O que é o plano cartesiano?
Pensa comigo. Basicamente é você pegar uma reta real, então todos os números reais estão aqui 0, 1, raiz de 2, pi, enfim, todos os números positivos e negativos, você pega uma reta real e põe na horizontal. Faz o mesmo com outra na vertical, une as duas em ângulo reto, e você tem então um eixo real horizontal, um eixo real vertical, a gente costuma chamar isso aqui de R2, duas retas reais que geram uma região inteira do espaço.
Esse cruzamento muda tudo. Uma reta sozinha só localiza ponto numa dimensão. Com dois eixos, cada ponto passa a ter um endereço de dois números.
Eixo x e eixo y: quem é quem?
O eixo x é o horizontal, o das abscissas. O eixo y é o vertical, o das ordenadas. E os dois se encontram na origem, o ponto (0, 0).
Aqui mora a confusão mais comum de quem tá começando: qual número é o x e qual é o y? Guarda assim. O x é o chão: você anda pra direita quando ele é positivo, pra esquerda quando é negativo. O y é o prédio: sobe quando é positivo, desce quando é negativo. Um exemplo rápido pra fixar. Então se eu pegar aqui o X igual a 1 com o Y igual a 2, esses caras se cruzam bem aqui, e é esse cruzamento que marca o ponto no plano.
Repara também nas setinhas nas pontas dos eixos. Elas apontam só pro lado que cresce, nunca pros dois. É um detalhe bobo que muito material por aí desenha errado.
E não trava nos nomes formais. Abscissa é só "a coordenada do x". Ordenada é "a coordenada do y". Você não precisa decorar isso pra usar, precisa entender que um diz o quanto você anda de lado e o outro o quanto você sobe.
Como marcar e ler um ponto?
Marcar um ponto é achar o encontro do seu x com o seu y. E olha só, tem um detalhe que derruba todo mundo no começo. Existem dois números, duas coordenadas X e Y associados a cada ponto, mas o ponto em si ele não é um número. Faz sentido?
Pra marcar o (3, 2), você anda 3 pra direita no eixo x e sobe 2 no eixo y. A abscissa vem sempre primeiro, então (3, 2) não cai no mesmo lugar que (2, 3): a ordem faz parte da informação. No vídeo eu construo tudo isso do zero.
Como identificar o quadrante de um ponto?
Os dois eixos dividem o plano em quatro pedaços, os quadrantes, e o sinal das coordenadas já te diz na hora em qual deles o ponto está. Sem decorar tabela nenhuma.
Pensa na lógica: o sinal só conta a direção que você andou a partir da origem. O 1º quadrante é o canto de cima à direita, onde você foi pra direita (x positivo) e subiu (y positivo). Daí é só girar no sentido anti-horário:
| Quadrante | Sinal de x | Sinal de y | Exemplo |
|---|---|---|---|
| 1º | + | + | (3, 2) |
| 2º | − | + | (−3, 2) |
| 3º | − | − | (−3, −2) |
| 4º | + | − | (3, −2) |
Tem um atalho pra conferir na hora: os quadrantes ímpares (1º e 3º) têm x e y com o mesmo sinal; os pares (2º e 4º) têm sinais trocados. E se um dos números for zero? Aí o ponto não está em quadrante nenhum. Ele tá em cima de um eixo.
O que são as bissetrizes dos quadrantes?
As bissetrizes dos quadrantes são as duas retas que cortam o plano bem no meio dos eixos, dividindo cada par de quadrantes ao meio.
A bissetriz dos quadrantes ímpares passa por todos os pontos onde o x é igual ao y, os pontos do tipo (k, k), como (1, 1), (2, 2), (−3, −3). Ela sobe da esquerda pra direita, cortando o 1º e o 3º quadrante.
A dos pares faz o contrário. Passa pelos pontos onde o y é o oposto do x, do tipo (k, −k), como (1, −1) e (2, −2), e desce da esquerda pra direita, cortando o 2º e o 4º.
Reconhecer essas duas retas é o que separa quem só marca ponto de quem entende a estrutura do plano. E é bem aí que as questões de simétrico costumam pegar.
Como achar o simétrico de um ponto?
Achar o simétrico de um ponto é refletir ele como num espelho. O truque é saber qual coordenada troca de sinal em cada caso, e no fundo é sempre a mesma pergunta: quem é o espelho e quem troca?
| Espelho | O que muda | (3, 2) vira |
|---|---|---|
| Eixo x | o y troca de sinal | (3, −2) |
| Eixo y | o x troca de sinal | (−3, 2) |
| Origem | os dois trocam de sinal | (−3, −2) |
| Bissetriz ímpar | x e y trocam de lugar | (2, 3) |
O simétrico em relação à origem tem uma leitura bonita. Trocar o sinal das duas coordenadas de uma vez é o mesmo que girar o ponto 180° em torno do centro. É o mesmo raciocínio da reta real: sempre que você multiplica por menos 1, o efeito é girar 180 graus no sentido angular. Entende esse padrão e você nunca mais decora quatro regras separadas.
Qual é a distância entre dois pontos?
A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o Teorema de Pitágoras disfarçado. E dá pra deduzir, não decorar.
Pega dois pontos, A e B. A diferença entre os x deles é o quanto você anda na horizontal. A diferença entre os y é o quanto você sobe na vertical. Esses dois deslocamentos são os catetos de um triângulo retângulo, e a distância que você quer é a hipotenusa.
Daí é só aplicar Pitágoras: o quadrado da distância é a soma dos quadrados das diferenças.
Os catetos são as diferenças de coordenadas e ; a distância é a hipotenusa que sai direto do triângulo retângulo.
Repara que você não precisou guardar essa fórmula na cabeça. Ela apareceu sozinha assim que você desenhou o triângulo. É esse o nosso jeito de estudar aqui: a conta é consequência do desenho, não uma regra caída do céu.
De onde veio o plano cartesiano?
O plano cartesiano nasceu no século XVII com René Descartes (1596-1650), e o nome não é coincidência: "cartesiano" vem de "Cartesius", a versão latina de Descartes.
A sacada dele foi genial e simples ao mesmo tempo: unir duas áreas que até então viviam separadas. De um lado a álgebra, o mundo das contas e das equações. Do outro a geometria, o mundo das formas e dos desenhos.
Antes dele, você resolvia uma equação de um jeito e desenhava uma figura de outro, sem ponte entre os dois. Descartes mostrou que dava pra transformar toda equação num desenho e todo desenho numa equação, usando o sistema de coordenadas como tradutor.
É por isso que hoje a gente consegue ver o gráfico de uma função, calcular a distância entre dois pontos com uma fórmula, descrever uma reta por uma equação. Não é exagero dizer que boa parte da matemática e da física modernas só existe porque um cara resolveu casar número com forma.
Como o plano vira gráfico de função?
O gráfico de uma função nada mais é do que um monte de pontos marcados no plano cartesiano seguindo uma regra.
Pensa comigo: uma função é uma relação entre duas grandezas. Você dá um valor de x (a entrada) e ela te devolve um valor de y (a saída). Cada dupla (entrada, saída) é um par ordenado, e cada par ordenado é um ponto no plano.
Quando você marca todos os pontos que obedecem à regra da função, eles se alinham numa curva, a reta da função afim, a parábola da quadrática. Por isso o eixo x vira o lugar do domínio, todas as entradas possíveis, e o eixo y vira o lugar da imagem, todas as saídas.
Firmar o plano cartesiano é firmar o chão onde todo gráfico vai ser desenhado. É por isso que travar aqui trava você em funções também, e é pra esse cluster que você segue quando fechar essa página.
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Agora a gente faz junto, porque nada firma um conceito como resolver questão. Cada exercício abaixo vem com a resolução passo a passo, mostrando o raciocínio antes da resposta, do jeito que você vai precisar fazer na prova. Resolve cada um antes de olhar a resposta: é errando e corrigindo que o conceito gruda.
Em qual quadrante está o ponto (−4, 5)?
O x é negativo, então você andou pra esquerda; o y é positivo, então você subiu. Esquerda e cima é o canto de cima à esquerda: o 2º quadrante. Sinais (−, +), que batem com a regra.
Resposta: 2º quadranteQual é o simétrico de (3, 2) em relação ao eixo x?
O eixo x é o espelho na horizontal, então o x fica igual e o y troca de sinal. O ponto (3, 2) vira (3, −2).
Resposta: (3, −2)Qual é a distância entre A(1, 2) e B(4, 6)?
A diferença dos x é ; a diferença dos y é . Esses são os catetos. Aplica Pitágoras: .
Resposta: a distância éTravou em algum? Volta na seção do conceito, a de quadrantes, a de simétricos ou a de distância. Cada exercício veio direto de uma parte que a gente construiu aqui em cima.
FAQ: perguntas sobre plano cartesiano
O que é o plano cartesiano?
O plano cartesiano é o sistema de dois eixos numéricos perpendiculares, o x, na horizontal, e o y, na vertical, que se cruzam num ponto chamado origem. Ele serve pra localizar qualquer ponto do plano com um par de coordenadas (x, y). É a base de gráfico, função e geometria analítica, e é o primeiro chão que você firma antes de estudar praticamente qualquer coisa mais avançada na matemática.
O que são abscissa e ordenada?
Abscissa é a coordenada do eixo x (a horizontal); ordenada é a coordenada do eixo y (a vertical). Num ponto (x, y), o primeiro número é a abscissa e o segundo é a ordenada. São só os nomes formais de "o quanto você anda de lado" e "o quanto você sobe", você não precisa decorar os nomes pra usar, precisa entender o que cada um mede.
Como saber em qual quadrante está um ponto?
Você olha os sinais das coordenadas:
- (+, +) → 1º quadrante
- (−, +) → 2º quadrante
- (−, −) → 3º quadrante
- (+, −) → 4º quadrante
Se uma das coordenadas for zero, o ponto está sobre um eixo, não num quadrante. O sinal só conta a direção que você andou a partir da origem.
Qual é a diferença entre (3, 2) e (2, 3)?
São dois pontos diferentes. Em (3, 2) você anda 3 no eixo x e sobe 2 no eixo y; em (2, 3) você anda 2 no x e sobe 3 no y. Por isso a gente chama de par ordenado: a ordem faz parte da informação, e trocar os números muda o lugar do ponto. A abscissa vem sempre primeiro.
Como se calcula a distância entre dois pontos?
A distância é o Teorema de Pitágoras aplicado ao plano: a diferença dos x e a diferença dos y são os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa. Em fórmula, é . O melhor é que ela se deduz do desenho do triângulo, você não precisa decorar, precisa entender de onde ela vem.
Quem inventou o plano cartesiano?
Foi René Descartes, no século XVII, por isso "cartesiano". A ideia dele foi unir álgebra e geometria, mostrando que dá pra transformar equação em desenho e desenho em equação usando um sistema de coordenadas. É uma das fusões mais importantes da história da matemática, e é o que tornou possível a geometria analítica que você estuda hoje.