Lei dos Senos: entenda a fórmula sem decorar.

Qual é a fórmula da lei dos senos?

A fórmula da lei dos senos é $\dfrac{a}{\sen A} = \dfrac{b}{\sen B} = \dfrac{c}{\sen C} = 2R$.

Lendo em voz alta: a sobre seno alfa é igual a b sobre seno beta é igual a c sobre seno gama, que é igual a 2R.

Traduzindo cada símbolo:

• a, b e c são os três lados do triângulo;
• alfa, beta e gama (ou $\hat A$, $\hat B$, $\hat C$) são os ângulos;
• cada seno embaixo é o do ângulo oposto ao lado que está em cima;
• R é o raio da circunferência circunscrita, aquela que passa pelos três vértices.

Nada de guardar isso como uma imagem borrada de fórmula. Escrita assim, em texto, você lê cada pedaço e sabe na hora o que colocar no lugar de cada letra.

A lei dos senos vale pra qualquer triângulo?

Vale. A lei dos senos funciona em qualquer triângulo, com ângulo agudo, reto ou obtuso.

Essa lei, tal como a lei dos cossenos, ela é bastante interessante porque ela vale para qualquer triângulo. Repara na diferença: a definição de seno, co-seno, tangente no triângulo retângulo, aquela definição daquele jeito só vale para o triângulo retângulo.

Vale em triângulo escaleno, isósceles, qualquer um que você conseguir desenhar. É por isso que ela resolve tanta coisa. O Teorema de Pitágoras te prende no retângulo; a lei dos senos te solta pro triângulo geral.

De onde vem a lei dos senos?

A lei dos senos vem da circunferência circunscrita ao triângulo, e é de lá que sai o 2R.

A matemática é uma atividade intelectual, né, turma? Não é uma atividade braçal, mecânica. Nós não estamos aqui para apertar parafuso, senhor. Então, em vez de decorar que a razão dá 2R, a gente deduz.

1. 01

   Inscreve o triângulo numa circunferência

   Todo triângulo tem uma circunferência que passa pelos três vértices.

2. 02

   Puxa um diâmetro a partir de um vértice

   Esse diâmetro vale $2R$, o dobro do raio da circunferência.

3. 03

   Usa o ângulo inscrito de 90°

   Todo diâmetro enxerga um ângulo inscrito de 90°. Cai um triângulo retângulo em que o seno do ângulo é o lado sobre o diâmetro: $\sen A = \dfrac{a}{2R}$.

Fazendo a conta, a razão entre o lado de um triângulo e o seno do seu ângulo oposto é sempre uma constante e é igual ao dobro do raio da circunferência que circunscreve o triângulo: $\dfrac{a}{\sen A} = 2R$. O 2R não caiu do céu: ele aparece.

Como resolver um exercício de lei dos senos?

Pra resolver, você monta a proporção só com os dois pares lado-ângulo que o problema dá e isola o que falta.

Pega o exemplo: um triângulo tem um lado 4 oposto ao ângulo de 45° e você quer o lado x, oposto ao de 30°. Você escreve 4 dividido pelo seno de 45. Isso tem que ser igual a x, que é um lado do triângulo, dividido pelo seno de trinta. Daí é só isolar e simplificar:

O passo que trava todo mundo é esse: use só os dois pares que o enunciado deu, não os três.

Lei dos senos ou lei dos cossenos?

Escolha pela pergunta "quais dados o problema me deu?": lado com o ângulo oposto já emparelhado, é lei dos senos; dois lados e o ângulo entre eles, é lei dos cossenos.

A lei dos senos e leis de cossenos são os teoremas mais importantes quando a gente fala de triângulos em geometria são duas relações super importantes que valem para quaisquer triângulos. Só que elas repartem o serviço. Pensa no caso oposto: posto que você tem dois lados de um triângulo e você tem um ângulo entre eles como você calcula o terceiro? Aí a dos senos não fecha, falta um par lado-ângulo oposto pra ela girar, e quem resolve é a lei dos cossenos.

O quadro abaixo resume os quatro casos que mais caem:

O que é o caso ambíguo?

O caso ambíguo é quando os dados dão dois triângulos diferentes, ou um, ou nenhum, em vez de um só.

Ele aparece no caso LLA: o problema te dá dois lados e um ângulo que não está entre eles.

O motivo é sutil. Dois ângulos diferentes podem ter o mesmo seno: $\sen 30^\circ = \sen 150^\circ$. Então, quando você aplica a lei dos senos e acha um seno, existem dois ângulos possíveis pra ele. Às vezes os dois montam triângulos válidos, às vezes só um fecha, às vezes nenhum.

Onde a lei dos senos é usada?

A lei dos senos é usada pra localizar o que a trena não alcança: topografia, navegação, astronomia e até a localização de um foco de incêndio, tudo por triangulação.

O jeito é este. Você mede um ângulo a partir de dois pontos conhecidos, por exemplo, duas torres de observação a uma distância conhecida uma da outra. Com dois ângulos e um lado, que é exatamente o caso da lei dos senos, você calcula a distância até o alvo sem sair do lugar.

É o triângulo qualquer resolvendo um problema concreto: onde está o fogo, o navio, a estrela. A fórmula abstrata da lousa vira instrumento de medir o mundo.

O que estudar depois da lei dos senos?

Depois da lei dos senos, o próximo passo é a lei dos cossenos, o teorema que resolve o caso "dois lados e o ângulo entre eles".

Repara na escada que a gente subiu. Lá no começo, a trigonometria só sabia lidar com o triângulo retângulo. Taca ali um seno de alfa, porque o seno de alfa vai relacionar o A, que é um dos lados do triângulo, na verdade metade do A, com o R, que é o raio da circunferência. Foi esse seno do retângulo que virou a alavanca pra construir a lei dos senos.

O próximo degrau usa a mesma peça. Agora vou fazer uma coisinha que é a definição de seno cosseno tangente dentro de um triângulo retângulo, e é dela que sai a fórmula que faltava, a dos cossenos.

Se você entendeu a lei dos senos aqui, a dos cossenos é o passo natural. Dá uma olhada na aula da lei dos cossenos e, se quiser destrinchar o resto da trigonometria do mesmo jeito, o curso de Matemática segue por esse caminho.

FAQ: dúvidas sobre lei dos senos