A questão mais difícil da FUVEST 2027: a rampa resolvida passo a passo

Qual é a questão mais difícil da FUVEST 2027?

É a questão 51 da 2ª edição do simulado oficial da FUVEST 2027, na prova S1. O enunciado é curto: "Um arquiteto utiliza um triângulo retângulo para calcular a inclinação de uma rampa de acesso. Sabe-se que a medida da mediana relativa à hipotenusa desse triângulo é a média geométrica das medidas dos catetos e que a rampa de acesso será feita pelo maior cateto. Qual é o cosseno do ângulo de inclinação dessa rampa?" Gabarito oficial: letra C, (√6 + √2)/4.

A gente resolveu essa questão em 53 minutos no canal, com dois professores no quadro, e o vídeo passou de 260 mil views em uma semana. Não foi por acaso. Ela junta três coisas que a FUVEST antiga não cobrava juntas: uma propriedade de geometria que pouca escola ensina, uma manipulação algébrica de prova militar e um ângulo notável que não está na tabelinha. Pra ser honesto com você: um de nós admitiu no vídeo que marcaria a alternativa errada no fim.

Se você quer o contexto inteiro, a prova está resolvida questão a questão no artigo de Matemática do simulado, e o que mudou na FUVEST está no artigo sobre a mudança. Aqui o foco é uma questão só, até o fim.

Por que essa questão é tão difícil?

Não é porque a conta é grande. É porque ela tem três degraus, e cada um exige uma bagagem diferente. Quem não tem uma das três não chega na alternativa, mesmo entendendo o enunciado.

No vídeo, a avaliação dos dois foi direta: no ITA, essa questão seria nível 7 ou 8 de 10. E uma questão desse mesmo conteúdo no ITA costuma sair mais fácil do que ela saiu aqui. O que está na reta final da FUVEST como "treinar acima do nível" é exatamente isso.

Por que a mediana relativa à hipotenusa vale metade dela?

Mediana é o segmento que sai de um vértice e vai até o ponto médio do lado oposto. A relativa à hipotenusa sai do ângulo reto. E ela tem uma propriedade que resolve metade da questão: em todo triângulo retângulo, essa mediana vale metade da hipotenusa. Duas provas, as duas curtas.

Pela circunferência. O ângulo inscrito vale metade do arco que ele enxerga. O ângulo reto em C enxerga 180°, então AB é um diâmetro e o triângulo está inscrito numa semicircunferência. O centro é o ponto médio M da hipotenusa, e CM é um raio. Raio é metade do diâmetro: m = c/2.

Pelo retângulo. Complete o triângulo num retângulo. As diagonais de um retângulo são iguais e se cortam ao meio, então o cruzamento dista o mesmo dos quatro vértices. Apague a metade que você desenhou: sobra o triângulo original com a mediana valendo metade da diagonal, que é a hipotenusa. É a mesma coisa, vista de outro ângulo, e mais fácil de enxergar.

Com o dado do enunciado, $m=\sqrt{ab}$, a hipotenusa fica $c=2m=2\sqrt{ab}$. Repara: só até aqui, sem conta nenhuma, a questão já filtrou quem não conhecia a propriedade. É uma das partes mais difíceis, e não é complexa. É bagagem.

Como montar a equação?

Agora existem duas expressões pra hipotenusa: a do enunciado, $c=2m=2\sqrt{ab}$, e a de Pitágoras. Iguale as duas e eleve ao quadrado:

$a^2+b^2=c^2=4ab$

Uma equação, duas incógnitas. Não dá pra achar a nem b. E aqui muita gente trava, porque parece que falta dado. Não falta: a resposta é um número, então ela não pode depender de a e b separados. Só pode depender da razão entre eles.

Antes de mexer na equação, vale olhar o que a questão pede. A rampa é o maior cateto, b, e o ângulo θ de inclinação é o que a hipotenusa faz com ele. Então:

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{b}{c}}={\displaystyle \frac{b}{2\sqrt{ab}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{a}}}$

O cosseno depende só de b/a. É esse número que a gente precisa, e nada mais.

O pulo do gato: dividir tudo por a²

Com $a^2+b^2=c^2=4ab$ em mãos, divida os dois lados por a²:

$1+{\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^2=4{\displaystyle \frac{b}{a}}$

Chame b/a de x e a equação vira uma quadrática comum, $x^2-4x+1=0$. Dá pra resolver por Bhaskara, mas completar o quadrado é mais rápido: some 4 dos dois lados e fatore.

$(x-2{)}^2=3\Rightarrow x=2\pm \sqrt{3}$

Duas raízes, e a questão exige escolher. Como a rampa é feita pelo maior cateto, b/a tem que ser maior que 1. Com √3 ≈ 1,7: 2 − √3 ≈ 0,3 não serve; 2 + √3 ≈ 3,7 serve.

${\displaystyle \frac{b}{a}}=2+\sqrt{3}\approx 3,7$

No vídeo a gente também resolveu tratando b como incógnita e a como constante, com Bhaskara direto em b² − 4ab + a² = 0. Dá o mesmo resultado, b = a(2 ± √3), com o dobro de conta. Pra quem faz prova militar, dividir por a² é manipulação básica. Pra quem só treinou FUVEST no padrão antigo, é aqui que a questão começa a separar.

De onde sai o 2 + √3, e qual é a armadilha

Numa prova aberta, cos θ = ½·√(2 + √3) já seria resposta. Numa prova fechada, esse número não está em alternativa nenhuma. É preciso reconhecer o que ele é. E 2 + √3 é um valor que aparece em toda prova militar: a tangente de 75°.

$\tan 75^{\circ }={\displaystyle \frac{\tan 45^{\circ }+\tan 30^{\circ }}{1-\tan 45^{\circ }\tan 30^{\circ }}}={\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}}=2+\sqrt{3}$

Agora a armadilha, que é o ponto onde mais gente vai errar depois de acertar tudo. A razão b/a é cateto oposto sobre cateto adjacente de um ângulo do triângulo, mas não do ângulo θ da rampa. É do outro ângulo agudo, o que fica entre a hipotenusa e o cateto menor. Esse ângulo é 75°. Logo θ = 90° − 75° = 15°.

Quem enxerga o 75° e marca o cosseno de 75° erra a questão inteira no último passo. No vídeo, um de nós admitiu na hora: "eu ia meter o cosseno de 75". É o tipo de erro que a prova nova pune com força, porque a conta estava certa.

Dois caminhos pro cosseno de 15°

Caminho 1, trigonométrico. Com θ = 15°, use o cosseno da diferença:

$\cos 15^{\circ }=\cos (45^{\circ }-30^{\circ })={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

É a alternativa C. Foi o caminho mais curto no vídeo, e o que a gente recomenda: reconhecer 2 + √3 como tan 75° economiza dez minutos de álgebra.

Caminho 2, desaninhar a raiz. Quem não lembra que 2 + √3 é tan 75° ainda chega lá, escrevendo √(2 + √3) como √m + √n:

$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}\Rightarrow m+n=2,4mn=3$

A parte racional bate com a parte racional e a parte com raiz bate com a parte com raiz. Resolvendo o sistema, m e n são 3/2 e 1/2, em qualquer ordem:

$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}$

Multiplicando pelo ½ que já estava na frente:

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2+\sqrt{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

Os dois caminhos são igualmente difíceis, e nenhum dos dois é conteúdo que a FUVEST antiga cobrava. Desaninhar radical duplo é técnica de AFA pra cima. É por isso que a avaliação no vídeo foi "extremamente deselegante" pra uma prova de FUVEST. Deselegante e legítima: está no simulado oficial.

É mesmo mais difícil que o ITA?

A pergunta que deu título ao vídeo merece resposta honesta, e a resposta tem duas partes.

A prova inteira, não. Ninguém no canal disse que a FUVEST virou ITA. O ITA tem dez questões de Matemática numa fase, três ou quatro mais fáceis, e várias num nível que a FUVEST não chega. O que mudou é que a FUVEST passou a ter algumas questões nesse nível, e essa é uma delas. A avaliação dos dois professores foi que ela está entre as três mais difíceis do simulado, não necessariamente a mais difícil.

Essa questão, sim. No ITA ela valeria nível 7 ou 8 de 10. A parte de geometria cairia tranquilamente no ITA e seria das mais fáceis da prova. O que empurra pra cima é o salto final: converter ½·√(2 + √3) pra forma da alternativa exige um ângulo notável extra ou uma técnica de radical duplo. Uma questão desse mesmo conteúdo, no ITA, costuma sair mais fácil do que essa saiu na FUVEST.

Se você já treina com a questão mais difícil do ITA, vai reconhecer o padrão: o passo decisivo nunca é uma fórmula exótica. É uma ferramenta simples usada com entendimento completo.

Como treinar pra esse nível?

A FUVEST não vai voltar atrás. Foram dois simulados no formato novo, e os dois mostraram Matemática nesse padrão. O que fazer com isso até 1º de novembro cabe em quatro frentes.

• Propriedades de geometria plana com prova. Mediana relativa à hipotenusa, ângulo inscrito, triângulo inscrito na semicircunferência. Não decore: prove uma vez e nunca mais esqueça.
• Ângulos notáveis além da tabelinha. 15°, 22,5° e 75° saem de arcos compostos. Deduza os três uma vez com seno, cosseno e tangente.
• Manipulação de prova militar. Dividir por a² pra virar razão, completar quadrado, desaninhar radical duplo. Uma questão de ITA ou de concurso militar por dia, nesses tópicos.
• Reler o triângulo no fim. Antes de marcar, pergunte de qual ângulo é o cosseno que você calculou. É a diferença entre a C e o erro.

E treine no formato novo: os dois simulados oficiais estão no guia do simulado, e o simulado gratuito do Universo Narrado foi montado exatamente nesse nível, com live de correção questão a questão.

Quais erros mais derrubam nessa questão?

Quatro erros, e três deles acontecem depois de a conta estar certa.

1. 01

   Marcar o cosseno de 75° em vez do de 15°

   b/a = 2 + √3 é a tangente do outro ângulo agudo. O ângulo da rampa é o complementar, 15°. Quem para no 75° entrega a questão no último passo.

   Como evitar: volte ao triângulo e identifique de qual ângulo é a razão que você achou.
2. 02

   Tentar achar a e b separadamente

   Uma equação, duas incógnitas: não tem solução única, e não precisa. O cosseno depende só de b/a.

   Como evitar: divida a equação por a² e trabalhe com x = b/a.
3. 03

   Escolher a raiz errada da quadrática

   2 − √3 também resolve x² − 4x + 1 = 0, mas dá b menor que a, e a rampa é feita pelo maior cateto.

   Como evitar: use o enunciado pra descartar: b/a tem que ser maior que 1.
4. 04

   Travar em ½·√(2 + √3) e chutar

   A conta está certa, mas o número não está nas alternativas. Sem tan 75° ou sem desaninhar a raiz, a questão vira chute.

   Como evitar: aprenda os dois caminhos; o do arco composto é mais curto.

FAQ: a questão mais difícil da FUVEST 2027