O que é um sistema linear (e como resolver de verdade)

O que é um sistema linear?

Um sistema linear é um conjunto de equações de 1º grau com várias incógnitas que precisam valer ao mesmo tempo, e resolver o sistema é achar os números que servem pra todas as equações de uma vez só, não para uma de cada vez.

Olha um caso concreto pra fixar a ideia. Imagina aqui ó, esse sistema, A é um sistema de três equações e três incógnitas, então eu tenho que achar quem que é o meu X, quem que é o meu Y e quem que é o meu Z. Eu tenho três equações envolvendo esses caras, e a resposta é o trio de números que satisfaz as três juntas.

Repara no nome. "Linear" quer dizer que as incógnitas aparecem só na 1ª potência: nada de X², nada de XY, nada de raiz. Cada uma dessas equações é uma reta no plano (ou um plano no espaço, quando são três incógnitas). Guarda isso, porque é o que vai dar sentido a tudo lá na frente.

E o "ao mesmo tempo" é o detalhe que muda o jogo. Não basta um X que resolve a primeira equação; ele tem que resolver a segunda e a terceira também. É essa exigência de valer simultaneamente que transforma um monte de equações soltas num sistema.

Uma, infinitas ou nenhuma solução?

Um sistema tem uma, infinitas ou nenhuma solução conforme a posição das retas que ele representa. Antes de qualquer nome técnico, pensa comigo no desenho.

Cada equação de duas incógnitas é uma reta no plano, e resolver o sistema é achar onde elas se encontram. Aí só existem três cenários possíveis.

As retas se cruzam num ponto só. Esse ponto é o único par (X, Y) que serve nas duas equações, e o sistema tem uma única solução.

As retas são paralelas e nunca se tocam. Não existe ponto comum, então não existe par que sirva nas duas, e o sistema não tem solução nenhuma.

Ou as duas retas são a mesma reta, uma em cima da outra. Aí todo ponto de uma serve na outra, e o sistema tem infinitas soluções.

Com três incógnitas a ideia é igualzinha, só que agora cada equação é um plano no espaço, e você procura onde os planos se cortam. Quando você "vê" as retas, a classificação para de ser decoreba: ela vira a resposta de uma pergunta só, "essas retas se encontram, e em quantos pontos?".

Como classificar: SPD, SPI ou impossível?

Classificar um sistema é só dar nome técnico aos três cenários geométricos que você acabou de enxergar. Cada caso já tem o seu.

Quando o sistema tem uma única solução (as retas se cruzam num ponto), ele é Possível e Determinado, o SPD: possível porque tem solução, determinado porque é uma só.

Quando tem infinitas soluções (retas coincidentes), é Possível e Indeterminado, o SPI: tem solução, mas não dá pra determinar uma única.

E quando não tem solução nenhuma (retas paralelas), é Impossível, o SI.

Método da substituição passo a passo

O método da substituição resolve o sistema isolando uma incógnita numa equação e enfiando o valor dela nas outras, derrubando o sistema pra uma incógnita a menos. É o caminho mais direto quando uma das incógnitas já está quase sozinha.

Num sistema 2×2 a receita é essa:

Com 3×3 é a mesma lógica, só que em cascata: isola uma incógnita, substitui nas outras duas, e o que sobra é um sistema 2×2, ou seja, você cai no caso que já sabe resolver.

Aqui cada passo aparece em KaTeX legível, não naquela imagem borrada que ninguém consegue ler, porque a matemática é pra você estudar, não pra adivinhar. E o segredo não é decorar a ordem dos passos: é entender que substituir é só trocar uma incógnita por algo que vale exatamente o mesmo.

Método da adição passo a passo

O método da adição resolve o sistema somando duas equações de propósito pra uma incógnita se cancelar na hora da soma. E funciona por um motivo simples: somar duas equações verdadeiras dá outra equação verdadeira. Pensa assim: eu vou pegar essa primeira equação do sistema A e vou somar com essa primeira equação do sistema B. Posso fazer isso porque eu vou somar equações algébricas, é um negócio que a gente está familiarizado.

Pega um exemplo. Se uma equação tem $+2Y$ e a outra tem $-2Y$, ao somar as duas o $Y$ some sozinho e sobra uma equação só de $X$. Resolveu o $X$, volta numa das equações originais e acha o $Y$.

E quando os coeficientes não batem? Você multiplica uma equação inteira por um número antes de somar, pra forçar o cancelamento. Multiplicar a equação toda não muda a solução, só deixa ela equivalente, com cara diferente mas mesmo conteúdo.

É o método que escala melhor quando o sistema cresce pra 3×3, e não é à toa: ele é a base do escalonamento, que vem logo a seguir e nada mais é do que a adição feita de forma organizada.

Escalonamento e a forma escada

Escalonar é organizar o método da adição num passo a passo disciplinado, zerando uma coluna de cada vez até o sistema virar uma escada.

A ideia é em cascata: use a primeira equação pra zerar o $X$ de todas as outras; depois use a segunda pra zerar o $Y$ das que estão abaixo dela; e assim por diante, até a última equação sobrar com uma incógnita só. Quando o sistema chega nesse formato escada, você resolve de baixo pra cima, a última te dá uma incógnita direto, e você sobe substituindo até fechar o resto.

E olha por que isso é confiável. Cada operação que você faz no caminho, trocar duas equações de lugar, multiplicar uma por um número, somar uma na outra, gera um sistema equivalente, com exatamente as mesmas soluções do original. Mas tenha em mente que somar matrizes seria simplesmente você somar sistemas lineares, somar equações: não é truque pra acertar a prova, é consequência de você estar mexendo nas próprias equações.

E tem um bônus que poucos te contam: esse é o mesmo motor do método de Gauss que os computadores usam pra resolver sistemas gigantes. Você está fazendo, na mão, o que a máquina faz na marra.

Como montar o sistema do enunciado?

Montar o sistema a partir de um problema escrito é dar nome ao que você não sabe e traduzir cada frase do enunciado em equação. A parte mais difícil de sistema linear quase nunca é a conta, é essa tradução, e é justamente o que ninguém ensina direito.

Pega um problema do dia a dia: comprei 3 bolos e 2 tortas e gastei 70 reais; comprei 1 bolo e 4 tortas e gastei 60 reais, quanto custa cada um?

O pulo do gato é chamar o que você não sabe de letra: o preço do bolo é $X$, o da torta é $Y$. Aí cada frase do enunciado vira uma equação:

Pronto. O enunciado virou sistema, e agora é só aplicar qualquer um dos métodos que você já aprendeu aqui em cima. Quem traduz o problema certo já ganhou a questão; o resto é a conta que você treinou.

Sistemas lineares e matrizes: Ax = b

A ponte que dá nome a esta página é simples: a matriz não é um bicho novo, é o seu sistema linear escrito de forma enxuta.

Olha de onde ela sai. Você pega esses coeficientes, e Isso aqui é simplesmente essa matriz A, ela se torna um jeito mais compacto, mais enxugado de eu representar esse sistema linear aqui. Ou pelo menos os elementos das equações aqui do meu sistema linear. Em vez de ficar escrevendo X, Y e Z toda hora, você organiza os coeficientes num bloco de números, e essa é a matriz de coeficientes A.

Daí o resto se encaixa sozinho. As incógnitas viram uma coluna $x$. Os termos do outro lado da igualdade viram uma coluna $b$. E o sistema inteiro, que ocupava três linhas de escrita, cabe em três letras: $Ax = b$.

Não é decoreba de notação. Você pode simplesmente entender que essa matriz A está representando o lado esquerdo das linhas e equações desse meu sistema linear, ela existe a serviço do sistema, pra você manipular ele de forma organizada e fazer cálculos que resolvem o sistema mais rápido. É por isso, inclusive, que sistema linear aparece como subtema de Matrizes matemática, e não o contrário: a matriz nasceu pra representar sistema.

Regra de Cramer com determinantes

A regra de Cramer resolve o sistema transformando cada incógnita num quociente de dois determinantes. É o que acontece quando você junta sistema com determinante.

A receita é mecânica:

Mas a parte mais poderosa nem é resolver, é classificar de bandeja. Se o $D$ é diferente de zero, o sistema é SPD, tem solução única, e a Cramer entrega ela direto. Se o $D$ é zero, a Cramer trava na divisão por zero, e isso já te avisa que o sistema é SPI ou impossível, aí você volta pro escalonamento só pra desempatar qual dos dois é.

Sistema com parâmetro e método de Gauss

Um sistema com parâmetro é aquele que depende de um valor $k$, e a pergunta deixa de ser "qual é a solução?" pra virar "pra quais valores de $k$ o sistema é SPD, SPI ou impossível?". É o degrau que ITA, IME e provas militares cobram, e que os portais escolares não tratam.

A ferramenta é o determinante que você acabou de ver. Você monta o determinante da matriz de coeficientes em função de $k$ e investiga:

E essa não é uma técnica isolada da prova difícil. É exatamente o método de Gauss que os computadores rodam pra resolver sistemas gigantes em cálculo numérico. O escalonamento que você faz na mão e o Gauss da máquina são a mesma ideia: zerar abaixo da diagonal, coluna por coluna. Quem entende um, entende o outro.

Exercícios de sistemas lineares resolvidos

Aqui a teoria de sistemas lineares vira ponto na prova, com questões de ENEM e vestibular resolvidas passo a passo. Não o gabarito seco, o raciocínio inteiro.

A receita de toda questão é a mesma: primeiro a gente entende o que o enunciado pede, monta o sistema a partir dele, escolhe o método que resolve mais rápido e só então sai a conta, em KaTeX legível.

E os exercícios cobrem os três tipos que caem de verdade:

• 01

  Questão de aplicação

  Preço, quantidade, mistura, pra treinar a montagem do sistema a partir do texto.

• 02

  Questão de classificação

  Pra você decidir na hora se é SPD, SPI ou impossível pelo determinante.

• 03

  Questão com parâmetro

  Do nível dos concursos militares, com discussão por $k$.

Cada uma vem com o porquê de cada passo, porque resolver mecanicamente você já consegue, o que falta, e o que a prova cobra, é entender qual caminho seguir. É o "entender, não decorar" aplicado em questão de verdade: quando você sabe por que escolheu o método, a conta é só o final feliz.

Perguntas frequentes sobre sistemas lineares