O que é a relação fundamental da trigonometria

O que é a relação fundamental?

A relação fundamental da trigonometria é a identidade ${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: o seno ao quadrado mais o cosseno ao quadrado de um mesmo ângulo dá sempre 1. Se você tem o seno de um ângulo, automaticamente você tem o cosseno, porque existe uma relação que amarra os dois, é isso que a relação fundamental da trigonometria faz. Conhece um, o outro sai na hora.

Dá pra conferir num ângulo que você já conhece. No 30°, o seno vale $\frac{1}{2}$ e o cosseno vale ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. Faz a conta: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$. Fechou. Não é pra decorar, é uma conta que bate.

E ela não vale só no triângulo retângulo: no ciclo de raio 1 essa identidade vira um Teorema de Pitágoras que funciona em qualquer quadrante. Nesta página eu construo a relação fundamental do zero, o que ela significa, de onde vem, as outras formas e os exemplos resolvidos passo a passo.

sen²x é o mesmo que sen(x²)?

Não, ${\mathrm{sen}}^{2}x$ não é a mesma coisa que $\mathrm{sen}(x^2)$. ${\mathrm{sen}}^{2}x$ quer dizer o seno de x elevado ao quadrado: você tira o seno primeiro e depois eleva. O contrário seria isto: pegar o ângulo, elevar ele ao quadrado primeiro, e só depois perguntar quanto vale o seno disso, aí você já virou $\mathrm{sen}(x^2)$, outra coisa.

A diferença aparece na hora que você põe número. Olha o 30°:

Na relação fundamental é sempre o primeiro caso: eleva o seno, nunca o ângulo.

De onde vem a relação fundamental?

A relação fundamental vem direto do Teorema de Pitágoras. Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo é o cateto oposto sobre a hipotenusa, e o cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa. Chamando a hipotenusa de a, o cateto oposto de b e o adjacente de c: $\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{b}{a}}$ e $\cos x={\displaystyle \frac{c}{a}}$.

Aí vem o pulo do gato. Pitágoras diz que $b^2+c^2=a^2$. Divide tudo por $a^2$ e aparece ${\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{c^2}{a^2}}=1$, que é exatamente ${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

E pronto: a gente acabou de provar que seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado tem que dar 1, qualquer que seja o ângulo. Não é uma fórmula pra decorar, é um resultado que você constrói. Eu faço essa demonstração completa, com o desenho do triângulo passo a passo, neste vídeo, e levo a prova ainda mais longe na demonstração completa da relação fundamental.

Como ver a relação no ciclo?

No ciclo trigonométrico de raio 1, o seno e o cosseno são os catetos de um triângulo. Projeta a extremidade do arco no eixo vertical, e esse tamanho é o seno desse ângulo. Projeta no eixo horizontal, o eixo dos cossenos, e você tem o cosseno.

Repara no triângulo que aparece: um cateto é o seno, o outro é o cosseno, e a hipotenusa vale 1, porque a hipotenusa é o raio do ciclo.

Ou seja: a relação fundamental é simplesmente um Teorema de Pitágoras nesse triângulo. Cateto ao quadrado mais cateto ao quadrado igual à hipotenusa ao quadrado, e como a hipotenusa é 1, ${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Por que se chama fundamental?

O nome fundamental não é enfeite. Essa identidade é a base de onde saem as outras, pelo próprio nome já dá pra sacar que o negócio é importante. Não é uma fórmula qualquer da lista, é a peça central.

É por isso que a relação fundamental é a primeira que se aprende e a que mais cai: entendeu ela, as outras vêm por consequência, não por memória.

Quais são as outras formas?

As outras formas saem de uma manobra só: dividir a identidade. Você pega a relação fundamental, ${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, e divide tudo, faz umas manipulações e elas aparecem.

Divide por ${\cos }^{2}x$. Seno ao quadrado sobre cosseno ao quadrado é tangente ao quadrado, porque seno sobre cosseno é tangente; ${\cos }^{2}x$ sobre ${\cos }^{2}x$ dá 1; e 1 sobre ${\cos }^{2}x$ é ${\sec }^{2}x$. Junta tudo:

Aquela condição de validade não é frescura: se o cosseno (ou o seno) zera, você estaria dividindo por zero, e aí não vale.

Essa divisão passo a passo, termo a termo, eu faço completa neste vídeo. Se quiser mais exemplos com as duas formas derivadas, tem a página só sobre as outras formas.

Como achar o cosseno pelo seno?

Dado o seno, o cosseno sai por dois caminhos. Vamos supor $\mathrm{sen}x=\frac{1}{3}$, com o ângulo no primeiro quadrante.

Olha que legal: pelo caminho 2 você resolve isso tendo só uma noção primitiva do que significam seno e cosseno, sem decorar a fórmula da relação fundamental. Os dois caminhos sempre batem.

Como achar todas as razões?

Com um valor e o quadrante na mão, você acha todas as razões. Vamos treinar: um ângulo tem tangente igual a 2, e você sabe que ele está no primeiro quadrante. Dá pra achar seno, cosseno, cotangente, secante e cossecante, tudo, só com isso.

Usa a forma derivada $1+{\mathrm{tg}}^{2}x={\sec }^{2}x$: ${\sec }^{2}x=1+2^2=5$, então $\sec x=\sqrt{5}$ e $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$. Como tangente é seno sobre cosseno, o seno é $2\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$. O resto sai de bônus, é só inverter:

O único cuidado é o sinal. Pode rolar uma ambiguidade ali: será que é positivo ou negativo? Quem decide é o quadrante, no primeiro, como aqui, é tudo positivo. Esse exemplo completo eu resolvo neste vídeo.

Onde a relação cai nas provas?

Em prova, a relação fundamental aparece o tempo todo, dentro de equação trigonométrica, em simplificação de expressão, no cálculo de uma razão a partir de outra. A sacada não é decorar as três formas, é escolher a certa: dependendo do problema, uma forma é mais interessante de usar do que a outra.

É a mesma lógica dos exemplos que você acabou de ver: com um valor na mão, a relação destrava todas as outras razões daquele ângulo.

FAQ sobre a relação fundamental