Crescimento e decaimento exponencial: fórmula e exemplo resolvido

O que é crescimento e decaimento exponencial?

É o comportamento de uma grandeza que, a cada passo, é multiplicada pelo mesmo fator. Quando esse fator é maior que 1, o valor cresce; quando está entre 0 e 1, ele decai. Na função exponencial a variável fica no expoente, e é por isso que um pequeno avanço em x produz uma variação enorme em y.

A base decide tudo. Com b maior que 1, o gráfico sobe: é o caso dos juros compostos. Com b entre 0 e 1, o gráfico desce: é o caso do decaimento radioativo e de situações parecidas, em que a cada período o valor cai a uma fração do anterior. Saber ler a base já diz, de antemão, se a curva sobe ou desce.

Qual é a fórmula do crescimento e do decaimento exponencial?

A tabela mostra o que cada letra significa. Nos juros compostos, a mesma ideia aparece como $$C(x)=C_0(1+i{)}^x$$, em que o fator é $b=1+i$.

Compare as duas bases lado a lado. Na coluna do crescimento o valor dobra a cada passo; na do decaimento ele cai pela metade, sem nunca chegar a zero. Nos dois casos o gráfico corta o eixo y em 1.

Como calcular o crescimento exponencial passo a passo?

O exemplo do professor: R$ 1.000 aplicados a juros compostos de 10% ao ano, sem novos depósitos. Quanto há no ano x?

1. Converta a taxa: 10% = 10/100 = 0,1.
2. Monte o fator: capital mais 10% dele é 1 + 0,1 = 1,1 vez o capital.
3. Aplique ano a ano: ano 1, $1000\cdot 1,1$; ano 2, $1000\cdot 1,1^2$; ano 3, $1000\cdot 1,1^3$.
4. Generalize: no ano x, o capital é $1000\cdot 1,1^x$.

Resultado: $C(x)=1000\cdot 1,1^x$, função crescente, porque a base 1,1 é maior que 1. O ano 0 também se encaixa, pois $1,1^0=1$. Para saber o valor no ano 33, troque x por 33.

Como isso cai no ENEM?

A questão modelo da aula: Tiago deposita R$ 1.000 para a filha Clara, recém-nascida, a 1% ao mês, juros compostos, sem novos depósitos. O enunciado traz o gráfico de $f(x)=1,01^x$. Quanto Clara poderá acessar aos 33 anos?

1. Fator mensal: 1% = 0,01, então b = 1,01. O capital é $C(x)=1000\cdot 1,01^x$, com x em meses.
2. Tempo: 33 anos = 33 · 12 = 396, cerca de 400 meses.
3. No gráfico, em x = 400, lê-se $1,01^{400}\approx 50$.
4. Multiplique pelo valor inicial: 1000 · 50 = 50.000.

Resposta: aproximadamente R$ 50.000 (alternativa d). A resolução completa está na questão 02 da aula.

Quais erros mais comuns?

1. 01

   Confundir 0,1 com 1,1

   Multiplicar por 0,1 pega só os 10%, não o capital acrescido deles.

   Como evitar: o fator de um aumento é sempre 1 mais a taxa decimal.
2. 02

   Usar x = 1 para um ano quando a taxa é mensal

   Com taxa ao mês, x = 1 é um mês. Um ano é x = 12.

   Como evitar: converta o tempo para a mesma unidade da taxa antes de substituir.
3. 03

   Esquecer o valor inicial ao ler o gráfico

   O gráfico da questão é de 1,01^x, sem o 1000. O valor lido ainda precisa ser multiplicado.

   Como evitar: depois de ler y no gráfico, multiplique por a.

FAQ: crescimento e decaimento exponencial