Como achar o a e o b da função afim

O que são o coeficiente angular e o linear?

Em $f(x)=ax+b$ existem dois números e cada um faz um trabalho só. O a é o coeficiente angular: diz quanto o y muda quando o x aumenta uma unidade. O b é o coeficiente linear: diz de onde a reta parte, ou seja, o valor de y quando x vale zero.

Se você sabe o que cada um mede, achar os dois vira responder duas perguntas: qual é o ritmo e qual é o ponto de partida? A base está em função afim: definição, gráfico e exemplos.

Como descobrir o b da função afim?

O b é o mais fácil. Basta lembrar que ele é o valor da função no instante zero:

$b=f(0)$

Substitua x por zero na lei e sobra só o b, porque o termo ax desaparece. No gráfico, é o ponto em que a reta cruza o eixo vertical. Em problema de texto, é o valor inicial: a bandeirada do táxi, a posição de saída.

Se o enunciado não der o ponto com x = 0, calcule o a primeiro e use qualquer ponto conhecido $$b=y_1-a\cdot x_1$$. Por isso a ordem prática é sempre a mesma: primeiro o a, depois o b.

Como descobrir o a da função afim a partir de dois pontos?

Numa reta, o ritmo não muda. Quanto o y varia dividido pelo quanto o x variou dá sempre o mesmo número, não importa quais dois pontos você escolha. Esse número é o a:

Um exemplo completo. A reta passa por (1, 5) e (3, 11). Calcule o a:

$a={\displaystyle \frac{11-5}{3-1}}={\displaystyle \frac{6}{2}}=3$

Agora o b, usando o ponto (1, 5): $b=5-3\cdot 1=2$. A lei é $f(x)=3x+2$. Confira com o outro ponto: $f(3)=3\cdot 3+2=11$. Bateu, então a conta está certa.

Com a negativa funciona igual. Pontos (1, 7) e (4, 1): $a={\displaystyle \frac{1-7}{4-1}}={\displaystyle \frac{-6}{3}}=-2$, depois $b=7-(-2)\cdot 1=9$, logo $f(x)=-2x+9$.

E quando os dados vêm de um gráfico ou de uma tabela?

O método não muda, só muda onde você lê os dois pontos.

No gráfico: o b você lê direto, no ponto em que a reta corta o eixo y. Para o a, escolha dois pontos onde a reta passa exatamente sobre o cruzamento da malha, e conte quanto o y subiu (ou desceu) para quanto o x andou.

Na tabela: cada linha é um ponto. Se a tabela tem a linha x = 0 com y = 5 e a linha x = 2 com y = 9, então b = 5 e $a={\displaystyle \frac{9-5}{2-0}}=2$, logo $y=2x+5$. Antes de confiar, teste uma terceira linha: se a função é afim, o a calculado com qualquer par de linhas dá o mesmo valor. Se não deu, a tabela não é de uma função afim.

O que o sinal do a e o valor do b dizem sobre o gráfico?

Com b = 0 a reta passa pela origem (função linear). A raiz, onde a reta corta o eixo x, é $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$. Quando o gráfico curva, é função quadrática.

Como isso cai na prova? A viagem de BH ao Rio

Na aula completa de Matemática do ENEM, o professor usa uma questão de movimento para mostrar o papel dos dois coeficientes. Uma família parte do km 80 da BR-040, rumo ao Rio, a cerca de 100 km/h constantes. A pergunta é a função horária da posição S em função do tempo t.

1. Ache o b. Em t = 0 o carro está no km 80, então $S(0)=80$ e b = 80.
2. Elimine alternativas. Só sobrevive a que tem termo independente 80. Pelo coeficiente linear, quase tudo cai sem fazer outra conta.
3. Ache o a. Em 1 hora, a 100 km/h, o carro chega ao km 180: $S(1)=180$. Então a·1 + 80 = 180 e a = 100.
4. Escreva a função. $S(t)=100t+80$, que é a letra B da questão.

O que a Física chama de $S=S_0+vt$ é exatamente a função afim: a posição inicial é o coeficiente linear e a velocidade é o angular. O professor alerta: esse a não é aceleração, é velocidade. Se você domina $f(x)=ax+b$, domina o movimento uniforme. A revisão dessa matéria completa está em função afim na revisão de Matemática do ENEM.

Os erros mais comuns ao achar o a e o b

Quase todos vêm de trocar os papéis dos números ou de errar um sinal.

1. 01

   Confundir o angular com o linear

   O a é a inclinação e o b é onde a reta corta o eixo y. Trocar um pelo outro vira a reta errada, e é a troca que a questão da viagem armava: 80 (posição inicial) no lugar da velocidade.

   Como evitar: pergunte: este número é o ritmo (a) ou o ponto de partida (b)? O que vale em x = 0 é o b.
2. 02

   Inverter a ordem na subtração

   Calcular y₂ − y₁ em cima e x₁ − x₂ embaixo troca o sinal do a. A reta que sobe passa a "descer" na conta.

   Como evitar: use a mesma ordem nos dois lados da fração: se começou pelo ponto 2 em cima, comece pelo ponto 2 embaixo.
3. 03

   Achar o b e não conferir

   Um erro de sinal no b passa despercebido.

   Como evitar: substitua o outro ponto na lei final. Se os dois pontos batem, a lei está certa.

FAQ: coeficiente angular e linear