Projeção Ortogonal (Geometria Espacial) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 34 minutos: o índice

Como o ENEM cobra projeção ortogonal (geometria espacial)

O professor diz que a projeção ortogonal é um tipo de questão extremamente clássico e que é "batata que vai aparecer na prova". A questão modelo da aula pede a trajetória que uma pessoa enxerga ao olhar de lado uma roda gigante em movimento. Ele comenta que já caiu uma questão de projeção do caminho de um robô sobre um plano, e que o que pesa é a abstração tridimensional, não a conta.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Plano e retas perpendiculares ao plano
• Decomposição de vetores em componentes perpendiculares (noção)
• Figuras planas: triângulo, circunferência, quadrado

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Segmento horizontal projeta-se em segmento igual; inclinado, em segmento menor; vertical, em um ponto
• Triângulo paralelo ao plano projeta-se igual; inclinado, em triângulo menor; perpendicular, em um segmento
• Projetar só os extremos (vértices) basta para achar a projeção
• Pirâmide A-B-C-D-E: no plano horizontal dá um quadrado; no plano vertical dá um triângulo (B'=E', C'=D')
• Questão modelo da roda gigante: a circunferência projeta-se em um segmento (o diâmetro)

A ideia da sombra e a questão da roda gigante

O professor apresenta a projeção ortogonal como um tipo de questão extremamente clássico, que exige capacidade de visualização tridimensional, e diz que é muito provável que apareça na prova. Antes de resolver, dá uma olhada no enunciado: Camila e a irmã Bianca vão a um parque de diversões; Bianca não tem altura mínima para entrar na roda gigante e aguarda do lado de fora, no mesmo plano que contém a roda, enquanto Camila passeia. A pergunta é qual é a trajetória que Bianca enxerga do movimento do brinquedo.

Para chegar lá, ele recapitula a projeção ortogonal com um objeto simples, uma reta. A analogia é a de uma lanterna: imagina-se uma luz iluminando o objeto e pergunta-se qual é a sombra dele no plano abaixo. Os raios de luz são paralelos entre si e perpendiculares ao plano em que se projeta, e é isso que significa "ortogonal".

O ponto central do método aparece logo: se você projeta os extremos do objeto, descobre a projeção do objeto inteiro. Os pontos do meio caem entre as projeções dos extremos. Para um pedaço de reta, a projeção é, em geral, outro pedaço de reta.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:01:00)

Reta inclinada, reta vertical e a componente horizontal

Com a luz vindo de cima, a sombra de um ponto cai exatamente abaixo dele, no plano. Para uma reta inclinada, projetam-se as duas pontas e liga-se uma à outra: a projeção é uma reta também, mas de comprimento menor que a original.

O professor liga isso à Física. Se o segmento for visto como um vetor, a projeção ortogonal é a componente horizontal dele, aquela paralela ao plano. Como sempre se decompõe um vetor em direções perpendiculares, o nome "ortogonal" lembra perpendicularidade, quase um sinônimo.

O exemplo seguinte mostra como a projeção varia. Se a reta está totalmente na horizontal, a projeção é o próprio segmento, pois a componente horizontal de um vetor horizontal é ele mesmo. À medida que a reta é inclinada, a componente horizontal diminui: primeiro um tamanho grande, depois um menor. Quando a reta fica totalmente vertical, a componente horizontal some e a projeção vira um único ponto. O motivo é que a sombra de qualquer ponto da reta vertical cai no mesmo lugar embaixo, bastando olhar os extremos.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:05:00)

Triângulo: paralelo, inclinado e perpendicular ao plano

Passando a uma figura plana, o professor usa o mesmo raciocínio: projeta-se cada vértice, traçando por ele uma reta perpendicular ao plano de projeção e vendo onde ela o encontra. Primeiro caso: o triângulo está em um plano paralelo ao plano de projeção. A projeção é exatamente o mesmo triângulo, porque dois planos paralelos fazem a sombra ter a mesma forma e o mesmo tamanho do objeto.

Segundo caso: o plano do triângulo é levantado, ficando inclinado. Projetados os três vértices, a projeção continua sendo um triângulo, só que menor. Os demais pontos do triângulo não precisam ser projetados um a um, pois qualquer ponto interno cai dentro da figura formada pelas projeções das fronteiras.

Terceiro caso: o plano do triângulo fica perpendicular ao plano de projeção, com ângulo de 90° entre eles. Agora os vértices caem alinhados e a projeção é só um segmento de reta. A luz é bloqueada apenas pela linha de baixo do triângulo, e qualquer figura desenhada nesse plano daria a mesma reta.

Para enxergar a diferença entre o caso inclinado e o perpendicular, o professor chama atenção para a profundidade. Num plano perpendicular, o vértice de cima só está acima dos outros dois, no mesmo plano vertical. No plano inclinado, ele também está um pouco mais para trás ou para a frente, e por isso a projeção se afasta da linha.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:09:00)

Sólido: a pirâmide projetada em um plano horizontal

Chega-se então a um objeto tridimensional, uma pirâmide maciça, e o princípio é o mesmo: projetar os extremos. Imaginam-se vários raios de luz paralelos incidindo de cima. Cada vértice é projetado traçando-se uma reta perpendicular ao plano e vendo onde ela o encontra.

Projetando os vértices da base e o ápice, o professor mostra que o ponto mais alto cai dentro da figura formada pelos demais. Qualquer outro ponto da pirâmide, inclusive pontos de uma face lateral triangular, também cai dentro desse quadrado. Por isso os demais pontos do objeto não interessam e a sombra é um quadrado.

Ele descreve esse quadrado como o corte do objeto por um plano paralelo ao plano de projeção. O mesmo raciocínio vale para qualquer outro sólido: olha-se os extremos e verifica-se o que fica de fora e o que cai dentro.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:19:00)

A mesma pirâmide em outro plano de projeção

Agora a pergunta é a projeção da mesma pirâmide em outro plano, vertical, e o resultado muda. Os vértices são chamados de A, B, C, D e E, e os raios de luz chegam de lado. Para cada ponto traça-se a reta perpendicular a esse novo plano.

O ponto A projeta-se imediatamente na linha de A. Os pontos C e D, que ficam mais à direita do ponto de vista do observador, coincidem na projeção, a de C e D. De forma parecida, B e E ficam mais à esquerda e também coincidem. Qualquer outro ponto da pirâmide cai dentro da figura formada por essas três projeções, e o resultado é um triângulo.

Para explicar de onde sai esse triângulo, o professor compara com uma face triangular da pirâmide que está levemente deitada em relação ao plano de projeção. É o mesmo caso do triângulo inclinado: a projeção é um triângulo um pouco menor, encurtado. Ele reconhece que exige abstração, mas insiste que o raciocínio funciona sempre: pensar na projeção dos extremos e atentar ao fato de que, com o plano inclinado, um ponto pode estar acima e também mais para trás dos outros.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:21:00)

Resolvendo a roda gigante e o caminho do robô

De volta ao problema, Bianca está no mesmo plano da roda gigante. A roda é uma circunferência em um plano vertical, e a pessoa olha numa direção perpendicular a ele, de modo que o plano de projeção é uma espécie de parede vertical. É preciso projetar a circunferência nesse plano.

Olhando os extremos, o ponto de cima (A) e o de baixo (B) projetam-se em pontos, e qualquer outro ponto da roda cai entre eles. Pontos à frente e atrás, como C e D, caem no mesmo lugar. A projeção da circunferência é, portanto, uma reta, o diâmetro da roda. Para Bianca, é como se Camila só subisse e descesse sobre essa reta. A resposta é a letra E, uma linha reta.

Para fixar, o professor cita uma questão que já caiu: um robô fazia um percurso e pedia-se a projeção desse caminho em um plano. A projeção é a componente horizontal de cada deslocamento. Quando o robô sobe, só conta o avanço horizontal desse trecho, e a projeção do caminho inteiro é a soma das componentes horizontais dos deslocamentos. Ele encerra dizendo que tudo vem do mesmo raciocínio, e que entender os casos simples mostra que no fundo é tudo a mesma coisa.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:28:00)

As 2 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor (questão que já caiu, relatada de memória)

Erros que derrubam nota em projeção ortogonal (geometria espacial)

1. 01

   Achar que a projeção sempre tem o mesmo tamanho do objeto

   Achar que a projeção sempre tem o mesmo tamanho do objeto: só é igual quando o objeto está em plano paralelo ao de projeção.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Projetar ponto por ponto em vez de olhar só os extremos

   Projetar ponto por ponto em vez de olhar só os extremos e conectar.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Esquecer que um vértice inclinado está também mais para trás

   Esquecer que um vértice inclinado está também mais para trás ou à frente, e não só mais alto.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Achar que um triângulo em plano perpendicular ao de projeção

   Achar que um triângulo em plano perpendicular ao de projeção dá um triângulo: dá só um segmento de reta.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Achar que a projeção de uma reta vertical é uma reta

   Achar que a projeção de uma reta vertical é uma reta: é um ponto.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Contar a componente vertical do movimento ao projetar

   Contar a componente vertical do movimento ao projetar um caminho.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Projeção Ortogonal (Geometria Espacial) no ENEM