângulo em função do cosseno do ângulo, e o arco metade é o contrário, uma expressão que me dá o cosseno de um cara em função do cara que é o dobro dele.

Arco metade
cos⁡ ⁣(x2)=±1+cos⁡x2 \cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \cos x}{2}}
sen⁡ ⁣(x2)=±1−cos⁡x2 \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos x}{2}}
tg⁡ ⁣(x2)=1−cos⁡x1+cos⁡x \operatorname{tg}\!\left(\tfrac{x}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}

Pega cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1 \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 , isola o cosseno e tira a raiz; faz o mesmo com cos⁡(2x)=1−2sen⁡2x \cos(2x) = 1 - 2\operatorname{sen}^2 x pro seno. E a tangente? Tangente é de borracha, né? Tangente de sobre 2 é seno sobre cosseno.

Aquele sinal de mais ou menos não é decoração. Ele depende do quadrante onde x/2x/2 cai. Se metade do ângulo está num quadrante onde o cosseno é positivo, fica o mais; se é negativo, o menos.

Agora o mapa fica inteiro: o arco composto é a fórmula-mãe, o arco duplo é ela com a=ba = b, e o arco metade é o arco duplo invertido. Uma gera a outra, é por isso que entender uma só, a da soma, sustenta as três. No vídeo do arco metade eu construo a fórmula do começo ao fim, isolando cada termo.

Exercícios de arcos compostos resolvidos

Fórmula sem exercício não fixa, então aqui vão questões reais de arcos compostos resolvidas com calma. Cada uma começa pela leitura do enunciado, qual ângulo estranho a banca pediu e como quebrá-lo em soma ou diferença de notáveis, e segue até o gabarito comentado, mostrando a fórmula trabalhando na prática.

Eu priorizo questões no estilo das provas que o pessoal enfrenta de verdade:

  1. 01

    ENEM e vestibulares concorridos

    Onde o seno e o cosseno da soma aparecem disfarçados num ângulo não notável, exigindo que você reconheça a quebra antes de aplicar a fórmula.

  2. 02

    Concursos militares

    EFOMM, Escola Naval e EsPCEx cobram soma e subtração de arcos com profundidade, muitas vezes encadeando com a relação fundamental.

  3. 03

    Casos de arco duplo e arco metade

    Caem como continuação natural da soma de arcos, o mesmo movimento, agora com a=ba = b ou com a expressão invertida.

O clique que resolve a lista inteira. A ideia não é você decorar a resolução, é reconhecer o padrão: ângulo não notável quase sempre é dois notáveis disfarçados. Quando esse clique acontece, a lista inteira de exercícios vira variação do mesmo movimento.

FAQ: dúvidas sobre arcos compostos

Por que sen(a+b) não é igual a sen a + sen b?

Porque o seno é uma função, e função quase nunca distribui na soma. Pega f(x)=x2f(x) = x^2: (a+b)2(a+b)^2 não é a2+b2a^2 + b^2, tem o termo do meio, com o seno é parecido. Por isso existe uma fórmula própria: sen⁡(a+b)=sen⁡a⋅cos⁡b+cos⁡a⋅sen⁡b \operatorname{sen}(a+b) = \operatorname{sen} a \cdot \cos b + \cos a \cdot \operatorname{sen} b . Tratar o seno como se ele abrisse a soma é o erro mais comum do tema, e é o que essa fórmula conserta.

Qual a diferença entre arco duplo e arco metade?

São os dois extremos da mesma família. O arco duplo é a soma de arcos com a=ba = b: sen⁡(2x) \operatorname{sen}(2x) , cos⁡(2x) \cos(2x) e tg⁡(2x) \operatorname{tg}(2x) saem direto de fazer os dois ângulos iguais. O arco metade é o caminho inverso: você parte da expressão do arco duplo e isola o seno ou o cosseno pra achar sen⁡(x/2) \operatorname{sen}(x/2) e cos⁡(x/2) \cos(x/2) . Uma fórmula gera a outra, entender o arco composto sustenta as duas.

Quando uso a fórmula da soma e quando uso a da subtração?

Depende de como você quebra o ângulo. Se o ângulo estranho é a soma de dois notáveis, usa a fórmula da soma, 75° = 45° + 30°, então sen 75° pela soma. Se é a diferença, usa a da subtração, 15° = 45° − 30°, então sen 15° pela subtração. O sinal acompanha a operação no seno e inverte no cosseno; é só seguir o jogo de sinais da fórmula.

Como calcular o seno de 15° usando arcos compostos?

Enxerga 15° como 45° − 30°, dois ângulos notáveis que você já conhece. Aí sen⁡15∘=sen⁡(45∘−30∘)=sen⁡45∘⋅cos⁡30∘−cos⁡45∘⋅sen⁡30∘ \operatorname{sen} 15^\circ = \operatorname{sen}(45^\circ - 30^\circ) = \operatorname{sen} 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \cdot \operatorname{sen} 30^\circ . Substituindo os valores notáveis, dá 6−24 \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} . Esse cálculo já caiu em prova várias vezes, é o exemplo clássico da fórmula da diferença em ação.

Preciso decorar todas as fórmulas dos arcos compostos?

Não, e essa é a graça. Se você entende a fórmula da soma de arcos e de onde ela vem no ciclo trigonométrico, a tangente, o arco duplo e o arco metade saem todos dela como casos particulares. Memorizar fórmula isolada falha na hora da prova; entender a construção, não. A ideia aqui é justamente parar de decorar musiquinha e passar a deduzir.

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Onde as fórmulas da soma de arcos são deduzidas, projeções de seno e cosseno na circunferência de raio 1.

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Onde as fórmulas dos arcos compostos viram ferramenta pra resolver e simplificar equações.

Lei dos Cossenos

Quando o triângulo não é retângulo: a fórmula que estende o cosseno para qualquer triângulo.