Como aprender trigonometria do zero até as equações

O que são as lições de trigonometria?

As lições de trigonometria são a trilha gratuita do Universo Narrado que ensina o assunto do zero. Começa no triângulo retângulo, passa pelo ciclo trigonométrico e chega nas equações, sempre na mesma ordem, sem pular etapa.

A gente está buscando ter um entendimento mais profundo e completo da matemática, que é o que vai te dar segurança e autonomia pra arregaçar e jantar qualquer prova.

Essa trilha não pede pra você decorar tabela. Ela deduz cada fórmula, e a prova disso já aparece na segunda lição: $\sen 30^\circ = \tfrac12$ sai de um triângulo que vira equilátero, não de uma tabela decorada.

Matemática é arte o resto é fazer conta, é o bordão que resume a régua desta trilha inteira.

Siga os passos na ordem certa e cada peça encaixa na seguinte, a mesma trilha sustenta ENEM, vestibular e prova militar; muda só o quanto você aprofunda, não o ponto de partida.

Por onde começar a estudar trigonometria do zero?

Comece pelo triângulo retângulo. Sem pular etapa.

A ordem que funciona:

1. 01

   Seno, cosseno e tangente

   Como razões entre os lados do triângulo retângulo.

2. 02

   Ângulos notáveis

   30°, 45°, 60°, e a diferença entre grau e radiano.

3. 03

   Ciclo trigonométrico

   Estende essas razões pra qualquer ângulo.

4. 04

   Relação fundamental

   $\sen^2\theta + \cos^2\theta = 1$.

5. 05

   Equações trigonométricas

   Fecham a trilha.

Vamos fazer um resumo então das principais ideias, os principais conceitos que a gente construiu nesse capítulo. É assim que cada lição desta trilha se fecha, antes de abrir a próxima.

Vem comigo na ordem certa, passo a passo, aqui embaixo.

O que são seno, cosseno e tangente?

Seno, cosseno e tangente são razões entre os lados de um triângulo retângulo. Nada mais.

O cosseno de θ é a razão entre o cateto adjacente à θ e a hipotenusa, ou seja, x sobre R. A definição de seno, o que é o seno? O seno é a razão entre o cateto oposto y e a hipotenusa.

Tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Ou, se você já tem seno e cosseno, é só dividir um pelo outro.

É por isso que, se você sabe dois lados de um triângulo retângulo e um ângulo, dá pra achar o terceiro lado sem medir nada, só com a razão certa.

As três nascem do mesmo triângulo. E é esse triângulo que sustenta tudo que vem depois na trilha: ângulos notáveis, ciclo, relação fundamental.

O que são ângulos notáveis e radianos?

$\sen 30^\circ$ vale $\tfrac12$. E não é porque alguém decidiu assim.

Todo mundo decora aquela porcaria daquela tabela porque algum imbecil escreve no quadro e fala que é daquele jeito que você decora. Mas dá pra provar, desenhando.

Pega um triângulo com dois lados de tamanho 1, abrindo 30° cada um a partir do centro. Espelha esse triângulo pro outro lado, com o mesmo ângulo de 30°. Pronto: você criou um triângulo isósceles com ângulo de 60° no topo ($30^\circ + 30^\circ$).

Se o ângulo do topo é 60°, os outros dois ângulos da base somam 120°, e, como são iguais entre si, cada um vale 60°. Três ângulos de 60°: se isso aqui vale 60 e esse aqui vale 60, esse triângulo não é só isósceles. Ele é equilátero.

Se é equilátero, o lado que você acabou de criar (a base) também vale 1, igual aos outros dois. E essa base é exatamente o dobro do seno de 30° que você queria achar, porque você a construiu espelhando o triângulo original ao meio.

1 dividido por 2 é $\tfrac12$. $\sen 30^\circ = \tfrac12$, sem tabela, só triângulo.

Radiano é a outra régua pra medir ângulo. Pode ser então um ângulo de um radian, como você pode ver aí, é quando eu pego um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência.

• Grau conta fatias de uma volta completa, 360 no total
• Radiano conta quantos raios cabem no comprimento do arco

Uma volta completa tem $2\pi$ radianos, que equivalem aos mesmos 360°.

Essa diferença entre medida e comprimento de arco, e a conversão entre grau e radiano, é o que eu desenrolo com calma no vídeo Trigonometria: Arcos e Ângulos.

O que é o ciclo trigonométrico?

Ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica. Um objeto matemático extremamente relevante para o estudo da trigonometria, que vai nos ajudar para caramba a aprofundar os nossos conhecimentos. E é ela que estende seno e cosseno pra qualquer ângulo, não só os que cabem dentro de um triângulo.

De onde que esse negócio vem, para que ele serve e qual que é o poder disso? Pega um ângulo θ numa circunferência de raio R qualquer. Projeta o ponto da circunferência no eixo horizontal e no eixo vertical. O cosseno de θ é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, x sobre R. O seno de θ é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, y sobre R.

Agora repara: se o raio vale exatamente 1, x sobre 1 é o próprio x, e y sobre 1 é o próprio y. Quando R = 1, o cosseno de θ é o próprio x, e o seno de θ é o próprio y. É por isso que o ciclo trigonométrico é simplesmente uma circunferência de raio 1: pra transformar cosseno e seno diretamente nas coordenadas do ponto, sem conta extra.

O eixo horizontal vira o eixo dos cossenos. O eixo vertical vira o eixo dos senos. E como o raio é 1, seno e cosseno sempre vão ficar entre 1 e menos 1.

O ciclo se divide em quatro quadrantes, contados no sentido anti-horário a partir do zero grau: primeiro, segundo, terceiro e quarto. Um ângulo negativo é só o mesmo giro, no sentido horário.

Então olha que doideira, com o ciclo trigonométrico eu consigo estender o conceito de seno e cosseno para ângulos bizarros. Seno de 120°, seno de 380°, qualquer ângulo, mesmo os que nunca caberiam dentro de um triângulo retângulo. Basta caminhar aquele tanto no ciclo, projetar nos dois eixos, e ler o resultado.

Essa construção completa, com os quatro quadrantes passo a passo, está no vídeo Introdução ao Ciclo Trigonométrico.

O que é a relação fundamental da trigonometria?

$\sen^2\theta + \cos^2\theta = 1$. Vale pra qualquer ângulo θ.

Existe uma relação que é super importante da trigonometria, que aqui a gente dá para falar dela, que é a relação fundamental da trigonometria, ou seja, aquele negócio deve ser importante pelo próprio nome, que fala o quê? O seno ao quadrado de um ângulo mais o cosseno ao quadrado do mesmo ângulo é igual a 1. Essa introdução completa está no vídeo Relação Fundamental da Trigonometria.

Dá pra conferir com um ângulo que você já conhece. Testando com 30°: cosseno de 30 é $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Você tem que levar esses caras ao quadrado. $\tfrac12$ ao quadrado é $\tfrac14$; $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ao quadrado é $\tfrac34$. Soma: $\tfrac14 + \tfrac34 = 1$. Fechou.

A utilidade prática: você já sabe na hora, porque se você tem o seno, basta jogar nessa equação para descobrir quanto é o cosseno. E vice-versa, sempre que você tem um dos dois, automaticamente sabe o outro.

Quer a demonstração completa, de onde essa identidade vem? Tem lição própria pra isso no site.

Como resolver uma equação trigonométrica?

Resolver uma equação trigonométrica é achar todo ângulo que satisfaz $\sen(\theta) = k$, $\cos(\theta) = k$ ou $\tg(\theta) = k$. A estratégia não muda de caso pra caso.

Quando a gente fala de equações trigonométricas, o que a gente tem que ter à manha é de enxergar o ciclo trigonométrico e as suas simetrias.

Primeira coisa, o que você vai querer é pegar um triângulozinho desse e construir ele de tal maneira que o cateto oposto tenha tamanho K. Isso te dá o primeiro ângulo, o da projeção no eixo do seno.

Mas a resposta nunca é um ângulo só. Existe um segundo ponto no ciclo com a mesma altura, o ângulo simétrico, $\pi$ menos o primeiro ângulo, que também tem seno igual a k.

Na verdade eu tenho infinitas soluções, porque se eu continuar dando voltas em cima desse ponto, de novo vou estar falando de arcos congruos todos com extremidades no mesmo ponto, todos com o seno valendo exatamente k. Por isso toda solução carrega um "mais $2k\pi$" junto.

Ache o primeiro ângulo. Ache o ângulo simétrico no ciclo. Feche com os arcos côngruos. É esse o raciocínio pra qualquer equação trigonométrica, seno, cosseno ou tangente. Eu resolvo esse raciocínio do zero no vídeo Introdução às Equações Trigonométricas.

O que cai de trigonometria em cada prova?

No ENEM, o recorte é enxuto: ciclo, seno e cosseno aplicados a um contexto real. Quase nunca identidade avançada.

Mas estamos priorizando a matemática no nível que é cobrado do Enem. Enem, e os assuntos que são mais relevantes para a prova de matemática do Enem, é o recorte que interessa.

Em vestibulares tradicionais, como Fuvest e Unicamp, o recorte é parecido, com mais exercício de aplicação.

Já em concursos e provas militares, EsPCEx, AFA, ITA, IME, o nível sobe:

• Soma e diferença de arcos
• Arcos múltiplos
• Funções recíprocas (secante, cossecante, cotangente)

Área em que eu também já dei aula pra turmas militares, no Bernoulli.

A régua muda com o objetivo: se seu prazo é curto, estuda o que cai pra valer, não a matéria acadêmica inteira. Beleza?

Como o ENEM cobra o seno de 30°?

No ENEM, essa questão sobre o seno de 30° tem resposta direta: a intensidade de luz que penetra num lago a esse ângulo é metade da intensidade máxima.

O que vem depois na trilha de trigonometria?

Depois de dominar o ciclo e a relação fundamental, a trilha segue em três frentes:

• Fórmulas de soma e diferença de arcos, $\sen(a+b)$, $\cos(a-b)$, que combinam ângulos que você já sabe pra achar ângulos novos. Já tem lição própria sobre arcos compostos.
• Arcos múltiplos, arco duplo, arco triplo
• As três razões recíprocas: secante, cossecante e cotangente, que são simplesmente os inversos de cosseno, seno e tangente. Nada além disso.

Se você quer ir mais fundo agora nos passos já ensinados aqui, tem lição própria pra ângulos notáveis, pra relação fundamental (com demonstração completa e outras formas) e pras funções arco seno, arco cosseno e arco tangente.

FAQ sobre lições de trigonometria