Tabela trigonométrica: seno, cosseno e tangente de 0° a 90°

O que é a tabela trigonométrica?

É a lista de valores de seno, cosseno e tangente para cada ângulo. Existem duas versões, e a prova cobra a menor. A tabela dos ângulos notáveis tem só 30°, 45° e 60° (mais 0° e 90°), em valor exato com raiz, e você precisa saber de cabeça. A tabela completa vai de 0° a 90° com valores aproximados, e serve para consulta.

Por que 30°, 45° e 60° merecem ser decorados? Porque todo triângulo retângulo com um desses ângulos tem os lados na mesma proporção, qualquer que seja o tamanho. A abertura do ângulo define as razões, não a escala. Os números da tabela são essas razões. Ter a tabela na cabeça é ter, de graça, a proporção entre os lados de toda uma família de triângulos.

Qual é a tabela dos ângulos notáveis?

Estes são os valores exatos. Se a questão pede resposta em fração ou com raiz, é daqui que ela sai:

Repare em dois padrões. O seno cresce de 0 a 1 enquanto o cosseno faz o caminho inverso, de 1 a 0. E o seno de 45° é igual ao cosseno de 45°, porque o triângulo retângulo de 45° é isósceles: os dois catetos são iguais. A tangente é a razão entre eles, então vale 1. O assunto completo, com os triângulos, está em ângulos notáveis.

Como decorar a tabela sem errar?

O truque do vídeo cabe em uma linha. Para o seno, escreva 1, 2, 3 (de 30° a 60°). Para o cosseno, escreva 3, 2, 1. Ponha uma raiz quadrada em cada número e divida tudo por 2:

Como √1 = 1, o seno de 30° é 1/2 e o cosseno de 60° também. Como os dois do meio são iguais, não tem o que decorar no 45°. A tangente você não decora: é o seno dividido pelo cosseno, $\mathrm{tg}x={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}$. Em 30°, (1/2) ÷ (√3/2) = 1/√3 = √3/3. Em 45°, a divisão dá 1. Em 60°, dá √3.

Um jeito de checar: o seno cresce de 30° para 60° (1, 2, 3) e o cosseno decresce (3, 2, 1). Se a sua tabela mostra o contrário, as colunas estão trocadas.

Qual é a tabela completa de 0° a 90°?

Para consulta e conferência, a tabela de grau em grau, com quatro casas decimais. Ela foi gerada por cálculo, não digitada, e tem a tangente de 90° como "—" porque ela não existe. A tabela impressa fica mais confortável de usar: baixe o PDF.

Três coisas para notar. O seno de um ângulo é igual ao cosseno do complementar (sen 20° = cos 70° = 0,3420). A tangente passa de 1 em 45° e dispara perto de 90°: tg 80° = 5,6713 e tg 89° = 57,2900. E a relação ${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ vale em cada linha, o que serve de conferência de qualquer valor que você ler. Há mais dela em relação fundamental da trigonometria.

Como achar o seno de um ângulo maior que 90°?

A tabela só vai até 90°. Para o resto você reduz ao primeiro quadrante em três passos:

1. Descubra em qual quadrante o ângulo está (use o ciclo trigonométrico).
2. Calcule o ângulo de referência, a distância até o eixo horizontal mais próximo, e leia o valor na tabela.
3. Ponha o sinal do quadrante.

A redução do 2º quadrante, por exemplo, é $\mathrm{sen}(180^{\circ }-x)=\mathrm{sen}x\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$. Dois exemplos:

sen 150°. Está no 2º quadrante, a referência é 180° − 150° = 30° e o seno é positivo. Logo sen 150° = sen 30° = 1/2.

cos 120°. Está no 2º quadrante, a referência é 60° e o cosseno é negativo. Logo cos 120° = −cos 60° = −1/2.

Um terceiro, no 3º quadrante: tg 225° tem referência 225° − 180° = 45° e tangente positiva nesse quadrante, então vale 1. O mesmo raciocínio vale para ângulos além de 360°: tire voltas inteiras até cair entre 0° e 360°. Para converter graus e radianos, veja arcos e ângulos.

Como usar a tabela na prova?

A tabela serve para transformar uma relação entre lados em um número. Se o triângulo é retângulo e tem um ângulo de 30°, 45° ou 60°, você escolhe a razão que liga o lado que tem ao lado que quer e troca por valor da tabela.

Exemplo do vídeo. Num triângulo retângulo com ângulo de 30°, o cateto adjacente mede 5 e a hipotenusa é x. A razão que liga adjacente e hipotenusa é o cosseno, e o cosseno de 30° é √3/2:

$\cos 30^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{5}{x}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3}}$

Sem tabela, esse problema não fecha por semelhança de triângulos, porque você só tem um triângulo. Com a tabela você tem a razão exata entre os lados. Repare no passo final: racionalizar (multiplicar em cima e embaixo por √3) tira a raiz do denominador, que é a forma que a prova espera.

Se o triângulo não é retângulo, a ferramenta passa a ser a lei dos senos ou a dos cossenos. Veja a lei dos senos e a tabela do seno, cosseno e tangente para escolher.

E o seno de um ângulo que não está na tabela?

Na tabela completa há valores de grau em grau, mas e 75°, 36° ou 17,5°? No vídeo "Como descobrir o seno de qualquer ângulo" o professor Felipe Guisoli mostra quatro caminhos:

• Soma ou diferença de notáveis. $\mathrm{sen}75^{\circ }=\mathrm{sen}(30^{\circ }+45^{\circ })$. Aplique a fórmula de arcos compostos e termine com valores exatos. O mesmo vale para 15° = 45° − 30°. Está em arcos compostos.
• Construção geométrica. Para ângulos que não saem de soma de notáveis, como 36°, um triângulo isósceles com ângulos de 72°, 72° e 36°, mais a lei dos senos e o arco duplo, leva a uma equação do 2º grau. O resultado é $\cos 36^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-1}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$.
• Ciclo trigonométrico com transferidor. Desenhe um círculo de raio 1, marque o ângulo e meça as projeções nos eixos: a horizontal é o cosseno, a vertical é o seno. É aproximado, mas funciona.
• Série polinomial. É assim que o cálculo é feito de verdade. Com x em radianos:

Cada termo a mais deixa a aproximação melhor. Para ângulos pequenos, só o primeiro já basta, e isso explica a aproximação $\mathrm{sen}x\approx x$ usada em Física (x em radianos). Esta série é a de Taylor, e o vídeo a compara com o gráfico do seno, termo a termo.

Quais são os erros mais comuns com a tabela trigonométrica?

1. 01

   Trocar as colunas do seno e do cosseno

   Decorar "1, 2, 3" sem dizer a qual função pertence faz o seno de 30° virar √3/2, e todo o problema sai errado.

   Como evitar: lembre que o seno de 30° é o menor: 1/2. O seno cresce de 0° a 90°, o cosseno decresce.
2. 02

   Esquecer o sinal fora do 1º quadrante

   A tabela só tem valores positivos, porque só cobre 0° a 90°. Cosseno de 120° é −1/2, e não 1/2.

   Como evitar: sempre faça os dois passos: valor pelo ângulo de referência, sinal pelo quadrante.
3. 03

   Usar a tangente como se existisse em 90°

   tg 90° = sen 90° / cos 90° = 1/0 não existe. Num problema, isso costuma indicar que o ângulo está certo e a razão escolhida, errada.

   Como evitar: se o cosseno do ângulo é zero, a tangente não está definida: troque a razão ou revise o triângulo.

FAQ: tabela trigonométrica