Cilindro e Esfera no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 12 minutos: o índice

Como o ENEM cobra cilindro e esfera

O professor não fala de recorrência nem de estatística. Na prática, a aula mostra uma questão de comparação de volumes entre dois recipientes, em contexto industrial, em que as fórmulas decisivas são o volume do cilindro e o da esfera. Ele diz que a questão é só um pretexto para revisar, e que o raciocínio de relacionar altura, diâmetro e raio é o que resolve.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Área do círculo ($\pi r^2$) e comprimento da circunferência ($2\pi r$)
• Relação entre raio e diâmetro
• Noção de volume e de área (unidades cúbicas e quadradas)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Cilindro: área da base A = πr², volume V = πr²·h
• Área lateral do cilindro AL = 2πr·h (planificação em retângulo de base 2πr e altura h)
• Esfera: V = 4/3 πR³ e Asup = 4πR²
• Cilindro com h = 2R: Vc = 2πR³
• Semiesfera de raio R: Vesf = 1/2 · 4/3 πR³ = 2πR³/3 = 1/3 Vc
• Questão modelo ENEM com alternativa B (3 vezes menor) marcada

O problema: trocar um recipiente cilíndrico por uma semiesfera

A aula abre com uma questão sobre uma fábrica metalúrgica que armazena ferro fundido em um recipiente cilíndrico de cerâmica cuja altura é igual ao diâmetro. Esse cilindro, em que a altura é o dobro do raio, é chamado de cilindro equilátero: se o raio da base é $R$, a altura é $h=2R$.

Como a fábrica mudou de fornecedor, propõe-se um novo recipiente semiesférico, com diâmetro igual à altura do cilindro anterior. O professor desenha uma meia esfera, como uma tigela, e observa que o diâmetro da abertura é $2R$, logo o raio da semiesfera é o mesmo $R$ do cilindro.

A pergunta é comparar a quantidade de ferro fundido que cabe no novo recipiente com a do anterior, isto é, comparar volumes: vai caber mais ou menos? O enunciado completo, com as alternativas, não é lido por inteiro na aula, e o mapa mental disponível para este capítulo não traz esse texto (ver dúvidas).

O professor avisa que a questão é "só uma desculpa" para uma boa revisão de cilindros e esferas, e que nem tudo o que será revisado entra na conta. Antes de resolver, ele reúne as ferramentas: o que é um cilindro, a área do círculo e as fórmulas de volume e de área do cilindro e da esfera.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:35:00)

Cilindro: área da base, volume e área lateral

Um cilindro é um sólido em que as duas bases são circunferências iguais e paralelas, separadas por uma certa altura. A conta começa na geometria plana: a área do círculo de raio $r$ é $\pi r^2$. Isso precisa estar na ponta da língua, porque é a área da base do cilindro.

O volume do cilindro é a área da base vezes a altura. A imagem que o professor usa é a de empilhar vários discos iguais: multiplicar pela altura equivale a contar quantos discos cabem ali dentro. Assim, $V_{cilindro}=\pi r^{2}h$.

Para a área lateral, ele pede para imaginar um corte ao longo da altura e o cilindro desenrolado, como um papel que estava enrolado. A superfície vira um retângulo cuja altura é $h$ e cuja base é o comprimento da circunferência, $2\pi r$. Como a área de um retângulo é base vezes altura, a área lateral é $A_{lateral}=2\pi rh$.

Se a pergunta fosse a área total, bastaria somar as duas tampas, cada uma com $\pi r^2$. Em resumo, sobre o cilindro o essencial é saber a área da base ($\pi r^2$), o volume ($\pi r^{2}h$) e a área lateral ($2\pi rh$). O professor reforça que a área lateral não será usada nesta questão, mas vale a revisão.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:37:00)

Esfera: volume, área superficial e a checagem por unidades

Uma esfera fica definida por um centro e um raio, e o tamanho dela depende só do raio. O volume da esfera é $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ (também escrito $\frac{4\pi r^3}{3}$). Já a área da superfície, aquela que você pintaria numa bola e que gasta tinta, é $A=4\pi r^2$. O professor comenta que "lateral" soa estranho para a esfera, então o nome correto é área superficial.

Para não confundir as duas equações, ele propõe a checagem pelas unidades. Volume é medida cúbica (${\mathrm{m}}^3$, ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$), então o raio aparece ao cubo, já que o raio é uma medida linear. Área é medida quadrática (${\mathrm{m}}^2$, ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$), então o raio aparece ao quadrado.

Se a expressão que você escreveu tem $r^3$ mas era para ser uma área, ou $r^2$ mas era para ser um volume, há um erro. É um teste rápido que vale em qualquer questão de geometria espacial.

Com isso, o professor diz que já há na mesa tudo de que se precisa para resolver o problema: o volume do cilindro e o volume da esfera.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:42:00)

Resolução: o volume novo é um terço do antigo (alternativa B)

O problema consiste em comparar dois volumes. O cilindro tem área da base $\pi R^2$ e altura $2R$, então $V_{cilindro}=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3$.

O novo recipiente é uma semiesfera, isto é, metade de uma esfera. Como o diâmetro dela é igual à altura do cilindro anterior, que é $2R$, o raio da semiesfera é o mesmo $R$. O volume é metade de $\frac{4}{3}\pi R^3$, ou seja, $V_{semiesfera}=\frac{2}{3}\pi R^3$.

A comparação sai direto: $\frac{2}{3}\pi R^3$ é o resultado de dividir $2\pi R^3$ por 3. Logo, o volume do novo recipiente é $\frac{1}{3}$ do volume do antigo, aproximadamente $0,33$, ou cerca de $33\mathrm{\%}$ ($33,3\mathrm{\%}$). O professor nota que o enunciado não pede porcentagem, então nem era preciso chegar a esse número.

Dito de outro modo, o volume antigo é três vezes maior que o novo. Assim, a quantidade de ferro fundido armazenado passa a ser três vezes menor, e a resposta é a alternativa B, segundo o professor. Ele fecha lembrando os pontos importantes: de cilindro, saber o volume e a área lateral; de esfera, o volume e a área superficial.

▶ Ver este trecho no vídeo (14:44:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: volume do cilindro

As 1 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em cilindro e esfera

1. 01

   Usar o volume da esfera inteira quando o recipiente é

   Usar o volume da esfera inteira quando o recipiente é uma semiesfera.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Confundir diâmetro com raio

   Confundir diâmetro com raio: diâmetro igual a $2R$, e o raio da semiesfera é $R$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Misturar as fórmulas de área e volume da esfera; a checagem

   Misturar as fórmulas de área e volume da esfera; a checagem é por unidades ($r^3$ para volume, $r^2$ para área).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Usar o termo área lateral para a esfera; o correto é área

   Usar o termo área lateral para a esfera; o correto é área superficial.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Cilindro e Esfera no ENEM