Pirâmides no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 52 minutos: o índice

Como o ENEM cobra pirâmides

O professor afirma que pirâmides ocupam lugar de destaque em geometria espacial no ENEM e que o tronco de pirâmide é o subassunto que mais aparece. Segundo ele, a parte mais importante é a razão de semelhança entre a pirâmide grande e a pequena, que resolve muita questão sem a fórmula do tronco. Ele garante que, tendo visto pirâmide genérica, regular, tetraedro tri-retângulo, inscrição de sólidos e tronco, nada sobre pirâmides deve surpreender na prova.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Teorema de Pitágoras e o triângulo 3-4-5
• Diagonal do quadrado (l√2) e área do triângulo equilátero (l²√3/4)
• Semelhança de triângulos e razão de semelhança
• Área de polígonos (base) e volume do prisma

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Fórmula-chave: V = 1/3 · Ab · h, com AT = Ab + AL
• Pirâmide regular (altura 8, aresta da base 12): V = 384, aresta lateral 2√34, área lateral 240, com apótema da pirâmide (10) e da base (6)
• Tetraedro tri-retângulo com arestas 6: V = 36, distância de V à base ABC = 2√3
• Tronco de pirâmide: K = 1/3, área da base maior 108, volumes 8, 216 e 208 e VT = hT/3·(AG + √(AG·AP) + AP)
• Questão inédita: raio da esfera inscrita na pirâmide de base 12 e altura 8 (resposta 3, alternativa b)

O que é uma pirâmide, altura, áreas e volume

Uma pirâmide é um sólido com uma base poligonal, que pode ser triângulo, quadrilátero, pentágono, hexágono ou qualquer polígono, e um ponto fora do plano da base. Ligando esse ponto, chamado vértice da pirâmide, a todos os vértices da base, obtém-se o sólido. Quando se fala em "o vértice da pirâmide", a convenção é se referir a esse ponto fora da base.

A altura é a distância do vértice até o plano da base, medida em ângulo reto. Um segmento inclinado do vértice a algum ponto da base não é altura: só vale a perpendicular, formando 90°.

A área da base depende do polígono: se for pentágono, calcula-se a área do pentágono; se for hexágono, a do hexágono. A área lateral é a soma das áreas dos triângulos que formam as faces. Nas pirâmides regulares isso é simples; numa pirâmide com triângulos todos diferentes dá mais trabalho, mas não chega a ser um problema grave.

A área total é a área da base mais a área lateral. Diferentemente do prisma, que tem duas bases, a pirâmide tem só uma.

O volume é o ponto mais importante: a pirâmide está para o prisma assim como o cone está para o cilindro. O volume é o do prisma dividido por três, escrito como $V=\frac{1}{3}{A}_{b}h$. A área da base muda conforme o polígono, e a altura é a distância do vértice ao plano da base.

▶ Ver este trecho no vídeo (15:37:00)

Pirâmide regular: reconhecimento, volume e aresta lateral

A pirâmide regular é a mais importante. Para ser regular, ela precisa de duas coisas. Primeiro, a base deve ser um polígono regular, de lados e ângulos iguais: triângulo equilátero, quadrado, pentágono regular e assim por diante.

Isso não basta. Com a mesma base quadrada, se o vértice for colocado fora do centro, a base continua um quadrado, mas a pirâmide deixa de ser regular. O vértice precisa estar centralizado.

Há dois modos de enxergar isso. O mais prático é exigir que todas as arestas laterais sejam iguais. O outro é dizer que a projeção do vértice sobre a base cai no centro do polígono, que, sendo regular, sempre tem centro (o da circunferência inscrita).

No exemplo, a pirâmide regular tem altura 8 e aresta da base 12. A base é quadrada, por simplicidade; o professor diz que em geral aparecem bases quadradas ou triangulares, às vezes hexagonais. Pede-se o volume, a aresta lateral e a área lateral.

O volume sai direto: $V=\frac{1}{3}\cdot 12^2\cdot 8=4\cdot 12\cdot 8$, o que dá $384$ (em metros cúbicos, se tudo estiver em metros).

A aresta lateral é o segmento do vértice a um vértice da base. Há dois caminhos para calculá-la. No primeiro, liga-se o centro da base a esse vértice da base, formando um triângulo retângulo com a altura $8$ como um dos catetos.

O outro cateto é a metade da diagonal do quadrado. Como a diagonal vale $l\sqrt{2}=12\sqrt{2}$, a metade é $6\sqrt{2}$. Por Pitágoras, $a^2=(6\sqrt{2}{)}^2+8^2=72+64=136$.

Fatorando, $136=2^2\cdot 34$, então o fator $2$ sai da raiz e $a=2\sqrt{34}$. O professor brinca que o número é feio, mas ninguém precisa simplificá-lo mais, e avisa que há um segundo caminho para conferir a conta, que será feito depois da área lateral.

O ponto central desta etapa é o hábito de baixar a altura, que cai no centro da base, e de ligar o centro da base ao vértice da base: são pontos de simetria que produzem triângulos retângulos conhecidos.

▶ Ver este trecho no vídeo (15:40:00)

Apótema da pirâmide, apótema da base e área lateral

Para a área lateral é preciso a altura de cada face triangular, e não se deve confundi-la com a altura da pirâmide. Isolando uma face $VAB$, traça-se a altura $VM$ até o ponto médio $M$ da aresta $AB$ da base. Esse segmento $VM$ chama-se apótema da pirâmide: é a distância do vértice ao ponto médio da aresta da base. Só existe em pirâmides regulares; em outras, cada altura de face teria comprimento diferente e nem se usa o nome.

Para calcular $VM$, fecha-se o triângulo $VOM$, com $O$ o centro da base. O segmento $OM$ é o apótema da base e vale metade da aresta da base, ou seja, $6$. A altura $VO$ vale $8$. O triângulo de catetos $6$ e $8$ é o 3-4-5 multiplicado por $2$, logo $VM=10$.

Cada face tem área $\frac{12\cdot 10}{2}=60$. Como são quatro faces, a área lateral é $4\cdot 60=240$.

A conferência da aresta lateral vem do triângulo formado por $VM$ e metade da aresta da base, $AM=6$: $a^2=10^2+6^2=136$, o mesmo resultado do outro caminho. As dicas finais: baixe sempre a altura e ligue o centro da base ao vértice da base e ao ponto médio do lado.

▶ Ver este trecho no vídeo (15:48:00)

Tetraedro tri-retângulo e seu volume

Tetraedro tem quatro faces, e tri-retângulo significa três ângulos retos juntos num mesmo vértice, como o canto de uma parede ao lado do chão. O professor usa um cubo só como referência: escolhe um canto, liga-o aos três vértices vizinhos e fecha o sólido ligando esses três vértices entre si. O cubo some, e sobra a pirâmide $VABC$, com $VA$, $VB$ e $VC$ perpendiculares entre si e iguais, todos valendo $6$.

Para o volume, qualquer face pode ser base. Escolhendo o triângulo retângulo $VAB$ como base, a altura é a aresta que sai do outro vértice, também igual a $6$. Assim $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{6\cdot 6}{2}\cdot 6=36$.

A pergunta mais interessante é outra: qual a distância do vértice $V$ até a face $ABC$? Visualizar isso em três dimensões é difícil, então ele "tomba" a pirâmide para apoiar a face $ABC$ no chão. A distância pedida passa a ser a altura relativa à base $ABC$.

O professor ressalta que escolher a base é livre: a resposta correta é "porque eu quis". O tetraedro tri-retângulo é um pouco menos importante que a pirâmide regular, mas é difícil ter essa visão sozinho, por isso ele o inclui.

▶ Ver este trecho no vídeo (15:54:00)

Distância do vértice à face ABC: o volume não muda

Como a pirâmide só foi girada, o volume continua $36$ e vale $\frac{1}{3}\cdot A_{ABC}\cdot h$. Se for possível calcular a área do triângulo $ABC$, a altura vem automaticamente.

Com o cubo de referência, vê-se que as arestas $AB$, $BC$ e $AC$ são diagonais de faces quadradas de lado $6$, logo valem $6\sqrt{2}$ cada. O triângulo $ABC$ é equilátero de lado $6\sqrt{2}$. A área do triângulo equilátero é $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$, que o professor diz ser obrigatório saber (ou deduzir na hora baixando a altura): $A_{ABC}=\frac{(6\sqrt{2}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{72\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}$.

Montando a equação: $36=\frac{1}{3}\cdot \frac{(6\sqrt{2}{)}^2\sqrt{3}}{4}\cdot h$. Simplificando, $h=\frac{6}{\sqrt{3}}$ e, racionalizando, $h=2\sqrt{3}$.

O professor chama a atenção para a técnica: quando a distância é difícil de ver na figura, calcula-se o volume por outra base e iguala-se à fórmula com a base pedida. Quem acompanhou essa questão, diz ele, está bem treinado, porque não é fácil visualizá-la.

▶ Ver este trecho no vídeo (16:03:00)

Tronco de pirâmide e razão de semelhança

O tronco de pirâmide é o que sobra ao cortar uma pirâmide por um plano paralelo à base e retirar a pirâmide pequena de cima. O professor diz que o estudo de troncos de pirâmide e de cone é totalmente análogo e que a coisa a buscar é a razão de semelhança. Atenção: tronco e pirâmide não são semelhantes; semelhantes são a pirâmide grande e a pequena.

A razão $K$ é linear, entre dois segmentos correspondentes. Indo da pequena para a grande, com $K=\frac{1}{3}$ (por exemplo, altura $2$ e altura total $6$), todo segmento da grande é o triplo do correspondente na pequena: aresta da base, altura, aresta lateral. Se a aresta da base menor é $3$, a maior é $9$.

Para áreas, a razão é elevada ao quadrado. Se a base menor tem área $12$, a maior tem $12\cdot 3^2=108$. Quem tenta usar $\frac{12}{A_G}=\frac{1}{3}$ erra, porque área é medida em unidades ao quadrado. Não é preciso dividir a base em triângulos nem saber se ela é regular.

Para volumes, a razão é ao cubo. O volume da pirâmide pequena é $\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 2=8$; o da grande é $\frac{1}{3}\cdot 108\cdot 6=216$, o mesmo que $8\cdot 3^3=8\cdot 27$. O volume do tronco é a diferença: $216-8=208$.

Há também a fórmula direta, que o professor recomenda memorizar por ganhar tempo em certas questões (aqui não ganha): $V_T=\frac{h_T}{3}(A_G+\sqrt{A_G{A}_P}+A_P)$, em que $h_T$ é a altura do tronco, e não a da pirâmide grande ou da pequena. Mesmo assim, ele insiste que o raciocínio de proporção é de longe a parte mais importante.

▶ Ver este trecho no vídeo (16:07:00)

Questão modelo: esfera inscrita na pirâmide regular

A questão inédita pede o raio da esfera inscrita numa pirâmide regular de base quadrada com aresta da base $12$ e altura $8$. É a mesma pirâmide estudada antes, agora com esfera dentro (inscrição de sólidos, tema da aula seguinte).

A estratégia é focar nos pontos de contato entre os dois sólidos: um na base e um no meio de cada face lateral. Como trabalhar em três dimensões é difícil, leva-se o problema a duas: corta-se a pirâmide por um plano que passa pelo vértice, pelo centro da base e pelos pontos de contato (um corte pelas arestas não serve, porque a esfera não encosta nelas). O corte produz um triângulo isósceles $VAB$ com uma circunferência inscrita.

Outra dica geral: sempre que houver circunferência e reta tangente, liga-se o centro ao ponto de tangência, pois ali se forma ângulo de $90^{\circ }$ e o segmento é o próprio raio. No corte, a base do triângulo mede $12$ (metade $6$), a altura é $8$ e o apótema da pirâmide vale $10$ (triângulo 3-4-5 vezes $2$).

O triângulo $VOP$, com $P$ o ponto de tangência na face, é semelhante a $VAB$: ambos têm o ângulo $\alpha$ em $V$ e um ângulo reto. No pequeno, o cateto oposto a $\alpha$ é $r$ e a hipotenusa é $8-r$; no grande, o oposto é $6$ e a hipotenusa $10$.

▶ Ver este trecho no vídeo (16:18:00)

Resolvendo: r = 3 por semelhança e por tangentes iguais

Da semelhança, $\frac{r}{6}=\frac{8-r}{10}$. Simplificando e multiplicando cruzado, $5r=24-3r$, logo $8r=24$ e $r=3$, que é a alternativa b do mapa mental.

O professor mostra um segundo caminho, que considera mais elegante. Do ponto externo $A$ saem dois segmentos tangentes à circunferência, e eles são iguais. A distância do ponto de tangência na base ao vértice da base vale $6$, então o segmento do vértice $B$ ao ponto de tangência na face também vale $6$. Como a hipotenusa total é $10$, o trecho de $V$ até o ponto de tangência mede $10-6=4$.

No triângulo retângulo formado, os catetos são $r$ e $4$ e a hipotenusa é $8-r$. Por Pitágoras, $r^2+4^2=(8-r{)}^2$, que leva ao mesmo $r=3$. O professor deixa a escolha entre os métodos ao critério do aluno, sem grande diferença de velocidade.

O encerramento reforça que, com pirâmide genérica, regular, tetraedro tri-retângulo, um pouco de inscrição e tronco, não deve sobrar nada sobre pirâmides na prova. (A fala seguinte da legenda já é o começo da aula de sólidos.)

▶ Ver este trecho no vídeo (16:24:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: pitagoras proporcao

As 4 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em pirâmides

1. 01

   Chamar de altura da pirâmide um segmento inclinado

   Chamar de altura da pirâmide um segmento inclinado do vértice à base: só vale a perpendicular ao plano da base.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Achar que base regular basta para a pirâmide ser regular

   Achar que base regular basta para a pirâmide ser regular: o vértice também precisa projetar-se no centro da base.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Confundir a altura da pirâmide com a altura da face

   Confundir a altura da pirâmide com a altura da face triangular (apótema da pirâmide) no cálculo da área lateral.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Dizer que tronco e pirâmide são semelhantes

   Dizer que tronco e pirâmide são semelhantes: semelhantes são a pirâmide grande e a pequena.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Aplicar a razão de semelhança linear às áreas

   Aplicar a razão de semelhança linear às áreas (é K²) ou aos volumes (é K³).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Usar a altura da pirâmide grande ou da pequena na fórmula

   Usar a altura da pirâmide grande ou da pequena na fórmula do tronco: ali entra a altura do tronco.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
7. 07

   Esquecer que, para a distância em um tetraedro

   Esquecer que, para a distância em um tetraedro tri-retângulo, vale mudar a base e igualar os volumes.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Pirâmides no ENEM