Qual é a fórmula da lei dos senos?
Num triângulo de lados a, b, c, ângulos opostos , e circunferência circunscrita de raio R:
Lado maior, ângulo oposto maior — em proporção exata. E a constante da proporção é o diâmetro do círculo que contorna o triângulo.
Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Sobre esta classificação: os volumes publicados do Guia cobrem Mecânica (cinemática, dinâmica, energia, gravitação e fluidos) e Matemática básica (aritmética, combinatória e probabilidade) — esta fórmula é de outra área. O selo acima aplica o mesmo critério do livro, e é da equipe do blog. Entenda os selos.
O que significa cada símbolo?
A fórmula é uma proporção — o que importa é o pareamento lado ↔ ângulo oposto:
| Símbolo | O que é | Unidade / observação |
|---|---|---|
| os lados do triângulo | comprimento | |
| os ângulos opostos a cada lado | grau ou rad | |
| raio da circunferência circunscrita | comprimento |
De onde vem a fórmula?
A pergunta é: por que essa razão é constante — e por que justo 2R? A prova usa um fato de círculo: todo ângulo inscrito que enxerga a mesma corda é igual, e a corda vale do ângulo inscrito.
Desenha a circunferência pelos três vértices. O lado a é uma corda vista pelo ângulo ; logo , ou seja, . O mesmo argumento vale pros outros dois lados — e como o círculo é um só, a constante é a mesma pros três.
Cada lado é uma corda do mesmo círculo. A constante da proporção é geometria pura: o diâmetro.
Você pode estar pensando: “se a lei dá duas respostas possíveis, como sei qual é a certa?” Use a soma dos ângulos como filtro. Se um ângulo já vale 100° e o seno devolve 40° ou 140°, o 140° está descartado — juntos passariam de 180°. O caso ambíguo existe de verdade, mas quase sempre a soma elimina uma das opções.
E a igualdade sen(120°) = sen(60°) não é coincidência: são ângulos suplementares, e no ciclo trigonométrico ambos têm a mesma altura, a mesma projeção vertical. Muda o cosseno, não o seno.
Selo Demonstrável. O 2R não é decoração — é o que a proporção significa. Questão que dá o raio do círculo circunscrito está gritando “lei dos senos”.
Quando usar (e quando não)?
Use quando conhecer um lado e seu ângulo oposto (o “par completo”) e quiser qualquer outro lado ou ângulo. Também sempre que a circunferência circunscrita entrar na jogada.
Sem par lado-ângulo oposto — por exemplo, dois lados e o ângulo entre eles — a lei dos senos não monta; é caso de lei dos cossenos.
Cuidado com o caso ambíguo: sen x = sen(180° − x). Ao “desfazer” um seno pra achar ângulo, podem existir DUAS soluções (uma aguda, uma obtusa) — cheque qual é compatível com a soma dos ângulos do triângulo.
Exemplo resolvido
Antes da conta, prevê: 45° é maior que 30°, e na lei dos senos lado maior fica de frente para ângulo maior. Então b tem que sair MAIOR que 8. Se vier menor, a proporção foi montada invertida:
Num triângulo, o lado a = 8 é oposto a = 30°, e . Quanto vale o lado b? (sen 30° = 1/2, sen 45° = √2/2)
- Monta a proporção: .
- O lado esquerdo: (que é o 2R, de brinde).
- .
Verificação: bateu com a previsão: 11,3 > 8, lado maior de frente para ângulo maior. E de brinde a conta entregou 2R = 16, ou seja, R = 8. E se o terceiro ângulo fosse pedido? Sai sem lei nenhuma: 180° − 30° − 45° = 105°. Muita questão de lei dos senos se resolve pela soma dos ângulos antes de qualquer proporção.
Quais os erros mais comuns?
- 01
Parear lado com o ângulo errado
A razão é lado sobre seno do ângulo OPOSTO. Parear com o ângulo adjacente monta uma proporção sem sentido.
Como evitar: desenhe e ligue com uma seta cada lado ao ângulo do outro lado do triângulo. Sem seta, sem fórmula. - 02
Usar quando o dado é o ângulo ENTRE os lados
Dois lados e o ângulo entre eles não formam par completo — a lei dos senos trava. Esse cenário é da lei dos cossenos.
Como evitar: critério em uma linha: par oposto conhecido → senos; ângulo entre lados ou três lados → cossenos. - 03
Ignorar o caso ambíguo do seno
Achou sen = 0,5 e cravou 30°? Pode ser 150°. Em certos triângulos as duas respostas existem de verdade.
Como evitar: sempre teste a segunda opção contra a soma dos ângulos (180°). Se couber, a questão tem duas soluções — e a banca sabe disso.
FAQ: perguntas sobre a lei dos senos
Qual é a fórmula da lei dos senos?
: cada lado sobre o seno do ângulo oposto, constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.
O que significa o 2R da fórmula?
É o diâmetro da circunferência que passa pelos três vértices. A proporção da lei tem significado geométrico, não é só um truque de conta.
Quando usar a lei dos senos?
Quando um lado e seu ângulo oposto são conhecidos — o “par completo”. A partir dele, qualquer outro lado ou ângulo sai por proporção.
Qual a diferença entre lei dos senos e lei dos cossenos?
Senos trabalha com pares lado-ângulo oposto; cossenos com dois lados e o ângulo entre eles (ou três lados). Os dois cenários se completam.
Por que a lei dos senos pode dar duas respostas?
Porque sen x = sen(180° − x): ao inverter o seno, existe uma opção aguda e uma obtusa. Cheque as duas contra a soma de 180°.
Por que sen(120°) é igual a sen(60°)?
Porque são ângulos suplementares e têm a mesma projeção vertical no ciclo trigonométrico. O seno (a altura) é o mesmo; o cosseno é que troca de sinal.
Como descartar a solução falsa no caso ambíguo?
Somando os ângulos. Se a opção obtusa faria o total passar de 180°, ela é impossível — e sobra a aguda. Esse filtro resolve a ambiguidade na maioria das questões.
Como achar o raio da circunferência circunscrita?
Pela própria lei: . Basta um par lado-ângulo oposto. Questão que pede R está pedindo lei dos senos.
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Guia de Fórmulas Explicadas
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Lei dos cossenos
A irmã: pra quando o ângulo está entre os lados.
Ângulos notáveis
Os senos de 30°, 45° e 60° que alimentam a lei.
Trigonometria
A trilha completa: seno, cosseno e as leis.
Fórmulas de Matemática
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