O que é o arco cosseno (arc cos) e como calcular

O que é o arco cosseno?

O arco cosseno é a operação inversa do cosseno: você dá um valor e ele te devolve o ângulo cujo cosseno é aquele número. $\operatorname{arccos}\tfrac12$ é $60^\circ$, porque o $\cos 60^\circ$ vale $\tfrac12$, é ler a tabela do cosseno de trás pra frente.

A notação é bem intuitiva: arco cosseno é o arco cujo cosseno vale aquele valor. Ela existe pra você escrever a resposta de qual é o ângulo que tem esse cosseno, mesmo quando não é um ângulo que você sabe de cor. E a resposta é sempre única, o arco cosseno devolve um ângulo só, entre 0° e 180°.

Nesta página eu construo o conceito do zero: o que ele significa, por que existe, os exemplos resolvidos, o gráfico da função e o uso na calculadora.

Por que precisamos do arco cosseno?

A gente precisa do arco cosseno pra dar nome a um ângulo quando o cosseno cai num valor que você não sabe de cor. A maioria dos valores de cosseno não bate num ângulo notável, você sabe de cabeça que cosseno $\tfrac12$, $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ são ângulos notáveis, mas e quando aparece $\cos x$ igual a $\tfrac13$?

Aí o problema muda de figura. Não é mais quanto vale o cosseno, isso o enunciado já te deu. É o contrário: qual é o ângulo que tem esse cosseno. E aqui está a sacada anti-decoreba: o fato de você não saber, de não ser um ângulo notável, não te impede de escrever essa resposta.

É pra isso que serve a notação: um jeito de representar o ângulo que você não conhece de cor, pra resolver as equações trigonométricas quando aparece um ângulo que não é notável. Em vez de decorar mais ângulo, você ganha um nome pro ângulo que não sabe de cabeça.

Por que fica entre 0° e 180°?

O arco cosseno só devolve ângulos entre 0° e 180° (entre 0 e $\pi$) por convenção, e é isso que deixa a resposta única.

O motivo aparece no ciclo: você fixa um valor de cosseno, traça uma reta vertical e vê onde ela intercepta o ciclo trigonométrico, em dois pontos. Numa volta, existem dois arcos com o mesmo cosseno. Se a notação apontasse os dois, ela não seria função: uma entrada, duas saídas.

Por isso fica combinado: quando eu uso essa notação, arco cujo cosseno vale A, estou sempre falando do ângulo que está entre 0° e 180° e que tem o cosseno igual àquele valor. Prender o cosseno nessa faixa é o que torna ele inversível. Um valor de cosseno, um ângulo, sem ambiguidade.

Quanto é $\operatorname{arccos}\tfrac12$?

$\operatorname{arccos}\tfrac12$ é $60^\circ$ ($\tfrac{\pi}{3}$), $\operatorname{arccos}\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ é $30^\circ$ ($\tfrac{\pi}{6}$) e $\operatorname{arccos}\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ é $45^\circ$ ($\tfrac{\pi}{4}$), em cada caso, o ângulo entre 0° e 180° cujo cosseno bate com aquele valor. É ler a tabela de trás pra frente. E não precisa decorar um monte: os ângulos notáveis são só estes três que você tem que saber de cor:

• cosseno $\tfrac12$ → arc cos = 60° ($\tfrac{\pi}{3}$)
• cosseno $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ → arc cos = 30° ($\tfrac{\pi}{6}$)
• cosseno $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ → arc cos = 45° ($\tfrac{\pi}{4}$)

O resto sai da tabela completa abaixo. E aí mora o detalhe que pega todo mundo: quando o cosseno é negativo, a resposta é um ângulo obtuso, não um ângulo negativo. $\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac12\right)$ é $120^\circ$ ($\tfrac{2\pi}{3}$), não $-60^\circ$, porque o arco cosseno mora entre 0° e 180°.

Esse mesmo valor $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ aparece resolvido, com todas as voltas possíveis, no exemplo de equação com cosseno.

O arco cosseno é uma função?

É, sim, como função, o arco cosseno tem domínio $[-1,\ 1]$ e imagem $[0,\ \pi]$.

Só existe arco cosseno de valores entre −1 e 1, que é exatamente o alcance do cosseno, e a resposta cai sempre entre 0° e 180°, os mesmos ângulos do valor principal.

E o gráfico? O gráfico do arco cosseno é o gráfico do cosseno, restrito a essa faixa, refletido pela reta $y = x$: cada ponto $(x,\ \cos x)$ vira $(\cos x,\ x)$. Por isso ele é uma curva sempre decrescente, que começa lá em cima no ponto $(-1,\ \pi)$ e desce até $(1,\ 0)$. É essa reflexão que faz a ponte entre a conta que você já conhece, o cosseno, e o objeto novo, o arco cosseno, a mesma ideia, lida do outro lado do espelho.

arc cos dá uma resposta só?

Não. O arco cosseno te dá um ângulo só, o valor principal. Mas a equação $\cos(x) = k$ quase nunca para por aí.

Pega $\cos(x) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$. Você já sabe o protocolo: o cosseno vale $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ positivo em 45°, e é isso que o arco cosseno aponta. Só que o cosseno é simétrico em relação ao eixo horizontal, então −45° (ou seja, 315°) tem o mesmo cosseno. São as duas famílias:

E o $+2k\pi$ é porque você fica dando volta no ciclo: a cada volta completa, você cai no mesmo cosseno. Agora você tem infinitas soluções pra sua equação, todos os arcos côngruos àquele. O arc cos entrega o primeiro tijolo; o conjunto solução é a construção inteira, que eu monto por completo no vídeo sobre o conjunto solução de uma equação trigonométrica.

arc cos é o mesmo que $\cos^{-1}$?

É, sim: arc cos e $\cos^{-1}$ são a mesma coisa. As duas notações representam a função inversa do cosseno.

Na calculadora científica, a tecla que faz o arco cosseno costuma vir marcada como $\cos^{-1}$ ou acos, em geral no shift da tecla cos: você digita o valor do cosseno e ela te devolve o ângulo.

E o arco seno e tangente?

O arco cosseno é uma das três inversas trigonométricas, e a mesma lógica vale pras outras duas. O que muda é o intervalo do valor principal, e é aí que mora a confusão:

Repara: o arco cosseno mora entre 0° e 180°, enquanto o arco seno e o arco tangente ficam entre −90° e 90°. Muda a faixa, mas inverter a função e fixar um único valor principal é sempre a mesma ideia. Se você entendeu o arco cosseno, os outros dois vêm quase de graça.

Como achar o arco cosseno na calculadora?

Pra achar o arco cosseno na calculadora, você aperta a tecla $\cos^{-1}$, normalmente o shift (ou 2nd) em cima da tecla cos, às vezes escrita acos, digita o valor do cosseno e ela te devolve o ângulo.

Os notáveis (30°, 45°, 60° e os vizinhos da tabela) você tira de cabeça; a calculadora resolve o resto, tipo $\operatorname{arccos}\tfrac13$, que não é notável.

Onde o arco cosseno cai nas provas?

O arco cosseno cai em ENEM, vestibulares e concursos militares de dois jeitos: dentro de equações trigonométricas (achar os arcos cujo cosseno é um valor) e no estudo da função inversa, domínio, imagem, gráfico, que é o recorte que ITA e IME cobram. É a mesma notação que possibilita resolver a equação quando aparecem ângulos que não são notáveis.

Saber que o arc cos entrega só o valor principal, e que a prova quer o conjunto solução, é o que separa quem gabarita de quem para no primeiro ângulo.

FAQ sobre o arco cosseno