A questão mais fácil do ITA: média harmônica das raízes (2023)

Qual é a questão mais fácil do ITA?

Ninguém publica um ranking de dificuldade, então a resposta honesta é: a mais fácil é a que pede uma ferramenta só e uma conta curta. A melhor candidata que eu conheço é a questão 40 da primeira fase do ITA 2023. O enunciado parece de nível altíssimo. A resolução cabe em oito minutos de vídeo e em meia página de caderno.

A tese vale para a prova inteira: nem toda questão do ITA é cabeluda. Algumas só testam se você conhece uma ferramenta e se resiste à tentação de fazer conta demais. Vamos resolver essa e depois ver como caçar as parecidas no dia da prova.

O que a questão pede?

Pede a média harmônica das raízes de um polinômio de grau 3, sabendo que as raízes são reais e positivas. O polinômio, a partir dos coeficientes que aparecem na resolução do vídeo, é:

Um aviso de método: reconstruí o enunciado a partir da transcrição automática do vídeo. Os coeficientes batem com todas as relações usadas na resolução (113/30, 108/30 e 30/30), mas o texto original e as alternativas estão no caderno oficial da prova. Confira lá antes de citar o polinômio.

Repare no que o enunciado não pede: não pede as raízes. Pede uma expressão que depende delas de forma simétrica. É esse o sinal de que há um atalho.

Como resolver passo a passo

Passo 1: a definição. Chame as raízes de a, b e c. Como o polinômio tem grau 3, são exatamente três. A média harmônica de três números é 3 dividido pela soma dos inversos:

Passo 2: arrume a expressão. Some as frações do denominador com o denominador comum abc e inverta a fração:

Agora a média harmônica depende só de duas coisas: o produto abc e a soma dos produtos dois a dois, ab + ac + bc. Nenhuma das duas exige conhecer as raízes.

Passo 3: as relações de Girard. Para $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ com raízes a, b e c:

Com os coeficientes do polinômio da questão:

$a+b+c=-{\displaystyle \frac{-113}{30}}={\displaystyle \frac{113}{30}}$; $ab+ac+bc={\displaystyle \frac{108}{30}}={\displaystyle \frac{18}{5}}$; $abc=-{\displaystyle \frac{-30}{30}}=1$.

Passo 4: substitua.

A média harmônica das raízes é 5/6. Não sabemos quais são as raízes, e não precisamos saber.

Por que ela é fácil, e o que ensina sobre a prova?

Três coisas fazem dela uma questão fácil, e as três se repetem em outras provas do ITA.

A lição é de postura: diante de um polinômio feio, não tente resolvê-lo. Pergunte primeiro o que o enunciado quer. Se for soma, produto, soma dos inversos, soma dos quadrados ou qualquer combinação simétrica das raízes, o caminho passa pelos coeficientes, e não pelas raízes.

Há ainda um sinal de sanidade: o produto das raízes deu 1 e a soma dos produtos deu 18/5, números simples. Quando a conta de uma questão do ITA começa a gerar frações monstruosas, vale rever o caminho.

Como achar as questões fáceis no dia da prova?

Esta é a parte que rende nota. Uma estratégia simples, sem inventar nada:

• Leia a prova toda antes de resolver. Marque o que parece curto e o que parece longo.
• Resolva primeiro as que pedem uma ferramenta só. Relações de Girard, uma identidade, uma propriedade conhecida.
• Desconfie de contas que pedem números feios. Se o caminho óbvio leva às raízes de um cúbico, procure a expressão simétrica.
• Guarde o tempo que as fáceis poupam para as questões que exigem de verdade.

Para treinar o reconhecimento, a revisão completa está em Revisão ITA 2027, e o panorama da prova no guia do ITA. Quem quer entender o outro extremo pode ver a questão mais difícil do ITA.

E a mais difícil? A ligação entre as duas

A fácil e a difícil têm algo em comum: nenhuma das duas se resolve por força bruta. Na fácil, o atalho é usar a estrutura (Girard) em vez das raízes. Na difícil, o desafio é montar o modelo certo antes de calcular. A diferença é quanto trabalho de raciocínio fica antes da conta.

Outras resoluções do canal mostram o mesmo padrão: a questão 6 do ITA 2021 e a questão difícil do ITA 2004. Comparar as três é um bom exercício de leitura de prova.

Veja também: a mais fácil de outros anos

O canal faz esse exercício todo ano. Os vídeos de 2026 e de 2027 (questão 1) resolvem a questão mais fácil de cada prova. Assista e tente identificar, antes da resolução, qual é a ferramenta única de cada uma.

Os erros mais comuns nesta questão

1. 01

   Tentar achar as raízes

   As raízes não são números bonitos, e o cúbico não tem fatoração visível. É a armadilha: gasta tempo e não leva a nada.

   Como evitar: releia o que o enunciado pede. Se é uma expressão simétrica nas raízes, use Girard.
2. 02

   Errar o sinal nas relações de Girard

   A soma das raízes é −b/a e o produto é −d/a, com sinais alternados. Esquecer o sinal troca a resposta.

   Como evitar: escreva as três relações antes de substituir e confira os sinais com os coeficientes do polinômio.
3. 03

   Confundir média harmônica com aritmética

   A média aritmética das raízes seria (113/30)/3. A harmônica é o inverso da média dos inversos.

   Como evitar: comece sempre pela definição: 3 dividido pela soma de 1/a + 1/b + 1/c.

FAQ: questão mais fácil do ita