Semelhança de Triângulos (Geometria Plana) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 67 minutos: o índice

Como o ENEM cobra semelhança de triângulos (geometria plana)

O professor diz que semelhança de triângulos é uma das partes mais recorrentes e comuns da geometria plana. Na prática, a aula mostra quatro padrões: dois triângulos com ângulos iguais, reta paralela à base, sombra proporcional e quadrado inscrito. A pegadinha central é a razão entre áreas, que é $k^2$ e não $k$, e a armadilha de comparar lados que não são correspondentes.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Razão e proporção (grandezas diretamente proporcionais)
• Soma dos ângulos internos de um triângulo (180°)
• Ângulos correspondentes entre paralelas e ângulos opostos pelo vértice
• Área do triângulo e ponto médio de um segmento

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Triângulos semelhantes: ângulos iguais e lados proporcionais, a/d = b/e = c/f = h1/h2 = k
• Razão de semelhança: k = 6/3 = 2 (x = 2 e y = 22 no exemplo); k = 1 dá triângulos congruentes
• Razão entre áreas: A1/A2 = k² (base e altura, cada uma com razão k)
• Base média: MN paralela a BC e MN = BC/2; três bases médias formam 4 triângulos iguais (k = 2)
• Situações clássicas: ângulos opostos pelo vértice, reta paralela à base (k = 3), sombra (h = 54 m) e quadrado inscrito (x = 20)
• Questão modelo ENEM dos terrenos: áreas A, 3A, 5A e 7A; resposta 7A/3A = 7/3 (alternativa d)

O que são figuras semelhantes

A aula abre o módulo de geometria plana pelo tipo de figura mais comum, o triângulo, mas começa por uma pergunta mais geral: o que são figuras semelhantes? O professor lembra que qualquer figura pode ser semelhante a outra, seja um quadrado, um retângulo ou um celular. Ser semelhante significa estar na mesma proporção: se você copiar a figura e der um zoom nela, aumentando ou diminuindo, ela se transforma exatamente na outra.

A primeira característica é que os lados são proporcionais. Se um lado de 3 vira 6 na figura maior, ele foi duplicado e cabem dois lados pequenos nele; os demais lados também são duplicados (um lado de 5 passa a valer 10). Esticar a figura para um lado só, deixando um pedaço igual e outro maior, destrói a semelhança, porque a proporção deixou de ser a mesma em todas as direções.

A segunda característica é que os ângulos se mantêm constantes. Dobrar o tamanho da figura não dobra a abertura dos ângulos: ao sobrepor um ângulo da figura pequena com o correspondente da grande, a abertura encaixa exatamente. Isso vale para qualquer figura, não só para triângulos.

Por fim, o professor explica por que o estudo se concentra nos triângulos: são as figuras mais simples, e a semelhança de outras figuras exige critérios mais específicos e às vezes contraintuitivos. Restringir-se aos triângulos mantém a lógica (ângulos iguais, lados proporcionais) sem complicar. Dois triângulos ABC e DEF são semelhantes quando um é obtido do outro por zoom, sem esticar nada, e os três pares de ângulos são iguais.

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Lados proporcionais, lados correspondentes e razão de semelhança

Com os triângulos ABC e DEF semelhantes, os ângulos são nomeados em ordem: $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ em cada um. Os lados são proporcionais: se um lado vale 5 no primeiro e 10 no segundo, a razão é 2; se outro vale 6 e o correspondente 12, a razão é de novo 2; 7 e 14 também dá 2. A razão entre lados correspondentes é constante, o que se escreve $a\mathrm{/}d=b\mathrm{/}e=c\mathrm{/}f$. O professor aceita outras ordens de montar a proporção, mas recomenda sempre ir de um triângulo para o outro.

A pergunta central é como saber qual lado se compara com qual. A resposta é guiar-se pelos ângulos: o lado oposto a $\alpha$ de um triângulo corresponde ao lado oposto a $\alpha$ do outro, e assim para $\beta$ e $\gamma$. Esses são os lados correspondentes, que ocupam a mesma posição relativa.

Para reconhecer a semelhança, basta ter dois ângulos iguais: como a soma é 180°, o terceiro fica determinado (com 30° e 20° nos dois, o terceiro vale 130° em ambos). O professor deixa de lado uma lista de casos de semelhança justamente porque, na prática, o critério dos dois ângulos resolve.

A razão de semelhança, chamada $k$, é a razão entre dois lados correspondentes, escolhida em um sentido (do grande para o pequeno, por exemplo) e mantida até o fim do problema. No exemplo, o lado oposto ao ângulo $\theta$ vale 6 no grande e 3 no pequeno, logo $k=6\mathrm{/}3=2$. Todas as medidas lineares do grande são o dobro das do pequeno: o lado de 8 corresponde a $x=4$ e o de 22 corresponde a $y=11$. Também dá para resolver com multiplicação cruzada e chegar a $x=4$, mas achar $k$ costuma ser mais rápido, sobretudo quando é inteiro.

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Alturas e áreas: a razão é k e k ao quadrado

Qualquer medida linear segue a razão de semelhança, não só os lados. A altura de um triângulo relativa a um vértice, por exemplo, está para a altura correspondente do outro na mesma razão $k$; se $k=2$, uma altura é o dobro da outra, assim como os lados. O professor reforça que se pode usar qualquer par de medidas correspondentes (lados, alturas e outras) que tudo cai na mesma razão.

Com a área é diferente, e este é o ponto mais cobrado. Tome dois triângulos semelhantes cujos lados medem 3 e 9, de modo que $k=3$. Seria tentador dizer que a área também fica multiplicada por 3, mas não: ela fica multiplicada por 9. Para entender, o professor usa a fórmula da área do triângulo: $A_1\mathrm{/}{A}_2=(b_1\cdot h_1\mathrm{/}2)\mathrm{/}(b_2\cdot h_2\mathrm{/}2)$. Os dois 2 se cancelam e sobra $(b_1\mathrm{/}{b}_2)\cdot (h_1\mathrm{/}{h}_2)$. Cada uma dessas razões vale $k$, então o resultado é $k\cdot k=k^2$.

A conclusão é que a razão entre as áreas é sempre o quadrado da razão de semelhança, qualquer que seja o valor de $k$. Se $k=2$, a área fica multiplicada por 4; se $k=10$, por 100; se $k=3$, por 9. A intuição é que a base foi multiplicada por $k$ e a altura também, então a área é multiplicada por $k$ duas vezes.

Essa ideia reaparece na base média e na questão final da aula.

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Base média: paralela e metade da base

A base média de um triângulo é o segmento que liga os pontos médios de dois lados. O professor marca o ponto médio de um lado (divide em duas partes iguais), faz o mesmo no outro e liga os dois pontos. Embora se costume desenhar a base na horizontal, a base é qualquer lado que você escolher: um triângulo girado tem a mesma lógica, e ligar os pontos médios de outro par de lados dá a base média relativa ao terceiro lado.

Duas propriedades importam: a base média é sempre paralela ao lado oposto (se M e N são os pontos médios, $MN\parallel BC$) e mede sempre metade desse lado. Se a base de baixo vale 10, a base média vale 5.

Para não decorar sem entender, o professor demonstra com semelhança. Como a base média é paralela, o triângulo pequeno de cima e o triângulo inteiro têm ângulos iguais (ângulos correspondentes) e são semelhantes. Marcando os pedaços iguais dos lados como $a$ e $b$, o lado do triângulo grande vale $2a$ e o do pequeno $a$, então $k=2$. Portanto, se a base média vale $x$, a base do triângulo grande vale $2x$: a base média é metade da base.

Como a razão de semelhança é 2, a razão entre as áreas é 4, e o professor confirma isso na figura. Traçando as três bases médias, o triângulo fica dividido em quatro triângulos com lados $x$, $y$ e $z$, todos congruentes e de mesma área $A$, de modo que o triângulo original tem área $4A$, exatamente o que a previsão $k^2=4$ indicava.

▶ Ver este trecho no vídeo (10:00:00)

Congruência e casos clássicos: ângulos iguais, paralelas e Tales

Quando a razão de semelhança vale 1, todos os lados correspondentes são iguais e os triângulos são mais do que semelhantes: são congruentes, idênticos em lados, ângulos e área. É o caso dos quatro triângulos pequenos da base média.

O primeiro caso clássico traz dois triângulos que se tocam em um vértice, com um ângulo de 90° em cada um (poderia ser qualquer ângulo, o que importa é serem iguais). Os ângulos em torno do vértice comum são opostos pelo vértice, logo iguais, e com dois pares iguais o terceiro também é. Sem usar Pitágoras, só semelhança: o lado oposto ao ângulo roxo vale 4 no pequeno e 8 no grande, então $k=2$. Com o lado 6 correspondendo a $x$, tem-se $x=3$, e o lado 5 corresponde a $y=10$.

O segundo caso é uma reta $PQ$ paralela à base $BC$ de um triângulo $ABC$ (sem que seja base média). Os ângulos correspondentes são iguais e o triângulo $APQ$ é semelhante ao $ABC$. O erro comum é comparar um lado do triângulo pequeno com o lado de baixo do grande só por estarem lado a lado: é preciso comparar triângulo com triângulo, guiando-se pelos ângulos. Com o lado oposto a $\beta$ valendo 3 no pequeno e 9 no grande, $k=3$ e então $x=3\cdot 6=18$. Já o lado oposto a $\alpha$ vale 4 no pequeno e $y+4=12$ no grande, logo $y=8$.

Essas razões também são o teorema de Tales: três retas paralelas cortadas por duas transversais determinam segmentos proporcionais, $x\mathrm{/}y=w\mathrm{/}z$ e também $(x+w)\mathrm{/}(y+z)=x\mathrm{/}y$. Com 3, $x$, 12 e 16, tem-se $3\mathrm{/}x=12\mathrm{/}16$ e $x=4$. O professor nota que tudo da reta vermelha é quatro vezes o da reta verde: 3 vira 12, 4 vira 16, 7 vira 28, e esse 4 faz o papel de $k$.

▶ Ver este trecho no vídeo (10:14:00)

Aplicações: sombra de prédio e quadrado inscrito

Uma situação muito comum mede a altura de algo inacessível, como um prédio, por semelhança. Uma pessoa de 1,8 m tem sombra de 2 m, e a sombra do prédio mede 60 m. O triângulo formado pela pessoa e sua sombra é semelhante ao do prédio e sua sombra, pois os raios do sol chegam com a mesma inclinação. A proporção é $H\mathrm{/}1,8=60\mathrm{/}2$. Como $60\mathrm{/}2=30$, temos $H=30\cdot 1,8=54$, e o prédio mede 54 m.

A outra aplicação é o quadrado inscrito em um triângulo com base 60 e altura 30, com um lado do quadrado apoiado na base. O professor pede que o aluno pause e tente, porque vale a pena queimar um fosfatinho. O alerta é onde estão os triângulos semelhantes: não é qualquer triângulo que aparece na figura. O lado de cima do quadrado é paralelo à base, então o triângulo pequeno acima do quadrado é semelhante ao triângulo grande.

Do triângulo grande temos base 60 e altura 30. No pequeno, a base é o lado do quadrado, $x$, e a altura é $30-x$ (a altura total menos o lado do quadrado). A razão fica $60\mathrm{/}x=30\mathrm{/}(30-x)$, que simplificada (60/30=2) dá $2(30-x)=x$, ou seja, $60-2x=x$. Logo $3x=60$ e $x=20$, e o lado do quadrado vale 20.

O professor encerra dizendo que essas são as situações mais clássicas e mais comuns, que existem infinitas outras e que se podem fazer questões bem pesadas com semelhança.

▶ Ver este trecho no vídeo (10:27:00)

Questão final: os terrenos dos filhos

A questão, descrita como muito maluca, traz um terreno triangular dividido entre quatro filhos. São marcados três pontos igualmente espaçados no lado $AB$ e erguidos muros paralelos ao lado $BC$ por esses pontos, o que forma quatro partes. Jeremias fica com o terreno de maior área, Genivaldo com o de terceira maior área, e se pede a razão entre as áreas dos dois. Nenhum número é dado, então a solução é toda proporcional.

Seja $A$ a área do triângulo menor, o do topo. O triângulo formado pelo topo e pelo primeiro muro tem lados duas vezes maiores (o muro passa pelo ponto médio e é paralelo, logo é base média), então $k=2$ e sua área é $4A$. Sobra $3A$ para a faixa entre o primeiro e o segundo muro; é a área de Genivaldo.

O triângulo formado pelo topo até o segundo muro tem razão de semelhança 3 em relação ao topo (lados $x$ e $3x$), logo $k^2=9$ e sua área é $9A$. Subtraindo os $4A$ já contados, a faixa seguinte vale $5A$.

Por fim, o triângulo inteiro tem razão 4 em relação ao topo (lados $x$ e $4x$), então a área é $16A$ e a faixa de baixo vale $16A-9A=7A$. As quatro partes valem $A$, $3A$, $5A$ e $7A$. A razão pedida, entre o terreno de Jeremias e o de Genivaldo, é $7A\mathrm{/}3A=7\mathrm{/}3$ (a resposta aparece na fala logo após o fim deste capítulo). O professor lembra que dá para chutar $A=10$ e encontrar 10, 30, 50 e 70, e a razão é a mesma.

▶ Ver este trecho no vídeo (10:33:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: proporcao

As 7 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Questão 05 · exemplo do professor

Questão 06 · exemplo do professor

Questão 07 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em semelhança de triângulos (geometria plana)

1. 01

   Achar que a área fica multiplicada por $k$

   Achar que a área fica multiplicada por $k$: a razão entre áreas é $k^2$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Comparar lados que não são correspondentes

   Comparar lados que não são correspondentes: deve-se olhar triângulo com triângulo, guiando-se pelos ângulos.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Mudar o sentido da razão no meio do problema

   Mudar o sentido da razão no meio do problema: escolhe-se grande/pequeno ou o inverso e mantém-se até o fim.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Esticar uma figura em uma direção e continuar chamando

   Esticar uma figura em uma direção e continuar chamando de semelhante: a proporção tem de ser a mesma em tudo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Supor que qualquer triângulo da figura do quadrado inscrito

   Supor que qualquer triângulo da figura do quadrado inscrito é semelhante ao grande: só o de cima, por causa da paralela.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Usar Pitágoras por reflexo em casos em que só a semelhança

   Usar Pitágoras por reflexo em casos em que só a semelhança de ângulos iguais resolve.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Semelhança de Triângulos (Geometria Plana) no ENEM