Ângulos notáveis: a tabela e de onde vêm os valores

O que são ângulos notáveis?

Ângulos notáveis são 30°, 45° e 60°, os três ângulos cujos seno, cosseno e tangente aparecem em quase toda questão de trigonometria, e que por isso vale a pena você ter na ponta da língua. O seno de 30° vale $\tfrac12$, o cosseno de 30° vale $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$, e a tabela completa com os nove valores está logo aqui embaixo, pronta pra você printar.

Mas a régua desta página é uma só: em vez de decorar esses números, a gente constrói cada um deles. Se você tem prova amanhã e só quer o valor, ele tá aqui em cima. Se quer entender de onde ele vem pra nunca mais embolar na hora, é só descer, eu te mostro o triângulo que faz o seno de 30 valer meio.

Não existe estrada real para geometria o que dá a querer dizer meu irmão você quer aprender. Aqui a gente constrói, não decora. Beleza?

Qual a tabela dos ângulos notáveis?

É essa aqui embaixo. A tabela trigonométrica dos ângulos notáveis traz os nove valores que você mais usa: seno, cosseno e tangente de 30°, 45° e 60°.

Printou? Então desce comigo, que eu mostro de onde cada um sai.

O que são seno, cosseno e tangente?

Seno, cosseno e tangente são razões entre os lados de um triângulo retângulo, e, enquanto você não enxerga isso, a tabela é só um monte de número solto.

O seno de um ângulo é uma propriedade desse ângulo ele é medido pela razão entre o cateto oposto a esse ângulo, dividido pela hipotenusa. O cosseno é a razão entre o cateto adjacente, aquele que está colado com o ângulo, e a hipotenusa. A tangente é o seno dividido pelo cosseno, ou, direto no triângulo, o cateto oposto sobre o cateto adjacente.

E não esquece: cateto, seno e cosseno só fazem sentido dentro do triângulo retângulo. Fora dele, não existe cateto, não existe seno desse jeito.

Guarda essas três definições, porque é delas que os nove valores da tabela vão cair no seu colo na próxima seção.

De onde vem o seno de 30°?

O seno de 30° vale $\tfrac12$, e eu vou te provar de onde isso sai. Pega o triângulo retângulo de 30-60-90, com a hipotenusa valendo 1, e reflete ele para baixo, colando pela base.

Isso é construir o valor. Ninguém precisou decorar.

E os valores de 45° e 60°?

O seno de 45° vale $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ e o seno de 60° vale $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$, e você chega nos dois pelo mesmo tipo de construção que fez o 30° cair no colo.

Para o 45°, pega um quadrado de lado 1 e corta na diagonal. Aparece um triângulo retângulo isósceles: os dois catetos valem 1 e a hipotenusa vale $\sqrt{2}$, porque $1^2 + 1^2 = 2$. O seno de 45° é o cateto oposto sobre a hipotenusa, $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$, que racionalizado vira $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$. E, como o triângulo é isósceles, o cosseno de 45° dá o mesmo $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Para o 60°, é o mesmo equilátero da seção anterior, só que agora olhando para o outro ângulo. O cateto oposto ao 60° é a altura do equilátero, $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$, então o seno de 60° é $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ e o cosseno de 60° é $\tfrac12$.

Existem construções geométricas, esse é só um exemplo, tem várias, que possibilitam você calcular seno e cosseno de vários ângulos estranhos. Valor de trigonometria não se decora: se constrói.

Esse é o mesmo raciocínio que eu uso pra calcular o seno de ângulos que nem são notáveis, tipo 75°, decompondo em 30 mais 45.

Preciso decorar a tabela trigonométrica?

Não, você não precisa decorar, e essa é a parte que me irrita. Todo mundo decora aquela porcaria daquela tabela porque algum imbecil escreve no quadro e fala que é daquele jeito que você decora.

Se você entendeu as construções das seções anteriores, os valores já são seus. Mas, já que ajuda no aperto, existe um padrão bonito pra reconhecer: escreve os senos de 30°, 45° e 60° como $\tfrac{\sqrt{1}}{2}$, $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ e $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$. É só a raiz de 1, 2 e 3 sobre 2, na ordem.

O cosseno é a mesma coisa de trás pra frente, porque o seno de um ângulo é o cosseno do seu complementar. E vale a relação que amarra tudo: se você tiver o seno de um ângulo, automaticamente você já tem o cosseno.

Quando usar seno e quando usar cosseno?

Você usa seno quando quer o cateto oposto ao ângulo, e cosseno quando quer o adjacente. A melhor forma de fixar isso é resolvendo uma questão de verdade.

Cai uma de ENEM: raios de luz atingindo a superfície de um lago, formando um ângulo X com a sua superfície, e a pergunta é quanta intensidade luminosa penetra na água. A intensidade que entra é a componente vertical da luz, e a componente vertical é a original vezes o seno do ângulo. Seno porque é o lado oposto ao ângulo de incidência.

Quando o ângulo é 30°, você teria que saber de qual é essa bodega aí seno de 30 é meio. Então entra 50% da intensidade máxima: metade da luz.

Repara que a questão não te entrega "use seno". Você escolhe seno porque enxergou que o que interessa é o cateto oposto. É isso que separa quem entende de quem decorou a tabela e trava na hora de aplicar.

Quais os erros mais comuns?

Três erros derrubam quase todo mundo nos ângulos notáveis, e todos somem quando você entende em vez de decorar.

1. 01

   Trocar o seno de 30° com o de 60°

   Como o seno cresce de 0° a 90°, o ângulo maior tem o seno maior: seno de 60° ($\tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$) é maior que o de 30° ($\tfrac12$). Lembrando disso, você nunca mais inverte.

2. 02

   Achar que a tangente de 90° tem valor

   Ela não existe. Tangente é seno sobre cosseno, e o cosseno de 90° é zero, então você cairia numa divisão por zero, que é indefinida.

3. 03

   Usar cateto, seno ou cosseno fora de um triângulo retângulo

   O nome cateto por si só só faz sentido se eu estiver dentro de um triângulo retângulo. Fora dele, a razão que você quer é outra história, a do ciclo trigonométrico.

Como ficam os ângulos em radianos?

Em radianos, os ângulos notáveis são $\tfrac{\pi}{6}$ (30°), $\tfrac{\pi}{4}$ (45°) e $\tfrac{\pi}{3}$ (60°). Os valores de seno, cosseno e tangente não mudam nada, só muda a unidade em que você escreve o ângulo.

A conversão sai de uma regra só: 180° equivale a $\pi$ radianos, então, para passar de graus para radianos, você multiplica por $\tfrac{\pi}{180}$. Trinta graus vezes $\tfrac{\pi}{180}$ dá $\tfrac{\pi}{6}$; quarenta e cinco dá $\tfrac{\pi}{4}$; sessenta dá $\tfrac{\pi}{3}$.

É a mesma tabela da consulta lá em cima, só que na linguagem que ITA, IME e as provas mais duras cobram.

Onde isso cai na prova?

Os ângulos notáveis são a porta de entrada da trigonometria de prova. Eles aparecem em decomposição de forças na Física, em cálculo de altura e distância, e em quase toda questão de trigonometria do ENEM, dos vestibulares e dos concursos militares, ITA, IME, EsPCEx.

O próximo passo natural é levar esses três ângulos para o ciclo trigonométrico e ver como eles se repetem nos outros quadrantes. É ali que 30°, 45° e 60° geram os arcos notáveis e a redução ao primeiro quadrante. Depois vem a relação fundamental, $\operatorname{sen}^2 + \cos^2 = 1$, que amarra seno e cosseno de qualquer ângulo e confirma os valores que a gente construiu aqui.

Se você quer a trilha completa e organizada, com mais de 15 mil questões de provas dos últimos 15 anos, é isso que eu montei no Lições de Matemática. Mas comece pelos links das próximas aulas de trigonometria aqui embaixo, de graça, na ordem certa.

FAQ: dúvidas sobre ângulos notáveis