Cones no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 62 minutos: o índice

Como o ENEM cobra cones

O professor não cita estatística de recorrência. A aula mostra na prática que a questão modelo mistura vários conceitos de uma vez: cone equilátero, planificação com ângulo do setor, Pitágoras, tronco por semelhança e razão de volumes. Ele diz que quem dominar o que foi visto resolve qualquer questão de cone na prova, e que saber que o cone equilátero pede um setor de 180° economiza muito tempo.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Teorema de Pitágoras
• Área e comprimento da circunferência
• Regra de três e proporcionalidade
• Volume da pirâmide (e tronco de pirâmide, aula anterior)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Volume V = (1/3)πr²h, com eixo, altura e base
• Cone reto: g² = h² + r²
• Cone equilátero: g = 2r e h = r√3
• Planificação: A_b = πr², A_L = πrg e θ = 2πr/g
• Tronco: K, A₁/A₂ = K², V₁/V₂ = K³ e V = πh_T/3·(R² + Rr + r²)
• Questão dos copos: 200 taças, V_copo = 7/8 de 72π√3, V_total = 12600π√3 cm³

O cone como parente do cilindro e da pirâmide e seus elementos

O professor abre dizendo que o cone está para o cilindro assim como a pirâmide está para o prisma. O prisma tem duas bases poligonais, paralelas e congruentes; trocando uma delas por um único ponto, obtém-se a pirâmide. O cilindro tem duas bases circulares; trocando uma delas por um ponto e ligando esse ponto a todos os pontos da outra base, obtém-se o cone. Por isso a base do cone é sempre um círculo, o que simplifica as contas em relação à pirâmide, cuja base pode ser qualquer polígono.

Os elementos são: o vértice, o ponto fora da base; a base, o círculo, com centro e raio $r$; o eixo, segmento que liga o vértice ao centro da base; e a altura $h$, a distância do vértice ao plano da base, medida perpendicularmente. No cone oblíquo (tombado), o eixo não é perpendicular à base e fica maior que a altura. O professor avisa que esse caso importa pouco e que o foco da aula é o cone reto.

O volume segue a mesma lógica da pirâmide: um terço da área da base vezes a altura. Como a base é um círculo de raio $r$, a área é $\pi r^2$ e o volume fica $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$. A fórmula é exatamente a da pirâmide; muda apenas o fato de a base ser sempre circular.

▶ Ver este trecho no vídeo (16:29:00)

Cone reto, geratriz e a relação de Pitágoras

Cone reto é aquele em que o eixo forma 90° com a base. Nesse caso o eixo coincide com a altura: os dois têm o mesmo comprimento. O professor lembra que a regra vale para o cone reto, não para o oblíquo.

Surge então um novo segmento, a geratriz $g$: o segmento que liga o vértice a qualquer ponto da borda da base. O nome vem de que, girando esse segmento em torno do eixo, gera-se a superfície lateral do cone. No cone reto, todas as geratrizes têm o mesmo comprimento, qualquer que seja o ponto da borda escolhido.

Como a altura, o raio da base e a geratriz formam um triângulo retângulo, vale Pitágoras: $g^2=h^2+r^2$. Isso vale para qualquer cone reto e não vale para o oblíquo, no qual cada segmento do vértice à base tem um comprimento diferente. Na prática, conhecendo duas das três medidas ($g$, $h$, $r$) obtém-se a terceira de graça: com raio e altura acha-se a geratriz; com geratriz e altura acha-se o raio, e assim por diante.

▶ Ver este trecho no vídeo (16:33:00)

Cone equilátero e seção meridiana

O professor propõe imaginar um corte no cone reto por um plano que contenha o eixo, como um golpe de cutelo passando pelo meio. A figura que aparece na face do corte é a seção meridiana. Em qualquer cone reto, ela é um triângulo isósceles de lados $g$, $g$ e base $2r$. Em um cone oblíquo o triângulo deixa de ser isósceles.

Cone equilátero é o cone reto cuja seção meridiana é um triângulo equilátero. Se o triângulo é equilátero, seus três lados são iguais: a geratriz é igual à base do triângulo, que é o diâmetro. Logo, o cone equilátero é aquele em que $g=2r$.

A altura sai de Pitágoras: $(2r{)}^2=h^2+r^2$, então $h^2=4r^2-r^2=3r^2$ e $h=r\sqrt{3}$. O professor lembra que também seria possível usar a altura do triângulo equilátero ou trigonometria, mas Pitágoras basta. O resultado prático é que, no cone equilátero, uma única informação (raio, altura ou geratriz) determina as outras duas, porque tudo está interligado pelo triângulo equilátero.

▶ Ver este trecho no vídeo (16:37:00)

Planificação: a base e o setor circular da lateral

O professor classifica esta como a parte mais importante e a única que costuma gerar dificuldade. Planificar um prisma dá retângulos e duas bases; a pirâmide dá triângulos e uma base; o cilindro dá dois círculos e um retângulo, como abrir uma lata de Pringles. O cone dá duas peças: um círculo de raio $r$ (a base) e a superfície lateral.

A lateral é um setor circular. Para enxergar isso, imagina-se o cone como uma casquinha de sorvete e uma faca passando do vértice até a borda: a distância do vértice a qualquer ponto da borda é sempre $g$. Um ponto ligado a vários outros a mesma distância forma um arco de circunferência, então a lateral planificada é um setor cujo raio é a geratriz $g$. O professor insiste em não confundir: o raio da base do cone é $r$, mas o raio do setor é $g$. Essa planificação só vale para o cone reto.

O ângulo de abertura $\theta$ do setor depende do formato do cone: cone alto e magrinho dá abertura pequena; cone baixo e gordinho dá abertura maior. A área da base é simplesmente $A_b=\pi r^2$. Falta a área lateral, que o professor deduz a seguir.

▶ Ver este trecho no vídeo (16:43:00)

Ângulo do setor e área lateral: θ = 2πr/g e A_L = πrg

A ideia central da dedução é lógica, não algébrica. O arco do setor (a borda curva) é exatamente a circunferência da base do cone, que foi cortada e aberta. Portanto, o comprimento desse arco é $2\pi r$, com $r$ o raio da base.

Pelo comprimento de arco, arco = raio vezes ângulo, e o raio do setor é $g$. Então $2\pi r=\theta g$, com $\theta$ em radianos. O professor recomenda guardar essa fórmula, mas mostra também o caminho por regra de três com ângulo e comprimento: se fosse a circunferência inteira de raio $g$, o ângulo seria $2\pi$ e o comprimento seria $2\pi g$; para o ângulo $\theta$, o comprimento é $2\pi r$. Montando ${\displaystyle \frac{2\pi }{\theta }}={\displaystyle \frac{2\pi g}{2\pi r}}$ e multiplicando cruzado, chega-se a $\theta g=2\pi r$.

Isolando o ângulo: $\theta ={\displaystyle \frac{2\pi r}{g}}$. O professor adianta que esse ângulo, que parece só um detalhe, será usado no final da aula, na questão modelo.

Para a área lateral o professor faz outra regra de três, agora com ângulo e área. Se fosse o círculo completo de raio $g$, o ângulo seria $2\pi$ e a área seria $\pi g^2$. Para o setor de ângulo $\theta$, a área é $A_L$. Então ${\displaystyle \frac{2\pi }{\theta }}={\displaystyle \frac{\pi g^2}{A_L}}$. As grandezas são diretamente proporcionais, e multiplicar cruzado dá $2\pi A_L=\pi \theta g^2$, ou seja, $2A_L=\theta g^2$.

Substituindo $\theta ={\displaystyle \frac{2\pi r}{g}}$, tem-se $2A_L={\displaystyle \frac{2\pi r}{g}}\cdot g^2$. O 2 cancela com o 2 e um $g$ cancela com um $g$, sobrando $A_L=\pi rg$.

O professor resume: área da base $=\pi \cdot r\cdot r$; área lateral $=\pi \cdot r\cdot g$. A área total é a soma das duas. Ele diz que a fórmula final precisa ser memorizada, porque deduzi-la na prova dá trabalho, mas que vale entender a dedução, sobretudo a relação entre o arco e o perímetro da base.

▶ Ver este trecho no vídeo (16:47:00)

Tronco de cone, cones semelhantes e as razões K, K² e K³

O estudo do tronco de cone é análogo ao do tronco de pirâmide. Corta-se o cone original por um plano paralelo à base (se for inclinado, não é tronco). Surgem dois sólidos: o cone pequeno, em cima, e o tronco de cone, embaixo. As contas diretas com o tronco quase nunca são feitas; trabalha-se com a razão entre o cone pequeno e o cone grande, porque os dois são semelhantes: um é o outro ampliado, na mesma proporção.

No exemplo do professor, a altura do cone pequeno é 2 e a do grande é 6. A razão de semelhança indo do pequeno para o grande é $K=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Isso vale para qualquer medida linear correspondente: geratriz, altura, raio da base. Assim, ${\displaystyle \frac{g}{G}}={\displaystyle \frac{h}{H}}={\displaystyle \frac{r}{R}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, e o raio da base maior é $R=3r$.

Para áreas, a razão é $K^2$. Com $A_1=\pi r^2$ e $A_2=\pi R^2$, tem-se ${\displaystyle \frac{A_1}{A_2}}={\left({\displaystyle \frac{r}{R}}\right)}^2=K^2$. Com $K=\frac{1}{3}$, $A_2=9A_1$. Isso vale para qualquer área: base, lateral, total.

Para volumes, a razão é $K^3$: em ${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}h}{\frac{1}{3}\pi R^{2}H}}$ o $\frac{1}{3}$ e o $\pi$ cancelam, sobrando $\frac{r}{R}\cdot \frac{r}{R}\cdot \frac{h}{H}=K^3$. Com $K=\frac{1}{3}$, $V_2=27V_1$. Resumo: comprimentos $K$, áreas $K^2$, volumes $K^3$.

▶ Ver este trecho no vídeo (16:57:00)

Volume do tronco: V₂ − V₁ ou a fórmula direta

O volume do tronco é a diferença entre o cone grande e o cone pequeno: $V_T=V_2-V_1$. Como já se sabe calcular cada um, sempre é possível chegar ao tronco assim, calculando a razão de semelhança quando necessário.

Existe também uma fórmula direta, idêntica à do tronco de pirâmide: $V_T={\displaystyle \frac{\pi h_T}{3}}(R^2+Rr+r^2)$, em que $h_T$ é a altura do tronco, $R$ o raio da base maior e $r$ o da menor. O professor mostra que ela vem da fórmula da pirâmide ${\displaystyle \frac{h_T}{3}}(A_G+\sqrt{A_G{A}_P}+A_P)$: com $A_G=\pi R^2$ e $A_P=\pi r^2$, a raiz do produto vira $\pi Rr$, e colocando $\pi$ em evidência chega-se à fórmula do cone. No cone ela fica mais bonita, porque a raiz desaparece.

Ele deixa claro que não é obrigatório decorá-la: calcular o cone grande, o cone pequeno e subtrair é sempre uma opção válida, a partir de um cone calcula-se o outro pela razão de proporção.

▶ Ver este trecho no vídeo (17:08:00)

Questão modelo: copos de papelão em tronco de cone

A questão fala de um fabricante que faria taças em formato de cone equilátero, feitas de chapas circulares de papelão de 12 cm de raio, sem perda de material. Os planos mudam: o dono da festa quer copos em tronco de cone, então as taças são cortadas à metade da altura e a base menor é tampada. Com 100 chapas, pede-se o volume total de líquido em cm³.

Passo 1: quantas taças por chapa? Cada taça é a lateral de um cone, um setor circular de raio $g=12$. Para o cone equilátero, $g=2r$. Usando $\theta g=2\pi r$ e trocando $g$ por $2r$, tem-se $\theta \cdot 2r=2\pi r$, logo $\theta =\pi$, isto é, 180°. Uma chapa dá dois setores de 180°, ou seja, duas taças; 100 chapas dão 200 taças. O professor destaca que saber que o cone equilátero exige um setor de 180° economiza muito tempo.

Passo 2: volume de cada taça. Como $g=12=2r$, $r=6$. A altura, por Pitágoras, vem de $144=36+h^2$, então $h^2=108=36\cdot 3$ e $h=6\sqrt{3}$. O volume é $V=\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2\cdot 6\sqrt{3}=72\pi \sqrt{3}$.

Passo 3: o copo. Cortando à metade da altura, a taça pequena que sai tem razão de semelhança $K=\frac{1}{2}$ e razão de volumes $K^3=\frac{1}{8}$. Raciocinando por partes: a taça inteira tem 8 partes, a ponta descartada tem 1, o copo tem 7. Logo $V_{copo}=\frac{7}{8}\cdot 72\pi \sqrt{3}=63\pi \sqrt{3}$ cm³.

Passo 4: total. $200\cdot 63\pi \sqrt{3}=12600\pi \sqrt{3}$ cm³. O professor fecha dizendo que quem souber o que foi visto resolve qualquer questão de cone.

▶ Ver este trecho no vídeo (17:12:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: pitagoras volume do cilindro proporcao

As 2 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em cones

1. 01

   Confundir o raio da base do cone com o raio do setor

   Confundir o raio da base do cone com o raio do setor da planificação, que é a geratriz.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Usar $g^2 = h^2 + r^2$ em cone oblíquo, onde não vale

   Usar $g^2=h^2+r^2$ em cone oblíquo, onde não vale.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Esquecer que a planificação do setor só vale para cone reto

   Esquecer que a planificação do setor só vale para cone reto.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Aplicar a razão K diretamente a áreas e volumes, em vez

   Aplicar a razão K diretamente a áreas e volumes, em vez de K² e K³.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Achar que cortar à metade da altura tira metade do volume;

   Achar que cortar à metade da altura tira metade do volume; sai apenas 1/8.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Usar θ em graus na fórmula arco = raio × ângulo; precisa

   Usar θ em graus na fórmula arco = raio × ângulo; precisa estar em radianos.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Cones no ENEM