Triângulo e Pontos Notáveis (Geometria Plana) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 50 minutos: o índice

Como o ENEM cobra triângulo e pontos notáveis (geometria plana)

O professor diz que a prova costuma pedir o nome e o significado dos pontos notáveis, e por isso as alternativas da questão misturam baricentro, circuncentro, incentro e ortocentro. Ele avalia que as propriedades mais úteis são a das seis áreas iguais do baricentro e o significado geométrico de cada centro (circunscrita, inscrita, centro de massa), e que a razão 2 para 1 e o ortocentro são menos relevantes. Ele não cita estatística de recorrência.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Área do triângulo (base vezes altura sobre dois)
• Teorema de Pitágoras
• Semelhança e congruência de triângulos (noção)
• Circunferência: conjunto de pontos à mesma distância do centro

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Mediana e baricentro (G), com razão 2x para x
• Mediatriz e circuncentro, centro da circunferência circunscrita
• Bissetriz e incentro, centro da circunferência inscrita
• Altura e ortocentro
• Prova das seis áreas iguais: x+2y = x+2z logo y=z; 2x+z = 2y+z logo x=y
• Questão modelo ENEM do terreno de Luigi com resposta baricentro

O problema motivador: dividir um terreno triangular em seis partes iguais

A aula abre com uma questão inédita no modelo ENEM, que o professor lê sem resolver de imediato, para que o aluno pense antes. Luigi, pai de seis filhos, quer deixar em testamento um terreno de 120 ha em formato de triângulo não regular, dividido em áreas iguais entre os filhos. Um amigo matemático, Felipe, afirma que, conhecendo os três vértices da região, basta localizar um único ponto para fazer a divisão. A pergunta é qual ponto é esse.

As alternativas listam os pontos notáveis do triângulo: baricentro, circuncentro, incentro, ortocentro e uma variante com bissetrizes externas (o exincentro, que o professor chama de pouco usual). O professor avisa que a ideia não é apenas marcar a alternativa certa, mas construir o significado de cada elemento: medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas, e os pontos em que elas se encontram.

O triângulo desenhado é propositalmente "esquisito", sem nenhuma regularidade, para reforçar que as propriedades valem para qualquer triângulo. A aula percorre cada elemento na ordem em que ele é necessário para resolver o problema: primeiro a mediana, que contém a resposta, e depois as demais cevianas notáveis, para o aluno distinguir um ponto do outro.

▶ Ver este trecho no vídeo (08:45:00)

Mediana e baricentro: ponto de encontro das medianas e razão 2 para 1

Mediana é o segmento que parte de um vértice e vai até o ponto médio do lado oposto, dividindo esse lado ao meio. Como o triângulo tem três lados, há três medianas, e elas se cruzam em um único ponto, o baricentro, chamado de G na aula.

O professor destaca duas propriedades do baricentro. A primeira, que ele considera menos relevante para o ENEM, é que o baricentro divide cada mediana na razão de 2 para 1: do vértice até G a distância é o dobro da distância de G até o ponto médio do lado. Se a mediana mede $3\text{ m}$, o trecho do vértice ao baricentro mede $2\text{ m}$ e o restante mede $1\text{ m}$. Ele verifica isso recortando o pedaço menor e encaixando-o duas vezes no maior, nas três medianas, e avisa que a verificação é visual, não uma demonstração formal.

A segunda propriedade, a mais importante, é que as três medianas dividem o triângulo em seis triângulos de áreas iguais. É essa propriedade que resolve o problema do terreno, e a aula dedica os minutos seguintes a prová-la.

▶ Ver este trecho no vídeo (08:47:00)

Por que as medianas dividem o triângulo em seis áreas iguais

A prova usa um único argumento repetido: dois triângulos com a mesma base e a mesma altura têm a mesma área, mesmo que tenham formatos diferentes. Tomando o triângulo menor formado por meia mediana, os dois triângulos que partem do ponto médio de um lado têm bases iguais, pois a mediana divide o lado ao meio. As alturas relativas a essas bases também são iguais; basta traçar a perpendicular ao prolongamento do lado, e a altura pode cair fora do triângulo.

Assim, chamando de $x$ essa área, aparecem duas regiões de área $x$. O mesmo raciocínio, aplicado às outras duas medianas, produz regiões de áreas $y$ e $z$ em pares. Depois, o professor compara os triângulos maiores: o da esquerda e o da direita do triângulo todo têm a mesma área $A$. Olhando por um lado, $A=x+2y$; olhando pelo outro, $A=x+2z$. Cancelando $x$, conclui-se que $y=z$.

Repetindo o argumento com outro par de triângulos, chega-se a $2x+z=2y+z$, logo $x=y$. Então $x=y=z$ e as seis áreas são iguais. O professor insiste que isso mostra por que a ideia funciona, para o aluno não ser "um reprodutor de ideias". O nome também ajuda: "bari" vem de massa, e o baricentro é o centro de massa: uma chapa triangular homogênea fica em equilíbrio se apoiada nesse ponto, pois cada parte tem a mesma quantidade de massa.

▶ Ver este trecho no vídeo (08:53:00)

Resposta do problema e a mediatriz como lugar geométrico

Com a propriedade provada, o problema do terreno fica resolvido: o ponto procurado é o baricentro, ponto de encontro das medianas, que divide o triângulo em seis áreas iguais, uma para cada filho. O professor refaz o desenho final, traçando as três medianas a partir dos pontos médios, e observa que a questão exige apenas conhecer a mediana, o baricentro e sua propriedade mais importante.

Em seguida ele passa às mediatrizes. A mediatriz de um segmento $AB$ é o conjunto de todos os pontos do plano equidistantes de $A$ e de $B$. Constrói-se marcando o ponto médio e traçando a reta perpendicular ao segmento por esse ponto. Para mostrar que a propriedade vale, ele toma um ponto $P$ qualquer da mediatriz: os triângulos retângulos formados com $A$ e com $B$ têm um cateto comum (a distância de $P$ ao ponto médio) e outro cateto igual (metade de $AB$). Pelo teorema de Pitágoras, as hipotenusas $PA$ e $PB$ são iguais.

O mesmo vale para qualquer outro ponto da reta. O professor frisa que a mediatriz não precisa terminar em um vértice, ao contrário da mediana: é só uma reta perpendicular ao lado pelo seu ponto médio.

▶ Ver este trecho no vídeo (09:08:00)

Circuncentro: o ponto de encontro das mediatrizes e a circunferência circunscrita

Traçando as mediatrizes dos três lados de um triângulo, elas se encontram em um único ponto, o circuncentro. O raciocínio é este: um ponto da mediatriz de $BC$ está à mesma distância de $B$ e de $C$; um ponto da mediatriz de $AB$ está à mesma distância de $A$ e de $B$; e o mesmo vale para $AC$.

O ponto onde as três retas se cruzam pertence às três ao mesmo tempo, portanto está à mesma distância de $A$, de $B$ e de $C$. Como uma circunferência é justamente o conjunto de pontos à mesma distância de um centro, existe uma circunferência que passa pelos três vértices, e esse ponto é o centro dela. Por isso se chama circunscrita: é externa ao triângulo e passa por seus vértices.

O professor volta à alternativa da questão: o circuncentro é o ponto de interseção das mediatrizes, afirmação correta, mas que não divide o triângulo em seis áreas iguais, o que só o baricentro faz. Aproveita para destacar que o nome ajuda a lembrar: circuncentro é o centro da circunferência circunscrita.

▶ Ver este trecho no vídeo (09:20:00)

Altura e ortocentro

A altura é o elemento mais simples. Ela sai de um vértice e é perpendicular ao lado oposto (ou ao seu prolongamento). A aula já usou essa ideia ao calcular áreas, com a fórmula base vezes altura sobre dois, e já mostrou que a altura pode cair fora do triângulo.

As três alturas de um triângulo também se encontram em um único ponto, o ortocentro, que o professor chama de $O$. Ele deixa claro que esse ponto não é tão relevante quanto os outros e não aprofunda: cita o nome apenas para que o aluno reconheça a alternativa "ponto de interseção das alturas" que aparecia na questão, e não a escolha por engano.

A orientação prática dele é que os nomes importantes são os intuitivos: circuncentro é o centro da circunferência circunscrita, e baricentro lembra massa. O ortocentro é o ponto das alturas, e basta lembrar disso.

Em resumo, para esta aula basta saber que três segmentos partem de vértices (mediana, altura e bissetriz) e um parte do meio do lado (mediatriz), e que cada trio se encontra em um ponto com nome próprio.

▶ Ver este trecho no vídeo (09:22:00)

Bissetriz e incentro: a circunferência inscrita

Dadas duas retas que se cruzam e determinam um ângulo, a bissetriz é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância das duas retas. O fato de ela dividir o ângulo ao meio é consequência dessa propriedade. O professor testa com pontos a $1\text{ m}$ e a $1,5\text{ m}$ de cada reta, que ficam todos sobre a mesma semirreta.

Para provar, ele toma um ponto qualquer da bissetriz e traça as perpendiculares até os dois lados, de comprimentos $x$ e $y$. Os dois triângulos retângulos formados têm um ângulo igual (metade do ângulo original) e o ângulo reto, logo são semelhantes; como compartilham a hipotenusa, a razão de semelhança é $1$ e eles são congruentes. Então $x=y$. Lembrando que distância de ponto a reta é sempre medida pela perpendicular.

Num triângulo, as três bissetrizes internas se encontram em um ponto, o incentro. Ele está à mesma distância dos três lados, de modo que existe uma circunferência tangente aos três lados com centro nele: a circunferência inscrita, interior ao triângulo. O professor cita ainda o exincentro, ponto das bissetrizes externas, que considera bem menos usual.

▶ Ver este trecho no vídeo (09:24:00)

Recapitulação das cevianas e pontos notáveis

Na recapitulação, o professor diz que a essência do triângulo está nesses elementos. A mediana une o ponto médio de um lado ao vértice oposto; a mediatriz parte do ponto médio de um lado e é perpendicular a ele; a bissetriz divide o ângulo ao meio; a altura liga o vértice ao lado oposto, perpendicularmente.

Os pontos de encontro são: baricentro (medianas), circuncentro (mediatrizes), incentro (bissetrizes) e ortocentro (alturas). O baricentro divide cada mediana na razão 2 para 1, detalhe que o professor considera específico demais para o contexto do ENEM, e divide o triângulo em seis triângulos de áreas iguais, o que era justamente relevante para o plano do terreno.

A transcrição termina no meio da frase em que ele inicia mais algumas observações finais, então o fecho da aula pode ter conteúdo adicional que não consta da fonte.

O caminho sugerido é guardar o significado de cada nome (centro de massa, centro da circunscrita, centro da inscrita) e não só a definição decorada, pois é assim que o aluno distingue as alternativas da questão sem confundir um ponto com outro.

▶ Ver este trecho no vídeo (09:31:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: pitagoras proporcao

As 1 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em triângulo e pontos notáveis (geometria plana)

1. 01

   Confundir os pontos notáveis

   Confundir os pontos notáveis: o circuncentro (mediatrizes) não divide o triângulo em seis áreas iguais; quem faz isso é o baricentro.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Achar que dois triângulos de mesma área precisam ser

   Achar que dois triângulos de mesma área precisam ser congruentes ou semelhantes; basta terem mesma base e mesma altura.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Pensar que a altura sempre fica dentro do triângulo; ela

   Pensar que a altura sempre fica dentro do triângulo; ela pode cair no prolongamento do lado.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Achar que a mediatriz termina no vértice oposto; ela é só

   Achar que a mediatriz termina no vértice oposto; ela é só perpendicular ao lado pelo ponto médio.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Medir distância de ponto a reta fora da perpendicular

   Medir distância de ponto a reta fora da perpendicular.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Triângulo e Pontos Notáveis (Geometria Plana) no ENEM