Área de circunferência (Geometria Plana) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 45 minutos: o índice

Como o ENEM cobra área de circunferência (geometria plana)

O professor não cita estatística de recorrência, mas avisa que o segmento é menos recorrente que os demais. Na prática, a aula mostra que a prova cobra figuras compostas, que não são setor, segmento nem coroa prontos, e pedem dividir a região em triângulos, setores e segmentos, com contas que exigem simplificar antes de multiplicar e uso de ângulos notáveis.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Comprimento da circunferência e do arco (aula de circunferência)
• Área do triângulo, inclusive com dois lados e o ângulo entre eles
• Seno de ângulos notáveis (30°, 60°, 120°)
• Triângulo isósceles e equilátero (ângulos)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Círculo: $A=\pi R^2$; coroa circular: $A=\pi (R^2-r^2)$
• Setor circular: $A=\frac{\alpha }{360}\pi R^2$, exemplo $24\pi$ m² (60°, raio 12)
• Segmento circular: $A_{seg}=A_{set}-A_{\mathrm{△}}$, com $\frac{1}{2}{R}^2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha$ para o triângulo
• Pedaço de coroa de 45° (raios 5 e 3): $\frac{1}{8}$ da coroa, $2\pi$ m²
• Quadrado de lado 12 dividido em triângulo e dois segmentos de 60°: $12(4\pi -3\sqrt{3})$
• Questão modelo: duas circunferências de raio 6, área hachurada $6(4\pi -3\sqrt{3})$

Círculo e coroa circular: subtrair a área menor da maior

A área de um círculo depende só do raio: $A=\pi r^2$. O professor lembra que, na dimensão, comprimento de circunferência ($2\pi r$) é uma medida de comprimento e área ($\pi r^2$) é uma medida de área. Com raio $10$, a área é $\pi \cdot 10^2=100\pi$.

A primeira figura derivada do círculo é a coroa circular: a região compreendida entre duas circunferências de mesmo centro. Para calculá-la, ele manda "seguir o coração": pegar a área do círculo maior e subtrair a do menor, o que sobra é só o anel em volta.

Com $R$ para o raio maior e $r$ para o menor, a área é $A=\pi R^2-\pi r^2$, e o $\pi$ pode ser colocado em evidência: $A=\pi (R^2-r^2)$. Não há fórmula nova para decorar, apenas a subtração de duas áreas já conhecidas.

Exemplo numérico: com $R=5$ e $r=4$, $A=\pi (5^2-4^2)=\pi (25-16)=9\pi$. A unidade segue a das medidas: se o raio está em metros, a área é em metros quadrados; se está em centímetros, em centímetros quadrados. Atenção para não confundir: o que se eleva ao quadrado são os raios, e a diferença é feita entre os quadrados, não entre os raios.

▶ Ver este trecho no vídeo (13:16:00)

Setor circular: a fatia de pizza e a regra de três

O setor circular é a famosa fatia de pizza. Seu cálculo é muito parecido com o do comprimento de arco: também é uma regra de três. Para o arco, a fração do total era $\frac{\alpha }{360}$ do comprimento $2\pi r$; para a área, é a mesma fração, agora aplicada à área total $\pi r^2$.

A dedução é uma proporção entre ângulo e área. Se o ângulo fosse a volta inteira, $360^{\circ }$, a área seria $\pi r^2$. Para um ângulo $\alpha$, a área é $A_{set}$. Multiplicando em cruz, $360A_{set}=\alpha \pi r^2$, o que dá $A_{set}={\displaystyle \frac{\alpha }{360}}\cdot \pi r^2$.

O professor recomenda memorizar assim: $\frac{\alpha }{360}$ é a fração do total, e o total é $\pi r^2$. Isso vale tanto para comprimento quanto para área. Para conferir, se $\alpha =360^{\circ }$ a fração vale $1$ e sobra o círculo inteiro; se $\alpha =180^{\circ }$, sobra metade. Ele avisa ainda que, em área, normalmente se trabalha em graus e não em radianos.

Exemplo: ângulo de $60^{\circ }$ e raio de $12$ m. $A_{set}=\frac{60}{360}\cdot \pi \cdot 12^2=\frac{1}{6}\cdot 144\pi =24\pi {\text{m}}^2$. A dica de conta é simplificar antes de multiplicar: $12\cdot 12$ dividido por $6$ vira $2\cdot 12=24$, sem precisar efetuar $144$. Como ele diz, somos "inimigos da conta".

▶ Ver este trecho no vídeo (13:19:30)

Segmento circular: setor menos triângulo

O segmento circular é a região cortada da circunferência por uma corda: escolhem-se dois pontos da circunferência, liga-se um ao outro e fica o pedaço entre a corda e o arco. O professor diz que é menos recorrente que os outros, mas também importante.

Para calcular, ele completa a figura com o centro $O$ e os pontos $A$ e $B$ das extremidades. O segmento é o setor de abertura $\alpha$ menos o triângulo $OAB$: $A_{seg}=A_{set}-A_{\mathrm{△}}$. A área do setor já se sabe calcular (regra de três).

Para o triângulo, calcular base e altura daria trabalho. A saída é a fórmula da área com dois lados e o ângulo entre eles: $\frac{1}{2}\cdot \text{lado}\cdot \text{lado}\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}$ do ângulo. Como os dois lados são raios e o ângulo é a própria abertura, $A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}{R}^2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha$. Raio e ângulo servem para as duas áreas, então essas duas informações bastam.

Exemplo: ângulo de $30^{\circ }$ e raio de $12$ m. O setor vale $\frac{30}{360}\pi \cdot 12^2=\frac{1}{12}\cdot 144\pi =12\pi$. O triângulo vale $\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 144\cdot \frac{1}{2}=36$. Logo $A_{seg}=12\pi -36{\text{m}}^2$. Ele observa que a conta fica mais limpa simplificando antes (o $12$ corta com o $12$, o $6$ com o $12$) e que, no fim, a área sai em metros quadrados se o raio estiver em metros.

▶ Ver este trecho no vídeo (13:24:00)

Segmento em uma semicircunferência: descobrindo o ângulo de abertura

Na semicircunferência de raio $4$, com um ângulo de $30^{\circ }$ na base, o pedaço pedido é um segmento circular: ele é cortado por uma corda, bastando "dar uma rodada" na figura para enxergar isso. O problema é que a fórmula pede o ângulo de abertura, e só o raio é dado.

Para achá-lo, liga-se o centro à outra extremidade da corda. Os dois segmentos do centro até a circunferência valem $4$, pois são raios, então o triângulo formado é isósceles. Os ângulos da base são iguais a $30^{\circ }$, e o ângulo no centro é $180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }$. Logo é um segmento de $120^{\circ }$.

Aplicando a fórmula: $A_{seg}=\frac{120}{360}\pi \cdot 4^2-\frac{1}{2}\cdot 4^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}120^{\circ }$. O primeiro termo é $\frac{16\pi }{3}$. No segundo, $\frac{16}{2}=8$ e $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}120^{\circ }=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, o que dá $4\sqrt{3}$. Resultado: $A_{seg}=\frac{16\pi }{3}-4\sqrt{3}$.

Há um segundo caminho. A parte em branco da semicircunferência é um triângulo (o de $120^{\circ }$, de área $4\sqrt{3}$) mais um setor de $60^{\circ }$. A região pedida é então o semicírculo (setor de $180^{\circ }$) menos esse triângulo e menos esse setor. É exatamente a mesma conta. O professor acha o primeiro caminho mais rápido, mas deixa a escolha ao aluno.

▶ Ver este trecho no vídeo (13:32:00)

Pedaço de coroa: um oitavo da coroa com ângulo de 45°

A região hachurada tem raio maior $5$, raio menor $3$ e abertura de $45^{\circ }$. Ela mistura coroa e setor: é um pedaço de coroa. O professor propõe pensar em quantas partes iguais a essa seriam necessárias para fechar uma coroa inteira. Como o ângulo é $45^{\circ }$, são precisas oito, pois $\frac{45}{360}=\frac{1}{8}$. Logo a área pedida é um oitavo da área da coroa.

A área da coroa inteira é $\pi (5^2-3^2)=\pi (25-9)=16\pi$. Um oitavo disso: $A=\frac{1}{8}\cdot 16\pi =2\pi {\text{m}}^2$, se as medidas estiverem em metros.

A lógica é a mesma do setor: a fração $\frac{\alpha }{360}$ do total, agora aplicada ao total da coroa. Existe também o caminho alternativo, que ele cita e considera válido: calcular o setor grande, de raio $5$, e subtrair o setor pequeno, de raio $3$, ambos de $45^{\circ }$. Dá o mesmo resultado, e vale usar a criatividade, mas o primeiro modo é, segundo ele, o mais prático.

▶ Ver este trecho no vídeo (13:38:00)

Quadrado de lado 12 com dois arcos: dividir a figura em triângulo e segmentos

O quadrado tem lado $12$ e dois arcos de circunferência de $90^{\circ }$, cada um centrado em um vértice da base, com raio $12$. A região hachurada fica entre os dois arcos e não é setor, segmento nem coroa. Quando a figura não é nada disso, a saída é subdividi-la.

Traçando os segmentos do centro de cada arco até o ponto onde os arcos se cruzam, e a base, todos os lados valem $12$, pois são raios ou o lado do quadrado. Surgem três regiões: $A_1$, um triângulo equilátero (ângulos de $60^{\circ }$, todos os lados $12$), e $A_2$ e $A_3$, que são segmentos circulares de $60^{\circ }$.

A área total é $A=A_{\mathrm{△}60^{\circ }}+2A_{seg,60^{\circ }}$. Como o segmento é setor menos triângulo, $A_{seg,60^{\circ }}=A_{set,60^{\circ }}-A_{\mathrm{△}60^{\circ }}$, e então $A=A_{\mathrm{△}}+2A_{set}-2A_{\mathrm{△}}=2A_{set,60^{\circ }}-A_{\mathrm{△}60^{\circ }}$. Calcular tudo junto faz os triângulos se cortarem; o professor prefere assim.

O setor de $60^{\circ }$ vale $\frac{60}{360}\pi \cdot 12^2=24\pi$, e o triângulo equilátero de lado $12$ vale $\frac{1}{2}\cdot 12^2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}60^{\circ }=36\sqrt{3}$. Logo $A=48\pi -36\sqrt{3}=12(4\pi -3\sqrt{3}){\text{m}}^2$. Ele ressalta que há infinitas maneiras de decompor a figura e que não existe um jeito único.

▶ Ver este trecho no vídeo (13:42:00)

Questão modelo ENEM: duas circunferências de raio 6, uma passando pelo centro da outra

A questão mostra duas circunferências de raio $6$, cada uma passando pelo centro da outra, e pede a área da região comum, hachurada. Ela também não é nada pronta, então é preciso dividi-la.

Ligando os dois centros e os dois pontos de interseção, todos os segmentos valem $6$ (são raios), então os triângulos formados são equiláteros e o ângulo no centro é $60^{\circ }$. A região se divide em dois triângulos equiláteros e quatro segmentos de $60^{\circ }$. O professor chama atenção para algo que ele colocou de propósito: essa figura é a anterior, do quadrado, duplicada. Se se copia a metade superior e a gira $180^{\circ }$, obtém-se a figura inteira.

Assim, $A=2A_{\mathrm{△}}+4A_{seg,60^{\circ }}=2A_{\mathrm{△}}+4(A_{set,60^{\circ }}-A_{\mathrm{△}})=4A_{set,60^{\circ }}-2A_{\mathrm{△}}$. Compare com o exemplo anterior: lá era dois setores menos um triângulo, aqui é quatro setores menos dois triângulos, porque a figura dobrou.

Contas: $A_{set,60^{\circ }}=\frac{60}{360}\pi \cdot 6^2=6\pi$, então $4A_{set}=24\pi$. O triângulo equilátero de lado $6$ vale $\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$, então $2A_{\mathrm{△}}=18\sqrt{3}$. Resultado: $A=24\pi -18\sqrt{3}=6(4\pi -3\sqrt{3})$. Ele confere os cálculos, e fecha dizendo que com essa aula se termina a geometria plana inteira.

▶ Ver este trecho no vídeo (13:52:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: pitagoras proporcao lei dos cossenos

As 7 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Questão 05 · exemplo do professor

Questão 06 · exemplo do professor

Questão 07 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em área de circunferência (geometria plana)

1. 01

   Subtrair os raios antes de elevar ao quadrado na coroa,

   Subtrair os raios antes de elevar ao quadrado na coroa, em vez de subtrair as áreas.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Usar a fórmula do segmento sem achar antes o ângulo

   Usar a fórmula do segmento sem achar antes o ângulo de abertura.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Esquecer de subtrair o triângulo ao calcular o segmento

   Esquecer de subtrair o triângulo ao calcular o segmento (ficar só com o setor).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Efetuar $12\cdot12=144$ antes de simplificar e carregar

   Efetuar $12\cdot 12=144$ antes de simplificar e carregar números grandes na conta.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Calcular o mesmo triângulo mais de uma vez quando ele se

   Calcular o mesmo triângulo mais de uma vez quando ele se cancela no final.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Tentar fórmula pronta para figura composta, em vez

   Tentar fórmula pronta para figura composta, em vez de subdividi-la em triângulos, setores e segmentos.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Área de circunferência (Geometria Plana) no ENEM