Lei dos Cossenos: fórmula, quando usar e exemplos

Q: Qual é a fórmula da Lei dos Cossenos?

A fórmula é a² = b² + c² - 2 b c cos A. Ela tem três formas simétricas, uma para cada lado, e em todas o ângulo que aparece é o oposto ao lado isolado do lado esquerdo da igualdade.

Q: Como achar um ângulo usando a Lei dos Cossenos?

Quando você conhece os três lados, isole o cosseno: cos A = (b² + c² - a²) / (2 b c). Calcule o valor e procure o ângulo correspondente. Se o resultado for negativo, o ângulo é obtuso.

Q: Por que a Lei dos Cossenos tem um sinal de menos?

O termo -2 b c cos A é a correção que diferencia um triângulo qualquer de um retângulo. Em um triângulo retângulo, o cosseno de 90 graus é zero, esse termo some e sobra o Teorema de Pitágoras. O sinal de menos é o que faz a fórmula encolher ou expandir o lado conforme o ângulo muda.

O problema que Pitágoras não resolve

O Teorema de Pitágoras é uma das primeiras ferramentas poderosas que você aprende, mas ele tem uma exigência: o triângulo precisa ser retângulo. A relação $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ só vale quando existe um ângulo de $9 0^{\circ}$ .

Só quer a fórmula? a fórmula em ficha, com o uso em vetores

E quando o triângulo é qualquer? Quando você conhece dois lados e o ângulo entre eles, mas esse ângulo não é reto? Aí Pitágoras fica sem resposta. É exatamente esse vão que a Lei dos Cossenos preenche. Ela vale para qualquer triângulo, e responde a duas perguntas que aparecem o tempo todo: "tenho dois lados e o ângulo entre eles, qual é o terceiro lado?" e "tenho os três lados, qual é o ângulo?".

Antes de qualquer conta, ganhe a intuição. Pegue um lado, pegue outro, e defina a abertura entre eles. Você não tem mais liberdade nenhuma: o triângulo fechou sozinho, e o terceiro lado assumiu um tamanho único. A Lei dos Cossenos é só a tradução disso para a álgebra.

Ficha: Lei dos Senos

a/sen A = 2R e quando ela resolve o que a dos cossenos não resolve.

A fórmula da Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos relaciona os três lados de um triângulo com o cosseno de um dos seus ângulos. Em um triângulo de lados $a$ , $b$ e $c$ , sendo $\hat{A}$ o ângulo oposto ao lado $a$ :

Lei dos Cossenos

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}

O quadrado de um lado é a soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto deles pelo cosseno do ângulo entre eles. O ângulo da fórmula é sempre o oposto ao lado isolado.

Como todo triângulo tem três lados, há três formas simétricas, uma para cada lado:

As três formas

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos \hat{B}

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos \hat{C}

Lado e ângulo opostos andam juntos. Em qualquer triângulo, o maior lado fica de frente para o maior ângulo. Na fórmula, o lado isolado e o cosseno são sempre esse par oposto. Desenhe e marque antes de substituir.

Por que a fórmula generaliza o Teorema de Pitágoras

Esta é a parte que separa quem decora a Lei dos Cossenos de quem entende a Lei dos Cossenos. E ela tem uma origem bonita: a fórmula não cai do céu, ela é construída a partir de algo que você já conhece, o próprio Pitágoras.

A ideia é traçar a altura do triângulo, o que o quebra em dois triângulos retângulos. Em cada um vale Pitágoras, e ao juntar as duas relações com a definição de cosseno, some a altura do meio da conta e sobra exatamente a Lei dos Cossenos.

Dedução geométrica Ver a demonstração, passo a passo

Passo 1

Traçar a altura

No triângulo de lados $a$ , $b$ , $c$ , baixe a altura do vértice $B$ até a reta que contém o lado $b = A C$ , com pé $H$ . Surgem dois triângulos retângulos.

Passo 2

Cosseno no primeiro triângulo

No triângulo retângulo $A B H$ , a hipotenusa é $c$ e o ângulo em $A$ é $\hat{A}$ . Logo o pé fica a uma distância $A H = c \cos \hat{A}$ , e a altura satisfaz:

h^{2} = c^{2} - (c \cos \hat{A})^{2}

Passo 3

O pé divide a base

O segmento restante da base é $H C = b - c \cos \hat{A}$ .

Passo 4

Pitágoras no segundo triângulo

No triângulo retângulo $B H C$ , o lado $a$ é a hipotenusa:

a^{2} = h^{2} + (H C)^{2}

Passo 5

Substituir

Trocando $h^{2}$ e $H C$ pelas expressões dos passos anteriores:

a^{2} = (c^{2} - c^{2} \cos^{2} \hat{A}) + {(b - c \cos \hat{A})}^{2}

Passo 6

Expandir e simplificar

Abrindo o quadrado, o termo $c^{2} \cos^{2} \hat{A}$ cancela, e sobra a Lei dos Cossenos:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}

Agora a experiência que fecha a ideia. Olhe para a fórmula e imagine que o ângulo $\hat{A}$ vale $9 0^{\circ}$ . O cosseno de $9 0^{\circ}$ é zero, então o termo inteiro $- 2 b c \cos \hat{A}$ desaparece, e o que sobra é:

Quando

\hat{A} = 9 0^{\circ}

a^{2} = b^{2} + c^{2}

Pitágoras, puro. O Teorema de Pitágoras é o caso particular da Lei dos Cossenos em que o ângulo é reto. O termo $- 2 b c \cos \hat{A}$ é a correção que mede o quanto o triângulo se afasta de ser retângulo.

/01 · Ângulo agudo

O lado encolhe

\cos \hat{A} > 0

Com $\hat{A} < 9 0^{\circ}$ , o cosseno é positivo, o termo é subtraído, e $a$ fica menor do que ficaria num triângulo retângulo.

/02 · Ângulo reto

Vira Pitágoras

\cos \hat{A} = 0

Com $\hat{A} = 9 0^{\circ}$ , o cosseno é zero, o termo some, e a fórmula vira $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

/03 · Ângulo obtuso

O lado cresce

\cos \hat{A} < 0

Com $\hat{A} > 9 0^{\circ}$ , o cosseno é negativo, o termo é somado, e $a$ fica maior. O sinal do cosseno faz o trabalho sozinho.

Quando usar a Lei dos Cossenos (e quando usar a dos Senos)

A trigonometria de triângulos quaisquer tem duas ferramentas, e a dúvida mais comum é qual delas usar. A escolha depende do que você já conhece do triângulo.

Use a Lei dos Cossenos quando tiver dois lados e o ângulo entre eles (caso LAL, para achar o terceiro lado) ou os três lados (caso LLL, para achar um ângulo, isolando $\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ ). Use a Lei dos Senos quando o que você conhece envolve um ângulo e o lado oposto a ele.

O que você conhece	Ferramenta	O que ela encontra
Dois lados + ângulo entre eles	Lei dos Cossenos	O terceiro lado
Os três lados	Lei dos Cossenos	Qualquer ângulo
Um lado + dois ângulos	Lei dos Senos	Os outros lados
Dois lados + ângulo oposto a um deles	Lei dos Senos	O ângulo (ou lado) que falta

Uma palavra sobre a fama da Lei dos Cossenos: ela é infalível. Nem sempre é o caminho mais curto, mas quando você não enxerga o atalho, é só girar a fórmula que a resposta aparece.

Lei dos Cossenos em ação: três exemplos resolvidos

Conhecer a fórmula é diferente de saber aplicá-la. A rotina é sempre a mesma: fazer a figura → identificar lado oposto e ângulo → substituir → resolver.

Exemplo 1. Básico: dois lados e o ângulo entre eles (LAL)

🪖 Básico Achar o terceiro lado

Dois lados medem $5$ e $8$ , e o ângulo entre eles é $6 0^{\circ}$ . Quanto mede o terceiro lado?

Dados: lado procurado $a$ ; $b = 5$ , $c = 8$ , $\hat{A} = 6 0^{\circ}$ .
Fórmula: $a^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 6 0^{\circ}$ .
Como $\cos 6 0^{\circ} = 0, 5$ : $a^{2} = 25 + 64 - 80 \cdot 0, 5 = 89 - 40 = 49$ .

Terceiro lado: $a = \sqrt{49} = 7$

Verificação: o terceiro lado, $7$ , fica entre os outros dois, $5$ e $8$ , como esperado. Esse mesmo triângulo $(5, 7, 8)$ reaparece no Exemplo 2.

Exemplo 2. Intermediário: os três lados, achar um ângulo (LLL)

🪖🪖 Intermediário Achar um ângulo

Um triângulo tem lados $5$ , $7$ e $8$ . Qual é o ângulo oposto ao lado $7$ ?

Dados: lado oposto ao ângulo $a = 7$ ; os outros $b = 5$ , $c = 8$ .
Isolar o cosseno: $\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ .
Substituir: $\cos \hat{A} = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{40}{80} = 0, 5$ .

O ângulo cujo cosseno é

0, 5

é $6 0^{\circ}$ .

No caso LLL, o caminho é o mesmo de trás para frente: isole o cosseno, calcule, e procure o ângulo. Cosseno negativo indicaria ângulo obtuso.

Exemplo 3. Avançado: contexto de problema (estilo ENEM)

🪖🪖🪖 Avançado Modelagem com ângulo obtuso

Uma trilha tem dois trechos retos, de $6$ km e $10$ km, que formam um ângulo de $12 0^{\circ}$ entre si. Qual a distância em linha reta entre o início e o fim?

Dados: distância $d$ é o lado oposto ao ângulo de $12 0^{\circ}$ ; os outros lados são $6$ e $10$ .
Fórmula: $d^{2} = 6^{2} + 1 0^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos 12 0^{\circ}$ .
Como $\cos 12 0^{\circ} = - 0, 5$ : $d^{2} = 36 + 100 - 120 \cdot (- 0, 5) = 136 + 60 = 196$ .

Resposta: a distância é

d = \sqrt{196} = 14

km.

O ângulo de $12 0^{\circ}$ é obtuso, o cosseno é negativo, e o termo foi somado. Por isso a distância final ( $14$ km) ficou maior que os dois trechos. O sinal do cosseno não é detalhe, é a informação.

Repare na rotina dos três exemplos: a fórmula no meio sempre faz a mesma coisa. O que muda é o que você conhece (dois lados e o ângulo, ou os três lados) e o sinal do cosseno, que abre ou fecha o triângulo.

Bônus: os 4 erros clássicos ao usar a Lei dos Cossenos

A fórmula é uma só. Aplicá-la sob pressão de prova, com sinais e ângulos embaralhados, é a parte difícil. Estes são os quatro erros que mais aparecem em correção.

01

Trocar o sinal do termo de correção

A fórmula é $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ menos $2 b c \cos \hat{A}$ . Escrever com sinal de mais derruba o resultado em todo triângulo que não seja reto.

Como evitar: fixe o menos colado no termo e deixe o cosseno cuidar do resto. Se o ângulo for obtuso, o cosseno negativo transforma o menos em mais, sozinho.
02

Usar o ângulo errado

O ângulo da fórmula é sempre o oposto ao lado isolado, nunca um ângulo qualquer.

Como evitar: na figura, marque o lado que você quer e procure o ângulo de frente para ele.
03

Escolher a lei errada

Nem todo problema de triângulo qualquer é Lei dos Cossenos. Se você tem um ângulo e o lado oposto a ele, a ferramenta é a Lei dos Senos.

Como evitar: antes de calcular, liste o que você tem e consulte o critério da seção 4.
04

Errar a ordem das operações ou esquecer a raiz

A fórmula entrega $a^{2}$ (o quadrado do lado), não o lado. Calcular $2 b c \cos \hat{A}$ antes de somar, e tirar a raiz no final, são passos que o aluno apressado pula.

Como evitar: trate a fórmula como uma receita de quatro passos, com a raiz quadrada sempre como o último.

Perguntas frequentes sobre a Lei dos Cossenos

O que é a Lei dos Cossenos?

A Lei dos Cossenos é uma relação entre os três lados de um triângulo e o cosseno de um de seus ângulos: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}$ , onde $\hat{A}$ é o ângulo oposto ao lado $a$ . Ela vale para qualquer triângulo e serve para encontrar um lado desconhecido ou um ângulo.

Qual é a fórmula da Lei dos Cossenos?

A fórmula é $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}$ . Ela tem três formas simétricas, uma para cada lado, e em todas o ângulo que aparece é o oposto ao lado isolado do lado esquerdo da igualdade.

Quando usar a Lei dos Senos e quando usar a dos Cossenos?

Use a Lei dos Cossenos quando conhecer dois lados e o ângulo entre eles (para achar o terceiro lado) ou os três lados (para achar um ângulo). Use a Lei dos Senos quando conhecer um ângulo e o lado oposto a ele, junto com mais um lado ou ângulo.

A Lei dos Cossenos serve para qualquer triângulo?

Sim. Diferente do Teorema de Pitágoras, que só vale para triângulos retângulos, a Lei dos Cossenos vale para qualquer triângulo. Pitágoras é o caso particular dela em que o ângulo é de $9 0^{\circ}$ e o cosseno se anula.

Como achar um ângulo usando a Lei dos Cossenos?

Quando você conhece os três lados, isole o cosseno: $\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ . Calcule o valor e procure o ângulo correspondente. Se o resultado for negativo, o ângulo é obtuso.

Por que a Lei dos Cossenos tem um sinal de menos?

O termo $- 2 b c \cos \hat{A}$ é a correção que diferencia um triângulo qualquer de um retângulo. Em um triângulo retângulo, o cosseno de $9 0^{\circ}$ é zero, esse termo some e sobra o Teorema de Pitágoras. O sinal de menos é o que faz a fórmula encolher ou expandir o lado conforme o ângulo muda.

A Lei dos Cossenos cai no ENEM?

Sim. Costuma aparecer em problemas de modelagem: distâncias entre dois pontos, trajetos com mudança de direção, áreas e estruturas triangulares. O desafio quase nunca é a conta, e sim reconhecer que há um triângulo com dois lados e o ângulo entre eles.

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Traçar a altura

Cosseno no primeiro triângulo

O pé divide a base

Pitágoras no segundo triângulo

Substituir

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Vira Pitágoras

O lado cresce

Quando usar a Lei dos Cossenos (e quando usar a dos Senos)

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