Circunferência (Geometria Plana) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 59 minutos: o índice

Como o ENEM cobra circunferência (geometria plana)

O professor afirma que as duas questões resolvidas (circunferência inscrita no triângulo $6$, $8$, $10$ e quatro circunferências tangentes) já caíram no ENEM praticamente iguais, uma delas relativamente recente. O que se cobra é combinar propriedades de tangência com ângulos, polígonos regulares e comprimento de arco, não decorar fórmula isolada. A dica repetida é ligar o centro aos pontos de tangência e os centros entre si.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Teorema de Pitágoras
• Triângulos isósceles e retângulos
• Polígonos regulares e área de polígonos (aula anterior)
• Regra de três e radianos

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Elementos: centro, raio, corda, diâmetro e arco
• $C=2\pi R$ (com $R=5$: $10\pi \approx 31,4$ cm)
• Arco: $L=\frac{\alpha }{360}\cdot 2\pi R$ (graus) e $L=\alpha R$ (radianos), com exemplos $L=4\pi$ e $L=2\pi$ m
• Tangente: raio perpendicular e $PA=PB$; secante: raio até o ponto médio da corda
• Exemplos: perímetro do $\mathrm{△}APQ=20$, cordas paralelas com $R=5$, circunferência inscrita $R=2$, quatro círculos $R=6(1+\sqrt{2})$
• Questão modelo ENEM (2023) da correia em volta de 7 circunferências: $x=2$

Elementos da circunferência: centro, raio, corda, diâmetro e arco

A aula começa fixando o vocabulário que precisa estar na ponta da língua. O centro é o ponto de onde todos os pontos da circunferência estão à mesma distância, e essa distância é o raio $r$. Arco é qualquer pedaço da circunferência, e corda é qualquer segmento que começa e termina sobre ela.

Entre as cordas há uma especial: a que passa pelo centro. Ela é a maior corda possível, mede dois raios e recebe o nome de diâmetro, de modo que $d=2r$. O professor insiste que, ao ouvir centro, raio, diâmetro, corda e arco, o aluno deve saber de imediato do que se trata, porque todas as propriedades seguintes dependem desses nomes.

Os primeiros minutos do trecho ainda fecham a aula anterior (área de polígonos): o professor lembra que a área do triângulo, base vezes altura sobre dois, permite obter a área de qualquer polígono, seja hexágono, octógono ou outro, sem exceção. Depois disso, passa à circunferência, com o cuidado de lembrar que o círculo é uma figura curva e que, por isso, não se calcula seu contorno somando lados.

▶ Ver este trecho no vídeo (12:16:00)

Comprimento da circunferência: $C=2\pi r$

Para um polígono, o perímetro é a soma dos lados. A circunferência é uma linha curva, de uma peça só, e não se divide em pedaços retos. O professor propõe imaginar que se corte a circunferência de raio $r$ e se estique a linha: o comprimento obtido é $C=2\pi r$. Chamar isso de perímetro da circunferência não está errado, mas a convenção é falar em comprimento.

Exemplo numérico: com raio $5$, o comprimento é $2\pi \cdot 5=10\pi$. Se a unidade for o centímetro, isso é aproximadamente $31,4$ cm. Ou seja, um barbante que contorne uma circunferência de $5$ cm de raio precisa ter por volta de $31$ cm.

O professor recomenda se acostumar com o fato de que $\pi$ é apenas um número, aproximadamente $3,14$. Em geral não é preciso substituir $\pi$ pelo valor aproximado: ele só faz a aproximação ali para dar noção de tamanho, e a resposta pode ficar em função de $\pi$.

▶ Ver este trecho no vídeo (12:21:00)

Comprimento de um arco: regra de três e a fórmula em graus e em radianos

Para o comprimento $L$ de um pedaço da circunferência são necessárias duas informações: o raio, porque quanto maior o raio maior o arco, e a abertura $\alpha$ do ângulo central. A ideia é comparar com a circunferência inteira por regra de três. Em graus, o ângulo $360^{\circ }$ corresponde ao comprimento $2\pi r$, e o ângulo $\alpha$ corresponde a $L$. Multiplicando em cruz, $L={\displaystyle \frac{\alpha }{360}}\cdot 2\pi r$.

O professor prefere deixar a fórmula assim, sem simplificar o $2$ com o $360$, porque o fator $\alpha \mathrm{/}360$ tem significado: é a fração da circunferência. Se $\alpha =180^{\circ }$, é metade do total; se $\alpha =60^{\circ }$, é um sexto de $2\pi r$. Isso ajuda a memorizar e a fazer de cabeça os ângulos conhecidos.

Em radianos, a circunferência inteira é $2\pi$ e a regra de três simplifica para $L=\alpha r$. O aviso é que $\alpha$ tem de estar em radianos nessa versão e em graus na outra; não se misturam. Dá para memorizar as duas fórmulas ou refazer a regra de três toda vez.

Exemplo 1: ângulo de $90^{\circ }$ e raio $8$. Como $90^{\circ }$ é um quarto da circunferência, $L=\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 8=4\pi$, cerca de $12,6$. Em radianos, $90^{\circ }=\pi \mathrm{/}2$ e $L=\frac{\pi }{2}\cdot 8=4\pi$, o mesmo resultado. Exemplo 2: ângulo $\pi \mathrm{/}6$ e raio $12$ (valor a conferir no vídeo), que dá $L=\frac{\pi }{6}\cdot 12=2\pi$, aproximadamente $6,2$.

▶ Ver este trecho no vídeo (12:23:00)

Reta tangente: o raio forma $90^{\circ }$ no ponto de tangência

Uma reta pode ser externa à circunferência, tangente (toca em um único ponto) ou secante (corta em dois pontos). O professor chama de indescritivelmente importantes as propriedades da tangente e da secante.

A primeira: o segmento que liga o centro ao ponto de tangência é um raio e forma sempre $90^{\circ }$ com a reta tangente, em qualquer posição. Ele faz questão de dizer que a perpendicularidade vale com o segmento que sai do centro até o ponto de tangência, e não com qualquer reta. A dica prática é: apareceu tangente, ligue o centro ao ponto de tangência. Pode não resolver tudo de imediato, mas ajuda muito.

A segunda: por um ponto externo $P$ passam infinitas retas, mas apenas duas são tangentes. Chamando os pontos de tangência de $A$ e $B$, vale $PA=PB$, para qualquer ponto externo. A demonstração liga $P$ e os pontos $A$ e $B$ ao centro $O$, formando dois triângulos retângulos com a mesma hipotenusa $PO$ e um cateto igual ao raio. Por Pitágoras, $P{A}^2=P{O}^2-r^2=P{B}^2$, logo $PA=PB$. O professor ressalta que a demonstração serve para visualizar; o que se precisa guardar é o resultado.

▶ Ver este trecho no vídeo (12:34:00)

Reta secante e corda: ligue o centro ao ponto médio

Para a secante, a ideia é parecida. Pelo ponto de tangência, o raio é perpendicular à reta. Subindo a reta tangente em paralelo, o ângulo com o raio não muda, e o professor mostra que, num segmento (corda) qualquer, o triângulo formado pelo centro e pelas duas pontas é isósceles, porque dois lados são raios.

No triângulo isósceles, a mediana, a altura e a bissetriz relativas à base coincidem. Portanto, o segmento do centro ao ponto médio da corda forma $90^{\circ }$ com ela e, reciprocamente, a perpendicular baixada do centro passa pelo ponto médio. A dica é ligar o centro ao ponto médio da corda, e não a um ponto qualquer dela.

Também aparece a observação de que, quanto mais longe do centro, menor a corda; cordas de mesmo comprimento estão à mesma distância do centro.

Aplicação 1 (tangentes): de um ponto $P$ saem duas tangentes e uma terceira tangente corta as duas em $A$ e $B$, formando o triângulo $APQ$ com $AB=10$ (o professor usa $AB$ para o segmento da terceira tangente; a figura não aparece na legenda). Chamando $x$ e $y$ os pedaços iguais em $A$ e $B$, os lados são $10-x$, $10-y$ e $x+y$, e o perímetro fecha em $20$ sem precisar do ângulo. Aplicação 2 (cordas): duas cordas paralelas de $8$, distantes $6$ entre si, estão a $3$ do centro cada uma; com a metade da corda, $4$, o triângulo retângulo $3$, $4$, $5$ dá raio $5$.

▶ Ver este trecho no vídeo (12:42:00)

Duas questões que já caíram no ENEM: circunferência inscrita e quatro círculos

A primeira questão tem um triângulo retângulo de lados $6$, $8$ e $10$ com uma circunferência inscrita, tangente aos três lados, e pede o raio. Ligam-se o centro aos pontos de tangência: surgem raios perpendiculares aos lados. No vértice do ângulo reto forma-se um quadrado de lado $r$, de modo que sobram $6-r$ e $8-r$ nos catetos.

Pela propriedade das tangentes a partir de um ponto externo, os dois pedaços da hipotenusa medem $6-r$ e $8-r$. Como a hipotenusa vale $10$, tem-se $(6-r)+(8-r)=10$, logo $2r=4$ e $r=2$.

A segunda questão traz quatro circunferências de raio $6$, tangentes entre si, e uma circunferência maior que as contém, tangente a todas. A dica é ligar os centros: forma-se um quadrado de lado $12$ (dois raios). O professor adverte que ligar os centros a qualquer ponto não ajuda; o ponto inteligente é o de tangência, onde há raio e ângulo reto.

As quatro circunferências pequenas estão dentro da grande, tangentes a ela. A diagonal do quadrado mede $12\sqrt{2}$ e liga dois centros opostos passando pelo centro da grande. Somando o raio $6$ de cada ponta, o conjunto forma um diâmetro da circunferência grande: $2R=12\sqrt{2}+6+6$. Simplificando, $R=6\sqrt{2}+6=6(1+\sqrt{2})$. O professor diz que as duas questões caíram em provas passadas do ENEM praticamente iguais; a legenda não traz o enunciado oficial.

▶ Ver este trecho no vídeo (12:53:00)

Questão modelo ENEM: a correia em volta de sete circunferências

O enunciado: sete circunferências de mesmo raio, tangentes entre si, uma central e seis ao redor, e uma correia que contorna as seis externas. A informação é o comprimento da correia, que a legenda registra como $4\pi +6$ metros (provavelmente $4(\pi +6)$, pelo que o professor simplifica depois), e se pergunta o raio. Seja $x$ o raio.

A correia ora acompanha uma circunferência, ora segue em linha reta. Ligando os centros das seis circunferências externas obtém-se um hexágono regular de lado $2x$. Nos trechos retos, a correia forma retângulos de lados $x$ e $2x$ com o hexágono, de modo que cada trecho reto mede $2x$; são seis, somando $12x$.

Nos trechos curvos, falta o ângulo $\theta$ de cada arco. Os ângulos internos do hexágono regular valem $120^{\circ }$ (seis triângulos equiláteros de $60^{\circ }$). Em cada vértice, $90^{\circ }+90^{\circ }+120^{\circ }=300^{\circ }$ e faltam $60^{\circ }$ para $360^{\circ }$, que é o arco de cada curva. Seis arcos de $60^{\circ }$ somam $360^{\circ }$, uma circunferência inteira de raio $x$, isto é, $2\pi x$. Pela fórmula, cada arco vale $\frac{60}{360}\cdot 2\pi x$ e seis deles dão $2\pi x$.

O comprimento total é $12x+2\pi x=2x(6+\pi )$. Igualando ao dado, que o professor escreve como $4(\pi +6)$, resulta $2x=4$ e $x=2$. Fecha-se a aula notando que a questão reuniu hexágono, ângulos, tangência e comprimento de arco, e que a próxima aula trata de áreas circulares (círculo, setor, segmento e coroa).

▶ Ver este trecho no vídeo (13:04:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: pitagoras proporcao

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · questão que já caiu no ENEM (resolvida pelo professor)

Questão 04 · questão que já caiu no ENEM (resolvida pelo professor)

Questão 05 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em circunferência (geometria plana)

1. 01

   Dizer que a perpendicularidade vale com qualquer reta,

   Dizer que a perpendicularidade vale com qualquer reta, quando é com o segmento do centro ao ponto de tangência.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Misturar graus e radianos nas duas fórmulas de arco

   Misturar graus e radianos nas duas fórmulas de arco.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Ligar o centro a um ponto qualquer da corda, em vez do ponto

   Ligar o centro a um ponto qualquer da corda, em vez do ponto médio.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Ligar pontos sem sentido na figura, em vez dos pontos

   Ligar pontos sem sentido na figura, em vez dos pontos de tangência e dos centros.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Substituir $\pi$ por $3{,}14$ sem necessidade, em vez

   Substituir $\pi$ por $3,14$ sem necessidade, em vez de deixar a resposta em função de $\pi$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Achar que falta dado quando falta o ângulo; a propriedade

   Achar que falta dado quando falta o ângulo; a propriedade das tangentes pode eliminar as incógnitas.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Circunferência (Geometria Plana) no ENEM