O que é a relação fundamental da trigonometria e suas formas

O que é a relação fundamental da trigonometria?

A relação fundamental da trigonometria é a identidade $\sen^2x + \cos^2x = 1$: o seno ao quadrado de um ângulo mais o cosseno ao quadrado desse mesmo ângulo dá 1, pra qualquer ângulo que você quiser.

Começa pelo nome: aquele negócio deve ser importante pelo próprio nome. E o motivo é concreto: você tem uma relação que amarra os dois, é isso que a relação fundamental da trigonometria faz. Se você tem um seno, automaticamente você consegue obter um cosseno. Se você tem um cosseno, você acha o seno e por aí vai.

E ela não vive numa forma só. Dividindo essa identidade por $\cos^2x$ ou por $\sen^2x$, a mesma informação vira $1 + \tg^2x = \sec^2x$ e $1 + \cotg^2x = \operatorname{cossec}^2x$. Aqui a gente monta tudo isso do zero, começando pela demonstração por Pitágoras antes de sair dividindo por cosseno ao quadrado. Do jeito que eu gosto: entender, não decorar.

De onde vem essa fórmula?

A relação fundamental é, no fundo, o Teorema de Pitágoras. Essa é a resposta pro "por que ela vale?".

Pensa num triângulo retângulo. O seno de θ é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa; o cosseno de θ é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Quando você soma o seno ao quadrado com o cosseno ao quadrado, os dois têm a hipotenusa ao quadrado no denominador, e em cima sobra a soma dos quadrados dos catetos, que por Pitágoras é igual ao quadrado da hipotenusa. Um dividido por ele mesmo dá 1. Ou seja, a gente acabou de provar que seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado tem que dar um qualquer que seja o ângulo. Gravei essa demonstração completa, passo a passo, nesse vídeo.

No ciclo trigonométrico fica ainda mais direto. Pega um ângulo θ: a projeção no eixo vertical é o seno, a no eixo horizontal é o cosseno, e o raio vale 1. Aí aparece um triangulozinho retângulo de catetos seno e cosseno e hipotenusa 1. Hipotenusa ao quadrado, um ao quadrado, que é simplesmente um, é igual a soma dos quadrados catetos, seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado. É a mesma relação, nascendo na sua frente. Entender de onde ela vem é o que te livra de decorar.

sen²x é o mesmo que sen(x²)?

Não. $\sen^2x$ quer dizer $(\sen x)^2$, o seno do ângulo, elevado ao quadrado. $\sen(x^2)$ seria outra coisa: elevar o ângulo ao quadrado primeiro e só depois tirar o seno.

Repara na diferença: vou pegar o ângulo 30 e elevar ao quadrado. Não, eu vou pegar o seno de 30, e só então elevo ao quadrado. É por isso que às vezes a gente escreve esse quadrado aqui para a gente não confundir, porque são coisas diferentes.

Se quiser conferir a identidade num ângulo que você já conhece, usa 30°. O seno de 30° é $\tfrac12$ e o cosseno é $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Eleva os dois ao quadrado e soma:

Como isolar seno e cosseno?

A primeira "outra forma" da relação fundamental é a mais simples de todas: é só isolar. De $\sen^2x + \cos^2x = 1$ saem direto $\sen^2x = 1 - \cos^2x$ e $\cos^2x = 1 - \sen^2x$.

Isso é útil na prática, porque se você tem o seno, basta jogar nessa equação para descobrir quanto é o cosseno. Vale o contrário também: tem o cosseno, acha o seno. A relação amarra os dois.

Só um cuidado quando você tira a raiz pra achar a razão em si: aparece o sinal de mais ou menos, tipo $\operatorname{sen}x = \pm\sqrt{1-\cos^2x}$. Quem decide se é positivo ou negativo é o quadrante do ângulo:

De onde vem a forma com secante?

A forma com secante nasce de um movimento só. Eu vou dividir os dois lados dessa equação por cosseno ao quadrado de θ. Então eu tinha isso, seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado igual a 1.

Aí é só ver o que cada termo vira:

• seno ao quadrado sobre cosseno ao quadrado é tangente ao quadrado, porque seno sobre cosseno é tangente;
• cosseno ao quadrado sobre ele mesmo dá 1;
• 1 sobre cosseno ao quadrado é secante ao quadrado, porque o inverso do cosseno é a secante.

Junta tudo e sobra $1 + \tg^2x = \sec^2x$. Repara que você não decorou nada: pegou a mesma relação de sempre e reescreveu numa forma nova, com uma manipulação pequena.

E a forma com cossecante?

A segunda forma sai exatamente do mesmo jeito, só que agora o denominador muda: é dividindo tudo por seno ao quadrado. Então tem lá, seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado é igual a 1.

Termo a termo:

• seno ao quadrado sobre ele mesmo dá 1;
• cosseno ao quadrado sobre seno ao quadrado é cotangente ao quadrado, porque cosseno sobre seno é a cotangente;
• 1 sobre seno ao quadrado é cossecante ao quadrado.

Resultado: $1 + \cotg^2x = \operatorname{cossec}^2x$. É a mesmíssima lógica da forma com secante, trocando cosseno por seno na divisão. Duas formas, um único movimento cada.

Quando cada forma vale?

As duas formas derivadas vêm com uma condição, e ela é honesta: você dividiu por $\cos^2x$ e por $\sen^2x$, e não dá pra dividir por zero.

A objeção aparece sozinha. Aí você falaria, bom, então essa aqui, ela só não vai valer se o cosseno for zero, porque se o cosseno for zero, eu não posso dividir por zero. Verdade. O cosseno zera em 90° e 270°; o seno zera em 0° e 180°.

Dada a tangente, como achar as razões?

Vamos treinar. Te deram um ângulo no primeiro quadrante com tangente igual a 2. Obtém pra mim aí quem quer seno, cosseno, cotangente, secante, cossecante. Obtém a parada toda aí, né? Dá pra achar tudo com as outras formas da relação fundamental.

Começa pela forma com secante: $1 + \tg^2x = \sec^2x$. A tangente é 2. Então 1 mais 2 ao quadrado é igual a secante ao quadrado. Então secante ao quadrado é 1 mais 4, 5. A secante é $\pm\sqrt{5}$, e como o ângulo está no primeiro quadrante, fico com o positivo: $\sec x = \sqrt{5}$.

Daí em diante é só inverter e usar a relação de novo:

• $\cos x = \dfrac{1}{\sec x} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$;
• $\sen x = \sqrt{1 - \cos^2x} = \sqrt{\tfrac{4}{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$;
• $\cotg x = \dfrac{1}{\tg x} = \tfrac12$;
• pela forma com cossecante, $1 + \cotg^2x = \operatorname{cossec}^2x$ dá $1 + \tfrac14 = \tfrac54$, então $\operatorname{cossec} x = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

O único porém em qualquer exercício desses é o sinal. O máximo que você vai ter é uma ambiguidade ali em relação ao sinal. Pô, será que é positivo ou negativo? E isso você resolve olhando o quadrante: aqui, primeiro quadrante, tá tudo positivo. Resolvo esse mesmo exemplo em vídeo, passo a passo.

Por que existem várias formas?

Porque são a mesma relação vestida de roupas diferentes. Elas carregam a mesma informação, mas estão expressas em termos de funções diferentes. Muda só a manipulação que você faz em cima de seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado igual a 1.

Então por que ter três? Porque, dependendo do problema, dependendo do que você vai fazer, uma é mais interessante de usar que a outra:

• se o enunciado te deu a tangente, a forma com secante entrega o resto quase de graça;
• se te deu o seno ou o cosseno, isolar na relação base é o caminho mais curto;
• se aparecem cotangente ou cossecante, a forma com cossecante já está no formato certo.

E é aqui que a coisa fecha: no fundo tudo é a relação fundamental da trigonometria dependendo do problema dependendo do que você vai fazer uma pode ser mais interessante de usar do que a outra. É por isso que, dada uma única razão, você consegue achar todas as outras: é só escolher a forma que encaixa no que você tem na mão.

Onde a relação cai nas provas?

A relação fundamental e suas outras formas aparecem em ENEM, vestibular e concurso militar de dois jeitos. Um: simplificando identidades trigonométricas, trocar $\sec^2x$ por $1 + \tg^2x$, por exemplo, pra cancelar termo e destravar a conta. Dois: resolvendo equações em que te dão uma razão e cobram as outras.

E é aqui que o método faz diferença. Se você entendeu que as três formas saem da mesma relação por uma divisão, não precisa decorar nenhuma delas: reconstrói na hora da prova, no rascunho. É a diferença entre saber de onde vem e apostar na memória, e na hora do aperto, saber de onde vem sempre ganha.

FAQ sobre a relação fundamental