A questão mais difícil do ITA, resolvida por escrito

Qual é a questão mais difícil do ITA?

Já vou ser honesto contigo: eu não acho que é exatamente a questão mais difícil do ITA, né? Na verdade, o ITA sequer tem um ranking de questões mais difíceis, mas essa é uma questão que tem uma dificuldade. E essa dificuldade não está na conta.

O que trava todo mundo é enxergar a equação do vínculo geométrico. É esse o pulo do gato.

A questão em si é de Física: dois blocos de mesma massa, atrito entre a caixa e o chão, uma polia ideal e um fio que faz sempre 30° com a horizontal, pedindo a tração no fio. Só que quem fecha essa conta até o fim é a Matemática.

O que a questão do ITA pede?

A questão pede uma coisa só: a tração no fio.

O sistema é esse: existe uma parede vertical presa no chão, colada numa caixa grande, e essa parede garante que uma massinha sempre escorregue verticalmente ao longo dela. Presa no alto da caixa tem uma polia ideal, e um fio ligando a massinha a essa polia, sempre a 30° com a horizontal. As duas massas são iguais, e existe atrito entre a caixa grande e o chão.

O enunciado original só diz "a figura mostra..." e não traz a figura. Por isso eu descrevo o sistema inteiro aqui, peça por peça, sem pular nada, é esse quadro mental que você vai usar em cada passo da resolução.

Por que os blocos andam juntos?

Os dois blocos andam juntos por causa de um vínculo. Entender isso agora, em palavras, é o que faz toda a matemática lá na frente parecer fácil.

Antes de sair escrevendo fórmula, pensa comigo no que está rolando. A caixa grande e a massinha aceleram juntas para o lado. Essa parede aqui na caixa grande obriga a massinha a sempre se deslocar para a direita junto com a caixa grande. Faz sentido a gente chamar isso de um vínculo. É uma conexão entre os corpos, e é ela que amarra o movimento dos dois.

Só que a massinha tem dois movimentos ao mesmo tempo: ela é arrastada para a direita com a caixa e ainda desce pela parede. A caixa, não, a caixa só anda na horizontal.

Sacou a ideia? Primeiro a gente entende o que está rolando com esse sistema, e aí a gente faz umas contas. Você vai ver que a gente faz até poucas contas. Sem enxergar esse vínculo, você trava; com ele, o resto é só montar equação.

Quais forças agem em cada bloco?

Antes de escrever qualquer $F = ma$, você desenha as forças que agem em cada corpo, o diagrama de corpo livre. É o mapa que segura a resolução: se sobra ou falta força aqui, a conta despenca lá na frente.

Na massinha agem três forças: o peso, para baixo ($Mg$); a tração do fio, a 30°; e a normal da parede, como a massinha fica grudada contra a parede, existe uma força de contato trocada entre as duas. Na caixa grande agem o peso ($Mg$), a normal do chão ($N'$), a reação da massinha sobre a parede, as duas trações que a polia transmite (a polia é presa na caixa, então o que puxa a polia puxa a caixa) e o atrito com o chão, que se opõe ao movimento.

Como montar a segunda lei de Newton?

O método é o de sempre, e é o mesmo de toda questão de dinâmica. Pra começar, é simples: leis de Newton, problema de dinâmica, você representa todos os esforços que estão atuando nos corpos e escreve F igual a MA. Velho, você resolve todos os problemas assim.

A gente escreve a segunda lei de Newton para cada corpo e em cada direção, x e y. Cada equação vira uma linha do sistema.

Na massinha, na horizontal, quem faz ela acelerar é a normal da parede: $N = M a_x$. Na vertical, o peso vence a tração e ela desce: $Mg - T = M a_y$.

Tem um detalhe que o próprio enunciado entrega: existe atrito entre a caixa e o chão, então vai aparecer uma força de atrito na caixa. Esse atrito é cinético e vale $\mu N'$, e o pulo aqui é usar a normal certa. O atrito é entre a caixa e o chão, então quem entra é a normal do chão ($N'$), não a normal da parede.

Como decompor a tração a 30°?

A tração se decompõe em duas componentes: $\dfrac{T}{2}$ na vertical e $\dfrac{T\sqrt{3}}{2}$ na horizontal. É aqui que a Matemática assume a questão.

O fio faz 30° com a horizontal. Essa tração tem uma componente vertical que é T seno de 30, e seno de 30 é meio, então isso vale T sobre 2. E ela tem uma componente horizontal que vale T cosseno de 30, e cosseno de 30° é $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, então essa componente fica $\dfrac{T\sqrt{3}}{2}$.

Repara que não tem nada para decorar. Você olha o triângulo retângulo que o fio forma com a horizontal, marca o 30° e lê seno e cosseno direto do desenho.

Por que essa questão trava todo mundo?

Essa questão trava todo mundo por um motivo específico: quando você termina de montar F = ma, sobram três incógnitas ($T$, $a_x$ e $a_y$) e só duas equações. Falta uma, e a que falta não é física, é geométrica.

Lembra do vínculo lá do começo? A massinha desce com aceleração vertical $a_y$ e é arrastada para a direita com a mesma aceleração horizontal $a_x$ da caixa. Olhando a geometria do fio a 30°, dá para provar que essas duas acelerações estão amarradas:

Qual é a tração no fio?

Com o vínculo geométrico, a conta fecha. Antes dele o aperto era esse: você fazia a decomposição, montava o sistema, e o que tinha de incógnita era o $T$, o $a_x$ e o $a_y$, fizeram a brincadeira toda, só que sobraram três incógnitas e só duas equações. A matemática não deixa resolver assim.

Aí entra a equação do vínculo, e o quadro vira: antes eram duas equações e três incógnitas; agora são uma, duas, três equações para três incógnitas. A física já acabou, aqui é matemática, é só pegar o que você quer.

O resto é álgebra: divide uma equação pela outra, isola e chega na tração. Repara numa coisa boa: a resposta depende do atrito. Quanto maior o $\mu$, maior a tração, e isso faz sentido físico.

Dá pra resolver de mais de um jeito?

Dá, sim. E é aí que mora o "entender, não decorar": quando você entende o fenômeno, aparece mais de um caminho.

Numa outra questão dura do ITA, a de mudança de referencial, eu mostro isso na prática: a gente vai resolver não de uma, mas de duas formas lindas e distintas, e cada uma delas explora uma parte diferente da nossa inteligência.

Nesta questão dos dois blocos, o caminho do vínculo geométrico é o mais limpo. Mas o valor de verdade está em conferir seu raciocínio por outra via, em vez de decorar um roteiro único.

É mesmo a questão mais difícil do ITA?

Não exatamente. "A mais difícil do ITA" funciona como título, não como fato, e eu prefiro te contar isso de frente.

Eu não acho que essa é exatamente a questão mais difícil do ITA. O ITA sequer tem um ranking oficial de questões mais difíceis. É um apelido do público. Mas ela tem uma dificuldade real, e essa dificuldade tem nome: a equação do vínculo geométrico.

Se você mira o ITA ou o IME, o jogo não é decorar a resposta desta questão. É treinar esse tipo de raciocínio até ele virar natural, e é para isso que eu fico resolvendo questão difícil com você.

Se quiser treinar mais um pouco, tem outra questão dura do ITA que eu também resolvo por escrito, do enunciado à resposta.

FAQ: a questão mais difícil do ITA