Área de Polígonos (Geometria Plana) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 50 minutos: o índice

Como o ENEM cobra área de polígonos (geometria plana)

O professor diz que a altura e a área do triângulo equilátero são dois resultados que "com certeza" aparecem na prova. A questão modelo mostra o estilo: dar a área de uma figura para você descobrir o lado e combinar polígonos, com triângulo equilátero, Pitágoras e semelhança. Ele alerta que a figura pode ser difícil de visualizar e que o truque é traçar as diagonais ou procurar triângulos.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Teorema de Pitágoras
• Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo (seno de $60^{\circ }$)
• Polígonos notáveis e suas características (aula anterior)
• Semelhança e congruência de triângulos

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Triângulo: $A=\frac{1}{2}bh$ e $A=\frac{1}{2}ab\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta$ (exemplo $12\sqrt{3}$ com lados 8 e 6 e ângulo de $60^{\circ }$)
• Triângulos especiais: retângulo $A=\frac{1}{2}bc$ (3-4-5, área 6) e equilátero $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $A=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
• Hexágono regular: $A=6\cdot A_{\mathrm{△}eq}$
• Quadriláteros: trapézio $\frac{(B+b)h}{2}$, paralelogramo $bh$, losango $\frac{Dd}{2}$, retângulo $ab$, quadrado $a^2$
• Questão modelo ENEM: hexágono de área $18\sqrt{3}$ e quadrado de área 16; resposta 25 (alternativa b)

Autonomia: toda área de polígono nasce da área do triângulo

O professor abre dizendo que, nesta aula, quase não há fórmula nova para aprender. A ideia central é a autonomia: em vez de memorizar uma fórmula para cada figura, o aluno precisa dominar apenas uma, a área do triângulo, porque a área de qualquer polígono se obtém dividindo a figura em triângulos. Se você sabe calcular a área de um triângulo, diz ele, sabe calcular praticamente tudo.

A área do triângulo é metade da base vezes a altura. O professor prefere escrever o $\frac{1}{2}$ na frente ($A=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h$) em vez de colocar o 2 embaixo, porque, com números feios, o passo de dividir por dois no fim costuma gerar erro. Exemplo dele: base $\sqrt{5}\mathrm{/}4$ e altura $16$. Com o meio na frente, $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}}{4}\cdot 16$ simplifica direto e dá $2\sqrt{5}$. As duas formas estão certas; é questão de praticidade.

Sobre os elementos: a base é um dos lados e a altura é a distância do vértice oposto até a reta da base, formando $90^{\circ }$. Um triângulo não tem uma base só. Qualquer lado pode ser tomado como base, e a altura muda conforme a base escolhida: é sempre a distância do vértice oposto àquela base, perpendicular a ela.

Para o professor, o conteúdo da aula se resume a isso. Ele só formaliza as demais fórmulas porque são práticas, mas insiste que todas saem dessa. Quem esquecer uma fórmula pode reconstruí-la a partir do triângulo.

▶ Ver este trecho no vídeo (11:27:30)

Altura desconhecida: lado, lado e o ângulo entre eles

O professor propõe então uma situação mais difícil: um triângulo com base $7$ (depois trocada por $8$ para facilitar a conta), um outro lado de medida $6$ que não é a altura e um ângulo de $60^{\circ }$ entre eles. Falta a altura, que é o que a fórmula pede. O caminho é construí-la: baixar a perpendicular do vértice até a base, formando um triângulo retângulo auxiliar.

Nesse triângulo, a altura $h$ é o cateto oposto ao ângulo de $60^{\circ }$ e o lado $6$ é a hipotenusa. A relação que liga cateto oposto e hipotenusa é o seno: $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}60^{\circ }=h\mathrm{/}6$, logo $h=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$. Com a base $8$, a área é $\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 3\sqrt{3}=12\sqrt{3}$.

Em seguida, o professor generaliza. Chamando os dois lados de $a$ e $b$ e o ângulo entre eles de $\theta$, vale $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta =h\mathrm{/}a$, ou seja, $h=a\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta$. Substituindo na fórmula base vezes altura sobre dois, obtém-se $A=\frac{1}{2}ab\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta$: metade do produto de dois lados pelo seno do ângulo entre eles.

Ele testa a fórmula no exemplo: $\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}60^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$, o mesmo valor, com uma única conta. A segunda fórmula não é independente: foi deduzida da primeira. Quando a prova dá dois lados e o ângulo entre eles, ela é o atalho; quem lembrar só a primeira chega ao mesmo lugar.

▶ Ver este trecho no vídeo (11:33:00)

Triângulos especiais: retângulo e equilátero

No triângulo retângulo, os dois catetos já são perpendiculares entre si, então um serve de base e o outro de altura: $A=\frac{1}{2}\cdot \text{cateto}\cdot \text{cateto}$. Não é fórmula nova, é a mesma com um caso particular. Se o enunciado der a hipotenusa e um cateto, o outro sai por Pitágoras. Exemplo do professor: catetos $3$ e hipotenusa $5$ dão o outro cateto $4$ e área $\frac{3\cdot 4}{2}=6$. A orientação do desenho não importa: virando o triângulo, a base passa a ser $3$ e a altura $4$, e a área continua $6$.

No triângulo equilátero de lado $a$, o professor diz que são dois resultados que o aluno deve saber, porque aparecem com certeza na prova: a altura e a área. Ele deduz a altura baixando a perpendicular: o triângulo retângulo formado tem hipotenusa $a$ e ângulo de $60^{\circ }$, então $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}60^{\circ }=h\mathrm{/}a$ e $h={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$.

Para a área, há dois caminhos. Pela base e altura: $A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$. Pela fórmula dos dois lados e do ângulo: $\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}60^{\circ }$, que dá o mesmo resultado. O professor destaca que a única ferramenta usada até aqui foi base vezes altura sobre dois, e que ela basta para qualquer triângulo e qualquer polígono.

▶ Ver este trecho no vídeo (11:42:00)

Hexágono regular: seis triângulos equiláteros

O hexágono regular é formado por seis triângulos equiláteros. Ao traçar as diagonais que passam pelo centro, ele se divide em seis triângulos de lado igual ao lado do hexágono. Portanto, a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero de mesmo lado.

Com a área do equilátero ${\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$, resulta $A_{hex}=6\cdot {\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}}$. O professor, porém, não quer que o aluno memorize essa expressão final: basta lembrar do raciocínio, seis vezes o triângulo equilátero de mesmo lado, e substituir.

Ele encerra o bloco dos triângulos dizendo que as áreas do triângulo e, por consequência, do hexágono regular, estão fechadas. A partir daqui, passa para os quadriláteros: trapézio, paralelogramo, retângulo, losango e quadrado. Pergunta retoricamente se são cinco fórmulas novas e responde que sim e não: sim, existem cinco fórmulas, mas todas derivam do triângulo e podem ser reconstruídas na hora.

▶ Ver este trecho no vídeo (11:51:00)

Trapézio, paralelogramo, retângulo, quadrado e losango

No trapézio, com base maior $B$, base menor $b$ e altura $h$, a diagonal o divide em dois triângulos. Um tem base $B$ e altura $h$, com área $\frac{Bh}{2}$. O outro, de ponta-cabeça, tem base $b$ e a mesma altura $h$ (a altura é a mesma, pois as bases são paralelas), com área $\frac{bh}{2}$. Somando e colocando $\frac{h}{2}$ em evidência: $A={\displaystyle \frac{(B+b)h}{2}}$.

No paralelogramo de base $b$ e altura $h$, uma diagonal o divide em dois triângulos iguais, cada um com base $b$ e altura $h$. Cada um vale $\frac{bh}{2}$ e, somados, $A=b\cdot h$. No retângulo, as diagonais o dividem em dois triângulos retângulos de catetos $a$ e $b$, cada um com $\frac{ab}{2}$, e a área total é $a\cdot b$. O quadrado é o caso particular do retângulo com os dois lados iguais: $A={\mathrm{\ell }}^2$.

No losango, o professor diz que o mais importante é traçar as diagonais. A maior é $D$ e a menor é $d$, e elas se cruzam em ângulo reto. Isso divide o losango em quatro triângulos retângulos iguais, de catetos $D\mathrm{/}2$ e $d\mathrm{/}2$. A área de cada um é $\frac{1}{2}\cdot \frac{D}{2}\cdot \frac{d}{2}=\frac{Dd}{8}$. Multiplicando por quatro, obtém-se $A={\displaystyle \frac{D\cdot d}{2}}$.

O professor fecha o bloco repetindo a mensagem: todas as fórmulas são a mesma, base vezes altura sobre dois, e a única coisa que o aluno precisa saber, em última análise, é essa.

▶ Ver este trecho no vídeo (11:54:00)

Questão modelo: três quadrados e um hexágono regular

O enunciado, lido pelo professor: a figura mostra três quadrados e um hexágono regular; a área do hexágono é $18\sqrt{3}$ e a do quadrado da extremidade é $16$; pergunta-se a área do maior quadrado. O primeiro passo é achar o lado do hexágono, já que a área é conhecida. Com $A_{hex}=6\cdot {\displaystyle \frac{x^2\sqrt{3}}{4}}=18\sqrt{3}$, o $\sqrt{3}$ cancela e sobra $x^2=12$, ou seja, $x=2\sqrt{3}$. O professor recomenda deixar $12=4\cdot 3$ para tirar a raiz, pois o $4$ sai como $2$.

A dica seguinte é traçar as diagonais do hexágono. O lado do quadrado do meio coincide com a altura de um dos triângulos equiláteros, que é ${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}}=3$. Ele também confere por seno: no triângulo retângulo com hipotenusa $2\sqrt{3}$ e ângulo de $60^{\circ }$, o cateto oposto é $2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3$. O quadrado da extremidade, de área $16$, tem lado $4$.

Agora vem a parte difícil de visualizar. No triângulo retângulo formado entre os quadrados, os ângulos agudos são $\alpha$ e $\beta$, com $\alpha +\beta =90^{\circ }$. Como o quadrado do meio tem ângulo reto, os ângulos que sobram dos dois lados também são $\alpha$ e $\beta$, e os dois triângulos têm os mesmos ângulos, logo são semelhantes. Como têm a mesma hipotenusa (razão de semelhança $1$), são congruentes.

Pela congruência, o cateto oposto a $\beta$ no segundo triângulo também é $4$ e o oposto a $\alpha$ é $3$. Assim, o triângulo que interessa tem catetos $3$ e $4$, e por Pitágoras a hipotenusa é $5$ (o triângulo pitagórico $3$-$4$-$5$). Essa hipotenusa é o lado do maior quadrado, portanto a área é $5^2=25$. A legenda corta no meio da frase final, mas a conta é inequívoca.

▶ Ver este trecho no vídeo (12:04:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: pitagoras proporcao

As 3 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em área de polígonos (geometria plana)

1. 01

   Usar um lado inclinado como altura; a altura precisa formar

   Usar um lado inclinado como altura; a altura precisa formar $90^{\circ }$ com a base.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Achar que o triângulo tem uma só base e uma só altura;

   Achar que o triângulo tem uma só base e uma só altura; a altura depende da base escolhida.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Decorar uma fórmula por figura em vez de reconstruí-las

   Decorar uma fórmula por figura em vez de reconstruí-las a partir do triângulo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Esquecer o dois do denominador quando base e altura são

   Esquecer o dois do denominador quando base e altura são números com raiz (o professor prefere escrever o meio na frente).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Tirar a raiz de $4\cdot3$ multiplicando antes; é mais fácil

   Tirar a raiz de $4\cdot 3$ multiplicando antes; é mais fácil deixar $4\cdot 3$ e tirar $\sqrt{4}=2$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Calcular o lado do quadrado e esquecer que o enunciado pede

   Calcular o lado do quadrado e esquecer que o enunciado pede a área.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Área de Polígonos (Geometria Plana) no ENEM