Prismas no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 48 minutos: o índice

Como o ENEM cobra prismas

O professor diz que o problema do recipiente inclinado é um tipo de exercício bem comum de aparecer no ENEM e, para o nível da prova, o considera difícil, embora não absurdo. A aula mostra que o tema cobra visualização tridimensional, volume como área da base vezes altura e Pitágoras no espaço. A dica central é reduzir o problema a duas dimensões.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Teorema de Pitágoras
• Área de triângulos, quadrados e retângulos
• Hexágono regular (seis triângulos equiláteros)
• Tangente no triângulo retângulo

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Prisma reto e oblíquo, seção transversal e altura h; V = A_b · h
• Área lateral A_L e área total A_T = A_L + 2A_b
• Paralelepípedo reto-retângulo: V = a·b·c e D = √(a²+b²+c²)
• Cubo: V = a³ e D = a√3
• Prisma hexagonal regular de volume 12√3: a = 2 e maior diagonal 2√5
• Questão do recipiente inclinado: h = 4a, tg θ = 1, θ = 45°

Prisma: bases, reto e oblíquo, altura e seção transversal

Um prisma é um sólido com duas faces paralelas e congruentes, chamadas bases, e todas as outras faces são paralelogramos. O professor propõe visualizar assim: imagine dois planos paralelos, um em cima do outro, e em cada um coloque a mesma figura, por exemplo um pentágono, sem rotacioná-la. Depois, ligue os vértices correspondentes das duas figuras. As faces que surgem nessa ligação são paralelogramos.

O que diferencia o prisma reto do oblíquo é o ângulo entre as arestas laterais e o plano da base. No prisma reto, as arestas laterais formam 90° com a base, e as faces laterais são retângulos. No prisma oblíquo, as arestas laterais formam com a base um ângulo diferente de 90°, chamado por ele de alfa, e o sólido parece tombado.

Essas duas definições sustentam todo o resto da aula: a existência de duas bases iguais e paralelas e de faces laterais em forma de paralelogramo. A figura da base pode ser qualquer polígono, e é ela que dá o nome ao prisma, como se verá a seguir. O professor avisa que tudo o que se disser sobre prismas em geral vale para os casos particulares que ele estuda no restante da aula.

A altura de um prisma é a distância entre os planos das duas bases. O professor alerta que muita gente confunde: não é a aresta lateral de um prisma oblíquo, e sim o segmento perpendicular que desce de um plano até o outro. Para medi-la, basta descer uma vertical de um ponto do plano de cima até o plano de baixo. No prisma reto, a aresta lateral e a altura coincidem; no oblíquo, não.

A seção transversal é a interseção do prisma com um plano paralelo à base, isto é, um corte. A propriedade importante é que toda seção transversal tem exatamente o mesmo formato (e tamanho) da base, não importa a altura do corte nem se o prisma é reto ou oblíquo.

A classificação pelo nome é direta: observa-se a base. Com base pentagonal, o prisma é pentagonal; com base hexagonal, hexagonal; e assim por diante, octogonal, decagonal etc. O professor resume que esse é o estudo básico e elementar do prisma, e que a parte mais importante, a seguir, é calcular o volume.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:48:00)

Volume, área lateral e área total

O volume de qualquer prisma é a área da base vezes a altura, sempre: $V=A_b\cdot h$. A área da base depende do polígono: se for quadrado, usa-se a área do quadrado; se for triângulo, a do triângulo; se for pentágono, a do pentágono. A altura é a distância entre as bases.

Além da área da base, há a área lateral, que é a soma das áreas de todas as faces laterais. Num prisma pentagonal, por exemplo, são cinco faces. Num prisma oblíquo o cálculo seria um pouco mais complicado, porque cada face lateral teria área diferente, mas o professor diz que não é preciso sofrer com isso.

A área total é a soma da área lateral com as áreas das duas bases: $A_T=A_L+2A_b$. Como o prisma tem duas bases iguais, entra duas vezes a área da base. O professor encerra aqui o que chama de estudo elementar, e avisa que tudo o que será dito depois parte dessas ideias.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:55:00)

Paralelepípedo reto-retângulo: volume e diagonal

O professor define paralelepípedo como um prisma em que todas as faces são paralelogramos, e observa que até livros erram isso. Um prisma com base pentagonal, por exemplo, não é um paralelepípedo, pois a base não é um paralelogramo. O paralelepípedo reto-retângulo, a famosa caixinha de sapato, tem todas as faces retângulos.

A peculiaridade desse prisma é que qualquer par de faces opostas pode ser considerado a base. São três tipos de retângulo (frente e trás, direita e esquerda, cima e baixo), e as três arestas são chamadas de $a$, $b$ e $c$. Se a base for a de baixo, a área é $a\cdot b$ e a altura é $c$; se a base for outra face, a área e a altura mudam, mas o produto continua o mesmo. Em qualquer escolha, $V=a\cdot b\cdot c$.

O outro cálculo comum é a diagonal do sólido, que liga dois vértices opostos. As quatro diagonais passam pelo centro e têm o mesmo comprimento. Para calculá-la, usa-se Pitágoras duas vezes. No chão, a diagonal da base, que o professor chama de $d$ ("dezinho"), vale $d^2=a^2+b^2$. Depois, o triângulo formado por $d$, pela aresta vertical $c$ e pela diagonal $D$ é retângulo, e $D^2=d^2+c^2$. Juntando: $D^2=a^2+b^2+c^2$, e $D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

O professor lembra que o triângulo do chão é retângulo porque as arestas formam 90° com a base. Com as três arestas conhecidas, a diagonal sai sem dificuldade.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:56:00)

O cubo como caso particular

O professor explica a hierarquia: o paralelepípedo é um caso particular de prisma, e o cubo é um caso particular do paralelepípedo, o que ele chama de caso particular do caso particular. As faces do cubo são quadrados, que são mais do que retângulos.

Como as três arestas são iguais, troca-se $a$, $b$ e $c$ por $a$, $a$ e $a$. O volume, que era $a\cdot b\cdot c$, passa a ser $V=a\cdot a\cdot a=a^3$.

A diagonal segue a mesma ideia. Na fórmula $D^2=a^2+b^2+c^2$ substitui-se tudo por $a$, e fica $D^2=3a^2$. Extraindo a raiz, o $a$ sai e o $3$ fica dentro: $D=a\sqrt{3}$.

O cubo continua sendo um paralelepípedo, então todas as relações anteriores continuam valendo. A vantagem é que há uma única variável, a aresta, e tudo se escreve em termos dela. Em resumo, para o cubo basta lembrar que $V=a^3$ e $D=a\sqrt{3}$, e que qualquer problema de cubo se resolve em função da aresta.

▶ Ver este trecho no vídeo (15:03:00)

Prisma hexagonal regular: o que significa 'regular' e a diagonal maior

O problema proposto é: um prisma hexagonal regular com todas as arestas iguais tem volume $12\sqrt{3}$. Quanto mede a maior diagonal? Antes de resolver, o professor define prisma regular: é um prisma reto cuja base é um polígono regular. Num prisma triangular regular, a base é um triângulo equilátero; num de base quadrada, o quadrado; aqui, o hexágono regular. A informação extra é que todas as arestas, tanto as da base quanto as laterais, valem o mesmo comprimento, que ele chama de $a$. Assim a altura também é $a$.

A diagonal maior liga um vértice ao vértice oposto, do lado de lá e embaixo. Ela não obedece à fórmula do paralelepípedo, que só vale para paralelepípedos. É preciso construir um triângulo retângulo auxiliar: um cateto é a aresta vertical $a$ e o outro é a diagonal maior do hexágono da base.

O professor lembra que o hexágono regular é formado por seis triângulos equiláteros de lado $a$, e por isso sua diagonal maior vale $2a$. Aplicando Pitágoras: $D^2=a^2+(2a{)}^2=5a^2$, logo $D=a\sqrt{5}$. Falta achar o valor de $a$, e isso vem do volume.

▶ Ver este trecho no vídeo (15:05:00)

Prisma hexagonal regular: diagonal maior e aresta pelo volume

Para achar $a$ usa-se o dado do volume, $V=A_b\cdot h$. A base é o hexágono formado por seis triângulos equiláteros, então $A_b=6\cdot {\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}}$. O professor recorda que a área do triângulo equilátero de lado $a$ é ${\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$ e que, se alguém esquecer, é possível demonstrá-la na hora: base $a$, altura ${\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$ por Pitágoras, e área igual a base vezes altura sobre dois. Ele avisa que isso será detalhado na geometria plana.

Como a altura do prisma também vale $a$, o volume é ${\displaystyle \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}}\cdot a={\displaystyle \frac{3a^3\sqrt{3}}{2}}$. Igualando a $12\sqrt{3}$, o $\sqrt{3}$ se cancela, o $12$ dividido por $3$ dá $4$, e passando o $2$ para o outro lado: $8=a^3$, ou seja, $a=2$.

Substituindo em $D=a\sqrt{5}$, resulta $D=2\sqrt{5}$. O professor recomenda resolver de forma literal, isto é, deixar tudo em função de $a$ e só substituir no final. Com um valor como $a=15$ teria de calcular $15^2$ e $30^2$, somar e extrair a raiz, enquanto na forma literal basta escrever $15\sqrt{5}$. Ele comenta que o problema é completo: reúne volume, área, diagonal e visualização em 3D.

O enunciado fala de um recipiente em forma de paralelepípedo reto de base quadrada, sem tampa, completamente cheio de água. A razão entre a diagonal do recipiente e a diagonal da base é 3. Inclina-se o recipiente lentamente, com uma das arestas da base apoiada na superfície, até que 1/8 da água seja derramada, e pergunta-se qual foi o ângulo de inclinação. O professor acha o problema difícil para o nível ENEM e recomenda a primeira dica: pensar em duas dimensões, usando a face da frente, que tomba em torno da aresta apoiada no chão. A superfície da água fica paralela ao chão, pois a gravidade não muda.

Primeiro, as proporções. Seja $x$ a aresta da base quadrada. Sua diagonal vale $x\sqrt{2}$, e a diagonal do sólido vale o triplo: $3x\sqrt{2}$. A única medida que falta é a altura $h$, e ela sai de Pitágoras no triângulo retângulo formado por $h$, pela diagonal da base e pela diagonal do sólido: $(3x\sqrt{2}{)}^2=h^2+(x\sqrt{2}{)}^2$.

Desenvolvendo: $18x^2=h^2+2x^2$, logo $h^2=16x^2$ e $h=4x$. A altura é quatro vezes a aresta da base.

▶ Ver este trecho no vídeo (15:13:00)

A parte vazia é um prisma triangular com 1/8 do volume

Com as proporções conhecidas, a base mede $x$ e a altura $4x$. O professor chama a atenção para o fato de que a parte que fica vazia no recipiente inclinado é, ela mesma, um prisma, de base triangular. Os triângulos da frente e de trás são iguais e paralelos. A altura desse prisma triangular é a distância entre essas duas faces, que continua sendo $x$, a mesma do prisma grande.

Como o volume é área da base vezes altura e a altura não mudou, o fato de o volume ter caído a 1/8 significa que a área do triângulo é 1/8 da área do retângulo da frente. O problema tridimensional se reduz a um bidimensional, muito mais fácil.

O professor mostra um jeito visual de enxergar a consequência. Completando uma paralela, o triângulo (1/8) com o seu simétrico forma 1/4 da área do retângulo, e repetindo a construção para baixo o retângulo se divide em oito oitavos. Assim, o lado vertical do triângulo, que fica sobre a aresta de altura $4x$, vale 1/4 de $4x$, isto é, $x$. O outro cateto, na parte de cima, também vale $x$.

Como o triângulo tem dois catetos iguais, é retângulo isósceles, e os dois ângulos da base são iguais e somam 90°, portanto cada um vale 45°. O ângulo de inclinação do recipiente é o mesmo que o desse triângulo, porque o nível da água continua paralelo ao chão. O professor destaca que praticamente não precisou fazer contas, só visualização.

▶ Ver este trecho no vídeo (15:24:00)

A conferência literal: o outro cateto vale x e tg θ = 1

Para quem não enxergar o atalho, o professor mostra o caminho literal. Chama de $y$ o cateto horizontal do triângulo vazio, ainda desconhecido, e $x$ o cateto vertical (a altura do prisma triangular é $x$, a distância entre as faces). O volume do prisma triangular é a área da base, ${\displaystyle \frac{x\cdot y}{2}}$, vezes a altura $x$.

Esse volume é 1/8 do volume total. O prisma grande tem base $x^2$ e altura $4x$, logo volume $4x^3$. Escreve-se ${\displaystyle \frac{x\cdot y}{2}}\cdot x={\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot 4x^3$. Simplificando os $x$, o $4$ com o $8$, obtém-se ${\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{x}{2}}$, ou seja, $y=x$. O resultado é o mesmo do raciocínio visual.

Com $y=x$, usa-se a trigonometria: a tangente do ângulo $\theta$ é cateto oposto sobre cateto adjacente, ${\displaystyle \frac{x}{x}}=1$. O único ângulo agudo de tangente $1$ é $45^{\circ }$. A resposta é 45°.

O professor termina dizendo que há dois jeitos de resolver: o mais visual, que explora as proporções em 3D, ou o literal, que aplica o 1/8 e calcula $x$ e $y$. Ele recomenda treinar a visualização e fazer exercícios, e anuncia que a próxima aula é sobre pirâmides.

▶ Ver este trecho no vídeo (15:31:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: pitagoras volume do cilindro

As 3 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 03 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em prismas

1. 01

   Confundir altura do prisma com a aresta lateral de um prisma

   Confundir altura do prisma com a aresta lateral de um prisma oblíquo; a altura é a distância entre os planos das bases.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Chamar de paralelepípedo qualquer prisma de faces laterais

   Chamar de paralelepípedo qualquer prisma de faces laterais paralelogramas; a base também precisa ser paralelogramo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Aplicar a fórmula $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ a prismas que não são

   Aplicar a fórmula $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ a prismas que não são paralelepípedos (como o hexagonal).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Esquecer de somar duas vezes a área da base na área total

   Esquecer de somar duas vezes a área da base na área total.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Esquecer a definição de prisma regular

   Esquecer a definição de prisma regular: reto e com polígono regular na base.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Substituir os números cedo demais e se perder em contas;

   Substituir os números cedo demais e se perder em contas; o professor recomenda resolver de forma literal.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Prismas no ENEM