O que é o arco seno (arc sen) e como calcular

O que é o arco seno?

O arco seno é a operação inversa do seno: você dá um valor e ele te devolve o ângulo cujo seno é aquele número. $\operatorname{arcsen}\tfrac12$ é $30^\circ$, porque o $\sen 30^\circ$ vale $\tfrac12$, é ler a conta de trás pra frente.

Ele entra em cena quando o seno cai num valor que você não sabe de cor, tipo $\tfrac{1}{5}$, e a pergunta vira: qual que é o ângulo cujo seno vale um quinto? Você não conhece esse ângulo, não sabe de cor. Esse ângulo é o arco seno, e ele sempre te devolve uma resposta única, entre −90° e 90°.

Nesta página eu construo o conceito do zero, o que ele significa, por que existe, os exemplos resolvidos e o gráfico da função.

Por que o arco seno existe?

O arco seno existe porque a maioria dos valores de seno não cai num ângulo que você decorou. Qual ângulo tem seno $\tfrac12$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$? Isso você sabe de cabeça. Mas e quando cai seno de x igual a $\tfrac{1}{5}$?

Aí o problema muda de figura. Não é mais quanto vale o seno, isso você já tem. É o contrário: qual é o ângulo que tem esse seno. E decorar não resolve, porque $\tfrac15$ não é ângulo notável.

A saída não é decorar mais ângulo. Aí beleza, o que a gente vai criar então? Você já tá ligado. Uma notação que possibilita a gente representar isso, porque isso aqui é fácil, cara. É esse o trabalho do arco seno: dar nome ao arco cujo seno vale aquele número, e você escreve a resposta sem decorar nada.

Por que fica entre −90° e 90°?

O arco seno só devolve ângulos entre −90° e 90° por um motivo: pra resposta ser única. Sem travar um intervalo, a notação fica ambígua.

Olha no ciclo. Quando você fixa um valor de seno, existem infinitos na verdade, mas pensando numa volta só, existem dois caras cujo seno vale A. Se o arco seno pudesse apontar os dois, ele não seria função: uma entrada, duas saídas.

Por isso a gente combina uma coisa: a gente vai definir que, quando a gente usar isso aqui, arco seno de A, a gente sempre vai estar falando de um ângulo que está entre $-\tfrac{\pi}{2}$ e $\tfrac{\pi}{2}$. Prender o seno nessa faixa é o que faz ele virar bijetor e ter inversa. Um valor de seno, um ângulo, sem ambiguidade.

Quanto é arc sen de 1/2?

$\operatorname{arcsen}\tfrac12$ é $30^\circ$, ou $\tfrac{\pi}{6}$. O caminho é sempre o mesmo: você pergunta qual ângulo do primeiro quadrante tem aquele seno. O seno vale meio quando a gente tem um ângulo de 30 graus, né? Está legal, 30. Então você está vendo que numa volta completa tem dois caras cujo seno vale meio.

Os valores notáveis saem todos assim:

Pra $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ é a mesma história, quando é que o seno dá $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$? É quando você tem um ângulo de 45 graus. Com seno negativo funciona igual, só que o ângulo desce: $\operatorname{arcsen}\!\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ é $-45^\circ$, ou $-\tfrac{\pi}{4}$. Numa volta completa existem dois ângulos com cada seno, mas o arco seno pega sempre o que está na faixa de −90° a 90°. Esse passo com sinal negativo é o que eu resolvo no exemplo de equação com seno.

O arco seno é uma função?

É, sim, o arco seno é uma função, e é tratando ele como função que o assunto fecha.

O domínio é $[-1,\ 1]$: só existe arco seno de valores entre −1 e 1, porque esse é exatamente o alcance do seno. A imagem é $\left[-\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{\pi}{2}\right]$, os mesmos −90° a 90° do valor principal.

E o gráfico? O gráfico do arco seno é o gráfico do seno, restrito a essa faixa, refletido pela reta $y = x$. Cada ponto $(x,\ \sen x)$ do seno vira $(\sen x,\ x)$ no arco seno. É essa reflexão que pega a curva deitada do seno e põe ela em pé. É a função inversa vista no espelho da reta $y = x$.

arc sen dá uma resposta só?

Não. O arco seno te dá um ângulo só, o valor principal. Mas a equação $\sen(x) = k$ quase nunca para por aí.

Pega $\sen(x) = \tfrac12$. Numa volta, eu tenho duas possibilidades de solução para essa equação: tanto aqui, se o ângulo for de 30 graus, quanto de 150. Se o x pode ser qualquer número real, você ainda soma $2k\pi$ em cada um, dá voltas completas em torno de cada arco e cai no mesmo seno. Agora você tem infinitas soluções pra sua equação, que seria o 30, o 150 e todos os infinitos arcos côngruos a eles. Esse conjunto inteiro é o que eu monto no vídeo sobre o conjunto solução de uma equação trigonométrica.

Então a resposta geral fica assim:

arc sen é o mesmo que $\sen^{-1}$?

É, sim: arc sen e $\sen^{-1}$ são a mesma coisa. As duas notações significam a função inversa do seno, o ângulo cujo seno é um valor dado.

Na calculadora, a tecla que faz o arco seno costuma vir como $\sin^{-1}$ ou asin, quase sempre no shift da tecla sen: você digita o valor do seno e ela te devolve o ângulo. Só confere se ela está em graus ou radianos antes de confiar no número.

E o arco cosseno e tangente?

O arco seno é uma das três inversas trigonométricas, e a lógica é a mesma nas outras duas, muda só o intervalo do valor principal.

A ideia por trás é sempre a mesma do arco seno, a gente vai usar então a notação de arco seno bem parecido lá com o arco cosseno: inverter a função e escolher um único ângulo pra matar a ambiguidade. Se você entendeu o arco seno, os outros dois vêm quase de graça.

O ciclo trigonométrico Arco cosseno (arc cos)em breve Arco tangente (arc tg)em breve

Onde o arco seno cai nas provas?

Arco seno cai em ENEM, vestibular e concurso militar de dois jeitos. Um: dentro de equação trigonométrica, quando você precisa achar os arcos cujo seno é um valor. Dois: no estudo da função inversa, domínio, imagem, gráfico, que é o recorte pesado que ITA e IME cobram.

Então saber ler a resposta nas duas formas te salva de marcar errado achando que a sua opção não está na alternativa.

FAQ sobre o arco seno