Qual lei usar em cada triângulo?
Você tem um triângulo, alguns dados e uma incógnita. A dúvida não é a conta, é qual das três ferramentas abre o problema: as razões do triângulo retângulo, a lei dos senos ou a lei dos cossenos. Escolher errado trava tudo, porque cada uma exige um tipo de dado diferente.
A regra é uma só: olhe o que o enunciado entrega, não o que ele pede. O tipo de dado decide a ferramenta. Abaixo está a árvore de decisão, a tabela-resumo e um exemplo de cada caso.
Atualizado em nov/2026. Quem te mostra isso aqui é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube e quase 2.000 aulas gratuitas de Física e Matemática. A escolha da lei sai de uma pergunta de dois segundos: o triângulo tem ângulo reto? Se não, onde está o ângulo que o enunciado deu?
A árvore de decisão em três perguntas
Faça as perguntas nesta ordem. Pare na primeira que tiver "sim".
Tem ângulo reto?
Sim: use seno, cosseno ou tangente (e Pitágoras). É o caminho mais curto, então ele vem primeiro.
Tem um par lado e ângulo oposto?
Sim: lei dos senos. Você precisa de um lado e do ângulo que fica de frente para ele, a outra metade da proporção.
Tem dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados?
Sim: lei dos cossenos. É o que sobra quando não existe o par lado-ângulo oposto.
| O que você tem | O que você quer | Ferramenta |
|---|---|---|
| Triângulo retângulo, um ângulo agudo e um lado | Outro lado | Seno, cosseno ou tangente |
| Triângulo retângulo, dois lados | Ângulo agudo | Seno, cosseno ou tangente (ou Pitágoras para o terceiro lado) |
| Dois ângulos e um lado qualquer | Outro lado | Lei dos senos |
| Um lado e o ângulo oposto a ele, mais um lado ou um ângulo | Lado ou ângulo que falta | Lei dos senos |
| Dois lados e o ângulo entre eles | Terceiro lado | Lei dos cossenos |
| Os três lados | Um ângulo | Lei dos cossenos |
| Raio da circunferência circunscrita | Lado ou ângulo | Lei dos senos (razão = 2R) |
Quando usar seno, cosseno e tangente?
Só no triângulo retângulo. As razões nascem da semelhança de triângulos: em todos os triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo, a razão entre dois lados é a mesma, qualquer que seja o tamanho. Por isso ela é uma propriedade do ângulo, não do triângulo. Em relação ao ângulo θ:
Escolha a razão pelos dois lados que entram na história. Tem o cateto oposto e quer a hipotenusa? Seno. Tem o adjacente e quer a hipotenusa? Cosseno. Tem os dois catetos? Tangente. Se faltar o terceiro lado e você já tem dois, resolve sem trigonometria.
Os valores de 30°, 45° e 60° você constrói, não decora: a aula do canal faz isso, e o post dos ângulos notáveis traz a tabela pronta.
Exemplo 1. De um ponto a 30 m da base de um prédio, você vê o topo sob um ângulo de 60°. A altura h é o cateto oposto e os 30 m são o adjacente, então entra a tangente:
É a questão que abre a aula 16 do curso completo de Matemática para o ENEM. O professor parte da semelhança e constrói a tabela do zero.
Quando usar a lei dos senos?
Quando o enunciado dá um lado e o ângulo oposto a ele, em qualquer triângulo, agudo, reto ou obtuso. A lei compara cada lado com o seno do ângulo que está de frente:
Aqui R é o raio da circunferência que passa pelos três vértices. Por isso, se a questão menciona essa circunferência, a lei dos senos está pedindo para entrar. Na prática você monta a proporção só com os dois pares que o problema fornece e isola o que falta.
Exemplo 2. Um triângulo tem um lado de 4 oposto a um ângulo de 45°. Quanto mede o lado x, oposto ao ângulo de 30°?
Faça a checagem de sanidade: o ângulo de 45° é maior que o de 30°, então o lado de 4 tem de ser maior que x. E 2√2 ≈ 2,83 é menor que 4. Bateu.
Um cuidado honesto: quando você usa a lei dos senos para achar um ângulo, o seno não distingue um ângulo do suplementar, porque sen x = sen(180° − x). Podem existir duas respostas, uma aguda e uma obtusa, e a soma dos ângulos de 180° costuma descartar uma delas.
Lei dos senos: a dedução e o caso ambíguo Ficha da lei dos senosQuando usar a lei dos cossenos?
Em dois casos: dois lados e o ângulo entre eles (você quer o terceiro lado) ou os três lados (você quer um ângulo). Nenhum dos dois tem um par lado-ângulo oposto, então a lei dos senos não monta. A lei dos cossenos é o Pitágoras para um triângulo qualquer:
O ângulo da fórmula é sempre o oposto ao lado que está isolado, e fica entre os outros dois. Com ângulo de 90°, e sobra o Pitágoras. Com ângulo agudo o termo final desconta; com ângulo obtuso, o cosseno é negativo e o termo soma.
Exemplo 3. Dois lados medem 5 e 8, e o ângulo entre eles vale 60°. Quanto mede o terceiro lado?
Com os três lados, isole o cosseno na mesma fórmula: aqui não há ambiguidade, pois entre 0° e 180° cada cosseno corresponde a um único ângulo.
Lei dos cossenos: a dedução e os exemplos Ficha da lei dos cossenosOs erros mais comuns ao escolher a lei
Três erros respondem pela maior parte das contas que dão errado antes de começar.
- 01
Usar seno, cosseno ou tangente em triângulo que não é retângulo
As definições com cateto e hipotenusa só existem no triângulo retângulo. Aplicá-las em triângulo qualquer dá um resultado sem sentido.
Como evitar: antes de escolher a razão, confirme que existe ângulo de 90°. Se não existe, vá para as leis. - 02
Aplicar a lei dos senos sem o par lado-ângulo oposto
Com dois lados e o ângulo entre eles, só há um lado e nenhum ângulo oposto a ele. A proporção fica com duas incógnitas.
Como evitar: marque no desenho o lado e o ângulo que ficam de frente um do outro. Sem esse par, é lei dos cossenos. - 03
Trocar o ângulo na lei dos cossenos
Usar um ângulo que não é o oposto ao lado isolado leva a um terceiro lado errado, mesmo com a fórmula decorada certa.
Como evitar: comece pelo lado que você quer: o ângulo da fórmula é o que fica de frente para ele.
FAQ: qual lei usar
Quando usar seno, cosseno e tangente?
Quando o triângulo tem um ângulo reto. Nele, seno, cosseno e tangente relacionam um ângulo agudo com dois lados: seno usa cateto oposto e hipotenusa, cosseno usa cateto adjacente e hipotenusa, tangente usa os dois catetos. Em triângulo sem ângulo reto, essas definições não valem.
Quando usar a lei dos senos?
Quando você conhece um lado e o ângulo oposto a ele (o par completo) e quer outro lado ou outro ângulo. Também quando a questão fala do raio da circunferência circunscrita, porque a razão lado sobre seno vale 2R.
Quando usar a lei dos cossenos?
Em dois casos: você tem dois lados e o ângulo entre eles e quer o terceiro lado, ou tem os três lados e quer um ângulo. São as situações em que a lei dos senos não consegue montar a proporção.
Dá para usar seno, cosseno e tangente em triângulo que não é retângulo?
Não direto. Você pode traçar a altura e criar dois triângulos retângulos, mas as leis dos senos e dos cossenos já fazem esse trabalho para qualquer triângulo.
Qual é a diferença entre lei dos senos e lei dos cossenos?
A lei dos senos compara cada lado com o seno do ângulo oposto: precisa de um par lado-ângulo oposto. A lei dos cossenos liga os três lados a um ângulo: precisa de dois lados e o ângulo entre eles, ou dos três lados.
A lei dos cossenos é o Teorema de Pitágoras?
Contém o Teorema de Pitágoras. Com ângulo de 90° o cosseno vale zero, o último termo some e sobra a² = b² + c². Para qualquer outro ângulo, esse termo corrige a conta.
Como saber o caso quando a questão dá dois lados e um ângulo?
Veja onde o ângulo está. Se ele fica entre os dois lados, use a lei dos cossenos. Se ele é oposto a um dos lados dados, use a lei dos senos, e lembre que pode haver duas soluções para o outro ângulo.
Continue aprendendo: Trigonometria
Lei dos senos
A razão lado sobre seno, o 2R e o caso ambíguo.
Lei dos cossenos
Pitágoras para triângulo qualquer, com a dedução.
Seno, cosseno e tangente
As razões do triângulo retângulo, de onde vêm e como usar.
Triângulo retângulo
Pitágoras e relações métricas.
Ângulos notáveis
Seno, cosseno e tangente de 30°, 45° e 60°.
Aula: seno e cosseno
A aula 16 do curso completo para o ENEM.