Polígonos Notáveis (Geometria Plana) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 44 minutos: o índice

Como o ENEM cobra polígonos notáveis (geometria plana)

O professor não cita estatísticas do ENEM nesta aula. Na prática, a aula mostra que os problemas pedem o uso combinado das propriedades (diagonais do losango, diagonal do quadrado, base média) com o teorema de Pitágoras e triângulos notáveis como 3-4-5 e 5-12-13. Ele avisa que, sem conhecer as propriedades, nada sai, e que o paralelogramo como tipo de trapézio nunca apareceu em prova.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Teorema de Pitágoras
• Soma dos ângulos internos do triângulo (180°)
• Ângulos entre paralelas cortadas por transversal
• Semelhança de triângulos e base média do triângulo (aula anterior)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Triângulos por lados (escaleno, isósceles, equilátero) e por ângulos (retângulo com a²=b²+c², acutângulo, obtusângulo)
• Hexágono regular formado por 6 triângulos equiláteros
• Trapézio (isósceles, retângulo, escaleno) e base média x=(a+b)/2
• Paralelogramo e retângulo com diagonais se cortando no ponto médio
• Losango (perímetro com diagonais 10 e 24 = 52) e quadrado (d=a√2)
• Questão modelo do terreno em paralelogramo: resposta 600 m

O que é um polígono e como classificar os triângulos

Polígono é uma figura plana fechada cujos lados são segmentos de reta: se aparecer qualquer curva, a figura deixa de ser polígono. Existe uma infinidade de polígonos, mas alguns são chamados de notáveis, porque carregam uma característica específica e especial. A aula percorre esses polígonos um a um, vendo os pontos importantes de cada um. Áreas ficam para a aula seguinte; aqui só se descrevem as figuras e suas propriedades.

O primeiro polígono notável é o triângulo, que se classifica pelos lados e pelos ângulos. Pelos lados: o escaleno tem três lados diferentes e, como o maior lado fica sempre oposto ao maior ângulo, também tem três ângulos diferentes. O isósceles tem dois lados iguais e, como consequência, os dois ângulos opostos a esses lados também são iguais. O equilátero tem os três lados iguais e, portanto, os três ângulos iguais; como a soma dos ângulos internos é $180^{\circ }$, cada um vale $60^{\circ }$.

Num triângulo isósceles, o professor recomenda quase como obrigação baixar a altura relativa à base: ela divide a base em dois pedaços iguais, e em 99% dos problemas com isósceles essa é uma boa opção. Pode não resolver o problema inteiro, mas quase sempre ajuda.

Pelos ângulos: o triângulo retângulo tem um ângulo de $90^{\circ }$ e é onde vale o teorema de Pitágoras, $a^2=b^2+c^2$, aplicável única e exclusivamente a triângulos retângulos. O acutângulo tem os três ângulos agudos, todos menores que $90^{\circ }$. O obtusângulo tem um ângulo maior que $90^{\circ }$, e só pode ter um, senão o triângulo não fecha.

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Hexágono regular e a soma dos ângulos do trapézio

Existem infinitos tipos de hexágono, mas o mais importante é o hexágono regular, com todos os lados e todos os ângulos iguais. Sua característica central é que ele é formado por seis triângulos equiláteros: basta ligar o centro aos vértices. Isso ajuda em muitos problemas; por exemplo, o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado do hexágono. O professor avisa que isso será explorado mais adiante e, por ora, pede apenas que se lembre de que o hexágono regular se decompõe em seis equiláteros.

Na sequência, vêm os quadriláteros, começando pelo trapézio: um quadrilátero com um par de lados paralelos. Esses dois lados paralelos (no exemplo, $AB$ e $CD$) são chamados de bases; os outros dois são os lados oblíquos. Os ângulos de um trapézio costumam ser todos diferentes, mas há uma propriedade que nunca muda: os dois ângulos de um mesmo lado oblíquo somam $180^{\circ }$, isto é, são suplementares.

A justificativa dada é a soma dos ângulos internos de um quadrilátero, $360^{\circ }$. Baixando uma perpendicular entre as bases, obtêm-se dois ângulos de $90^{\circ }$, que já somam $180^{\circ }$; sobram $180^{\circ }$ para os outros dois. O professor mostra ainda um segundo caminho: os dois ângulos são colaterais internos entre paralelas cortadas por uma transversal, logo suplementares. O mesmo vale para os ângulos $B$ e $C$ do lado oposto.

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Base média do trapézio e os tipos de trapézio

A base média do trapézio é o segmento que liga os pontos médios dos dois lados oblíquos e é paralelo às bases. Já havia uma base média nos triângulos, na aula de semelhança, onde ela vale metade da base oposta. No trapézio, ela vale a média das bases: chamando a base menor de $a$ e a maior de $b$, o comprimento $x$ da base média é $x={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$.

O professor não quer que a fórmula seja só decorada e mostra uma demonstração elegante. Copia-se o trapézio, gira-se a cópia e encaixa-se no original pelo lado oblíquo; a figura resultante é um paralelogramo. Nele, os segmentos paralelos às bases têm todos o mesmo comprimento: a base maior do paralelogramo vale $a+b$, tanto em cima quanto embaixo. No meio, a base média aparece duas vezes, uma de cada trapézio, de modo que vale $2x$.

Assim, $2x=a+b$ e, isolando, $x={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$. O professor considera a ideia simples, mas bem elegante, e lembra de onde vem a igualdade para que ela faça sentido, em vez de ser memorizada.

Os tipos de trapézio são três. No isósceles, os lados oblíquos são iguais e, com isso, os ângulos de cada base também são iguais (alfa de um lado, beta do outro). No retângulo, um dos lados oblíquos é perpendicular às duas bases. No escaleno, os lados oblíquos são diferentes. O destaque da aula para o trapézio é a base média.

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Paralelogramo: lados, ângulos e diagonais

O professor considera o paralelogramo um tipo de trapézio, porque tem dois lados paralelos; admite que alguns livros pensam diferente, mas diz que a grande maioria das referências o inclui e que isso nunca apareceu em prova. Definição: quadrilátero cujos lados opostos são paralelos ($AB\parallel CD$ e $AD\parallel BC$).

Duas propriedades são intuitivas. Primeiro, ângulos opostos são iguais: pela simetria (girando a figura) isso é visível, e também pode ser provado com ângulos alternos internos e correspondentes entre paralelas. Segundo, lados opostos, além de paralelos, são iguais. Como os ângulos de um mesmo lado são suplementares, ângulos consecutivos somam $180^{\circ }$.

A propriedade mais importante, segundo o professor, é sobre as diagonais: elas se cortam em um ponto $M$ que é o ponto médio de ambas. As diagonais não são necessariamente iguais, mas cada uma é dividida ao meio pela outra.

A prova usa os dois triângulos formados em cima e embaixo do ponto de encontro. Os ângulos correspondentes são alternos internos (paralelas cortadas por transversais), então os triângulos são semelhantes; como um lado oposto ao mesmo ângulo é igual (lados opostos do paralelogramo), eles são congruentes. Logo, os lados correspondentes que partem de $M$ são iguais, e $M$ é ponto médio das duas diagonais. O professor insiste em demonstrar tudo para que as propriedades façam sentido e não sejam apenas decoradas.

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Retângulo e losango: o que cada um tem de único

O retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos. É também um paralelogramo, então herda todas as propriedades: ângulos opostos iguais, ângulos consecutivos somando $180^{\circ }$, diagonais que se cortam no ponto médio. A propriedade exclusiva é ter as diagonais iguais; o professor diz que ele é o único quadrilátero dessa lista com essa característica. Com lados $a$ e $b$, o teorema de Pitágoras dá $\sqrt{a^2+b^2}$ para as duas diagonais, que por isso são iguais.

O losango é um quadrilátero com quatro lados iguais; por consequência, é também um paralelogramo, e herda suas propriedades (ângulos opostos iguais, diagonais que se cortam ao meio). Suas diagonais não são iguais, mas ele tem duas propriedades que só ele carrega: as diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos.

Prova da perpendicularidade: chamando o lado de $L$ e as metades das diagonais de $A$ e $B$, os quatro triângulos em que as diagonais dividem o losango têm lados $A$, $B$ e $L$ e são todos congruentes. Os quatro ângulos em torno do centro são então iguais e somam $360^{\circ }$; cada um vale $360^{\circ }\mathrm{/}4=90^{\circ }$.

Essa mesma congruência prova a bissetriz: os ângulos opostos aos lados iguais nos triângulos congruentes são iguais, de modo que cada diagonal divide o ângulo do vértice em duas partes iguais. O professor ressalta que as duas propriedades valem para o losango e que tudo isso saiu da simples observação de que os quatro triângulos são iguais.

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Quadrado: retângulo e losango juntos

O quadrado é descrito como o casamento do retângulo com o losango: é um quadrilátero com quatro ângulos de $90^{\circ }$ (logo, um retângulo) e, além disso, quatro lados iguais (logo, um losango). Ele carrega todas as propriedades dos dois e é o mais simples e, ao mesmo tempo, o mais importante dos quadriláteros.

Por ser losango, cada diagonal divide o ângulo ao meio; como o ângulo do quadrado é $90^{\circ }$, aparecem ângulos de $45^{\circ }$ nos vértices. Também por ser losango, as diagonais se cortam perpendicularmente, formando ângulos de $90^{\circ }$ no centro. Por ser retângulo (e paralelogramo), as diagonais são iguais e se cortam nos respectivos pontos médios, de modo que os quatro segmentos do centro até os vértices são iguais.

O resultado mais usado: a diagonal do quadrado. Com lado $a$, o teorema de Pitágoras dá $d^2=a^2+a^2=2a^2$, portanto $d=a\sqrt{2}$. O professor alerta que esse fato é muito útil e que é preciso cuidado: o 2 está dentro da raiz. Se esquecer a fórmula, não há problema, basta jogar Pitágoras de novo.

▶ Ver este trecho no vídeo (11:09:00)

Dois exemplos rápidos: perímetro do losango e quadrados encaixados

O primeiro exemplo pede o perímetro de um losango com diagonais de 10 e 24. Quem conhece as propriedades resolve quase de cabeça: traçam-se as diagonais, que se cortam perpendicularmente e nos pontos médios. Cada triângulo retângulo tem catetos $5$ (metade de 10) e $12$ (metade de 24). Por Pitágoras, a hipotenusa é $\sqrt{25+144}=13$, e é o lado do losango (um triângulo notável, o 5-12-13). O perímetro é $4\times 13=52$. Sem as propriedades, o professor lembra, nada sai.

O segundo exemplo traz uma figura formada por quadrados de tamanhos diferentes encaixados: um pequeno, um médio, um maior e um quadrado grande de lado 6. Pede-se a diagonal do retângulo formado. A dica é começar pelo menor: se o lado do quadrado pequeno é $x$, o do médio é $2x$ e o do grande é $3x$. Começar pelo maior é ruim, porque não se sabe como o lado de 6 se distribui entre as partes.

Como o lado do quadrado grande é $3x=6$, resulta $x=2$. Os catetos do triângulo que gera a diagonal são então $5x=10$ (soma $6+2+2$) e $3x=6$. Por Pitágoras, $d^2=10^2+6^2=136$, portanto $d=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$. O professor comenta que o número é feio, mas é o resultado.

▶ Ver este trecho no vídeo (11:13:00)

Questão modelo: a cerca do terreno em forma de paralelogramo

A questão do final reúne várias propriedades. Um terreno tem a forma de um paralelogramo com lados de $50$ m e $30$ m, e a distância entre os lados maiores é $24$ m. O dono quer cercá-lo e dividi-lo em duas partes de mesma área, com estacas em cada vértice e cercas ligando estacas, cada trecho com três fios de arame. Pergunta-se o comprimento mínimo de arame a comprar.

O professor recomenda desenhar enquanto lê, porque o enunciado é muito descritivo. O contorno dá $50+50+30+30=160$ m, mas há o trecho de divisão: só se pode ligar duas estacas, ou seja, uma das duas diagonais, e ambas dividem o terreno em duas áreas iguais (os dois triângulos são congruentes). Escolhe-se a menor diagonal, para gastar menos arame.

Para achar essa diagonal, traça-se uma perpendicular de $24$ m entre os lados maiores. Forma-se um triângulo retângulo de hipotenusa $30$ e cateto $24$: é o triângulo 3-4-5 multiplicado por $6$, então o outro cateto vale $18$. O que falta para chegar a $50$ é $50-18=32$. O professor nota que $24=8\times 3$ e $32=8\times 4$, de modo que o triângulo da diagonal é o 3-4-5 ampliado 8 vezes, com hipotenusa $8\times 5=40$ (também dá para jogar Pitágoras). A gravação do capítulo termina aqui, antes de ele fechar a conta.

▶ Ver este trecho no vídeo (11:19:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: pitagoras proporcao media aritmetica

As 3 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em polígonos notáveis (geometria plana)

1. 01

   Aplicar Pitágoras em triângulo que não é retângulo

   Aplicar Pitágoras em triângulo que não é retângulo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Dar o 2 fora da raiz na diagonal do quadrado

   Dar o 2 fora da raiz na diagonal do quadrado: é $a\sqrt{2}$, não $2a$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Achar que as diagonais do paralelogramo ou do losango são

   Achar que as diagonais do paralelogramo ou do losango são iguais: só no retângulo (e no quadrado) são.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Usar as diagonais inteiras como lados no losango, em vez

   Usar as diagonais inteiras como lados no losango, em vez das metades.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Começar pelo quadrado maior em figuras de quadrados

   Começar pelo quadrado maior em figuras de quadrados encaixados, quando o certo é partir do menor.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Esquecer a cerca divisória

   Esquecer a cerca divisória (ou o número de fios) numa questão de contorno mais divisão.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Polígonos Notáveis (Geometria Plana) no ENEM